教育专题：学案1平面向量的基本概念及线性运算.ppt

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1、学案学案1 平面向量的基本概念平面向量的基本概念 及线性运算及线性运算平面向平面向量的实量的实际背景际背景及基本及基本概念概念(1)了解向量的实际背景了解向量的实际背景(2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示理解向量的几何表示.向量的向量的线性运线性运算算(1)掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个理解两个向量共线的含义向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义了解向量线性运算的性质及其几何意义

2、.主要考查向量的有关概念、运算法则、线线平行主要考查向量的有关概念、运算法则、线线平行的条件和基本定理，以选择题和填空题出现的可能性的条件和基本定理，以选择题和填空题出现的可能性较大较大.对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大.1.向量的有关概念 (1)向量向量:既有既有 ,又有又有 的的量叫做向量量叫做向量,向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的 (或或模模).(2)零向量零向量:的向量叫做零向的向量叫做零向量量,其方向是其方向是 的的.(3)单位向量单位向量:给定一个非零向量给定一个非零向量a,与与a 且且长度等于长度等于 的向量的向量,叫做向量

3、叫做向量a的单位向量的单位向量.大小大小 方向方向 长度长度 长度为长度为0 任意任意 同方向同方向 1 (4)平行向量平行向量:方向方向 或或 的的 向量向量.平行向量又叫平行向量又叫 ,任一组平行向量都可以移到同一条直线上任一组平行向量都可以移到同一条直线上.规定规定:0与任一向量与任一向量 .(5)相等向量相等向量:长度长度 且方向且方向 的向量的向量.(6)相反向量相反向量:长度长度 且方向且方向 的向量的向量.2.向量的加法和减法 (1)加法加法 法则法则:服从三角形法则、平行四边形法则服从三角形法则、平行四边形法则.运算性质运算性质:相同相同 相反相反 非零非零 共线向量共线向量

4、平行平行 相等相等 相同相同 相等相等 相反相反 名师伴你行a+b=(交换律交换律);(a+b)+c=(结合律结合律);a+0=.(2)减法减法减法与加法互为逆运算减法与加法互为逆运算;法则法则:服从三角形法则服从三角形法则.3.实数与向量的积(1)长度与方向规定如下长度与方向规定如下:|a|=;b+a a+(b+c)0+a a|a|当当 时时,a与与a的方向相同的方向相同;当当 时时,a与与a的方向相反的方向相反;当当=0时时,a=.(2)运算律运算律:设设,R,则则 (a)=;(+)a=;(a+b)=.4.平行向量基本定理 向量向量a与与b(b0)平行的充要条件是平行的充要条件是 .有且只

5、有一个实有且只有一个实 0|b|,则则ab;（2）若向量）若向量|a|=|b|,则则a与与b的长度相等且方向相同或相的长度相等且方向相同或相反；反；（3）对于任意向量）对于任意向量|a|=|b|,且且a与与b的方向相同，则的方向相同，则a=b;（4）由于）由于0方向不确定，故方向不确定，故0不能与任意向量平行；不能与任意向量平行；（5）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量等向量.【解析解析】（1）不正确）不正确.因为向量是不同于数量的一种因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量，它由两个因素来确定，即大

6、小与方向，所以两个向量不能比较大小，故（量不能比较大小，故（1）不正确）不正确.（2）不正确）不正确.由由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，不能判只能判断两向量长度相等，不能判断方向断方向.（3）正确）正确.|a|=|b|,且且a与与b同向，由两向量相等的条同向，由两向量相等的条件可得件可得a=b.（4）不正确）不正确.由零向量性质可得由零向量性质可得0与任一向量平行，可知与任一向量平行，可知（4）不正确）不正确.（5）正确）正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向对于一个向量只要不改变其大小与方向,是可是可以任意平行移动的以任意平行移动的.2010年高考大纲全国卷年高考大纲全国卷在在AB

7、C中，点中，点D在边在边AB上，上，CD平分平分ACB.若若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则则CD=()A.a+b B.a+bC.a+b D.a+b 【分析分析分析分析】利用角平分线的性质可解出利用角平分线的性质可解出AD与与DB的关的关系，再利用向量的线性运算求解系，再利用向量的线性运算求解.考点考点考点考点2 2 向量的线性表示向量的线性表示向量的线性表示向量的线性表示 【解析解析】如图所示如图所示,1=2,CD=CB+BD=a+(b-a)=a+b.故应选故应选B.【评析评析评析评析】用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是是:观察各

8、向量的位置观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系运用法则找关系;化简结果化简结果.【解析解析】设两个非零向量设两个非零向量a与与b不共线不共线.(1)若若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证求证:A,B,D三点共线三点共线;(2)试确定实数试确定实数k,使使ka+b和和a+kb共线共线.【分析分析分析分析】解决点共线或向量共线问题解决点共线或向量共线问题,就要根据两就要根据两向量共线的条件向量共线的条件a=b(b0).考点考点考点考点3 3 向量的共线问题向量的共线问题向量的共线问题向量的共线问题 【解析解析解析解析】(1)证明证

9、明:AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.AB,BD共线共线,又又它们有公共点它们有公共点B,A,B,D三点共线三点共线.(2)ka+b与与a+kb共线共线,存在实数存在实数,使使ka+b=(a+kb),即即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a,b是不共线的两个非零向量是不共线的两个非零向量,k-=k-1=0,k2-1=0.k=1.【评析评析评析评析】(1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量共由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是指存在实数线是指存在实数使两向量能互相表示使两向

10、量能互相表示.(2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注要注意待定系数法的运用和方程思想意待定系数法的运用和方程思想.(3)证明三点共线问题证明三点共线问题,可用向量共线来解决可用向量共线来解决,但应注但应注意向量与三点共线的区别与联系意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公当两向量共线且有公共点时共点时,才能得出三点共线才能得出三点共线.【解析解析解析解析】1.1.1.1.向量不同于数量向量不同于数量向量不同于数量向量不同于数量.向量既有大小，又有方

11、向向量既有大小，又有方向向量既有大小，又有方向向量既有大小，又有方向.向量的向量的向量的向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小模可以比较大小，但向量不能比较大小模可以比较大小，但向量不能比较大小模可以比较大小，但向量不能比较大小.2.2.2.2.向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向量实向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向量实向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向量实向量的加减法实质上是向量的平移，实数乘向量实质上是向量的伸缩质上是向量的伸缩质上是向量的伸缩质上是向量的伸缩.3.3.3.3.数形结合思想是向量加减法的核心，利用向量的相数形结合思想是向量加减法的核心，利用向量的相数形结

12、合思想是向量加减法的核心，利用向量的相数形结合思想是向量加减法的核心，利用向量的相等可以灵活地平移向量等可以灵活地平移向量等可以灵活地平移向量等可以灵活地平移向量.4.4.4.4.向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问题平行问题平行问题平行问题.1.1.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线,但要注意到向量的平行与直线的平行的区别但

13、要注意到向量的平行与直线的平行的区别但要注意到向量的平行与直线的平行的区别但要注意到向量的平行与直线的平行的区别.2.0 2.0与实数与实数与实数与实数0 0有区别有区别有区别有区别,0,0的模为数的模为数的模为数的模为数0,0,它不是没有方向它不是没有方向它不是没有方向它不是没有方向,而是方向不定而是方向不定而是方向不定而是方向不定.0.0可以看成与任意向量平行可以看成与任意向量平行可以看成与任意向量平行可以看成与任意向量平行.3.3.由由由由a ab,bb,bc c不能得到不能得到不能得到不能得到a ac c.取不共线的向量取不共线的向量取不共线的向量取不共线的向量a a与与与与c,c,显然有显然有显然有显然有a a0,c0,c0.0.