第一型线积分和面积分精选文档.ppt

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1、第一型线积分和面积分1本讲稿第一页，共二十六页第一型曲线积分是对弧长的线积分，第一型曲线积分是对弧长的线积分，C是是 平面或空间的可求长曲线段平面或空间的可求长曲线段,ds是弧微元；是弧微元；一、第一型线积分一、第一型线积分1.概念和记法概念和记法 w 积分积分“区域区域”：平面或空间的曲线；：平面或空间的曲线；4 第一型线积分和面积分第一型线积分和面积分2本讲稿第二页，共二十六页w 第一型线积分可求曲线长：第一型线积分可求曲线长：物理意义之一：质量非均匀分布的曲线物理意义之一：质量非均匀分布的曲线 C 的质的质量；量；第一型线积分是通过化为定积分而进行计第一型线积分是通过化为定积分而进行计算

2、的。算的。2.第一型曲线积分的计算法第一型曲线积分的计算法w 被积函数被积函数定义定义在在 C 上上；3本讲稿第三页，共二十六页 若曲线若曲线 C 给参数方程给参数方程可以证明，可以证明，这种情况下一型曲线积分的计算式：这种情况下一型曲线积分的计算式：即即4本讲稿第四页，共二十六页例例1计算计算设设 C 是曲线：是曲线：的一段弧。的一段弧。解解5本讲稿第五页，共二十六页例例2 计算计算设设 C 为连接为连接三点的折线段。三点的折线段。解解三直线段的参数式三直线段的参数式如图所示，故如图所示，故6本讲稿第六页，共二十六页若曲线若曲线C给交面式方程给交面式方程 若存在若存在则则 C 的的参数方程：

3、参数方程：于是于是(平面上的问题通常只是少一个变量平面上的问题通常只是少一个变量!)本讲稿第七页，共二十六页 当当 C 为平面曲线为平面曲线,给极坐标方程给极坐标方程例例3解解1 (用直角坐标用直角坐标)计算计算设设 C 为右半个单位圆为右半个单位圆:8本讲稿第八页，共二十六页利用对称性：利用对称性：解解2 (用参数方程用参数方程)9本讲稿第九页，共二十六页解解3 (用极坐标用极坐标)C:例例4(求柱面的侧面积求柱面的侧面积)设椭圆柱面设椭圆柱面内所截下部分的侧面积内所截下部分的侧面积 A。10本讲稿第十页，共二十六页解解用微元法用微元法.本讲稿第十一页，共二十六页二、第一型曲面积分二、第一型

4、曲面积分1.概念和记法概念和记法 w 积分区域：积分区域：中的一曲面中的一曲面 是是 中的曲面中的曲面,为曲面面积元；为曲面面积元；w 被积函数被积函数 定义定义在曲面在曲面 上；上；w 第一型曲面积分是对曲面面积的面积分第一型曲面积分是对曲面面积的面积分,12本讲稿第十二页，共二十六页w 第一型面积分可求曲面面积：第一型面积分可求曲面面积：w 物理意义举例：质量非均匀分布的曲面物理意义举例：质量非均匀分布的曲面的质量的质量w 第一型面积分是通过化为二重积分而进第一型面积分是通过化为二重积分而进 行计算的。行计算的。13本讲稿第十三页，共二十六页 曲面曲面 S 给参数方程给参数方程用微元法：用

5、微元法：2.第一型曲面积分的计算法第一型曲面积分的计算法令令14本讲稿第十四页，共二十六页于是于是,第一型面积分化成二重积分计算式第一型面积分化成二重积分计算式其中其中15本讲稿第十五页，共二十六页 曲面曲面 S 给直角坐标系下的显式方程给直角坐标系下的显式方程由于又可表示成参数式：由于又可表示成参数式：16本讲稿第十六页，共二十六页 曲面曲面 S 给一般方程：给一般方程：于是化为二重积分的计算式：于是化为二重积分的计算式：当满足当满足则马上可转化为则马上可转化为 的情况。的情况。存在隐函数存在隐函数17本讲稿第十七页，共二十六页例例5求半径为求半径为 的球面面积。的球面面积。解解 球面的参数

6、方程为：球面的参数方程为：18本讲稿第十八页，共二十六页经计算经计算于是得球面积于是得球面积19本讲稿第十九页，共二十六页例例6计算计算其中曲面其中曲面 是圆锥面是圆锥面解解 根据条件，此锥面应定义在平面区域根据条件，此锥面应定义在平面区域于是用于是用 情况的计算式，情况的计算式，20本讲稿第二十页，共二十六页例例7求半径相等的两个求半径相等的两个圆柱面圆柱面正交正交所截立体所截立体的表面积的表面积 A。解解 如图建立坐标系后如图建立坐标系后两柱面的方程分别为两柱面的方程分别为21本讲稿第二十一页，共二十六页充分利用图形的对称性充分利用图形的对称性,只只需对定义在需对定义在上的一片柱面上的一片

7、柱面作计算，作计算，22本讲稿第二十二页，共二十六页例例8 求质量均匀分布，半径为求质量均匀分布，半径为 R 的球缺面的的球缺面的 质心坐标。质心坐标。球缺面如下给出：球缺面如下给出：23本讲稿第二十三页，共二十六页因曲面对称且质量分布均因曲面对称且质量分布均匀，故匀，故解解设球缺面的面密度为设球缺面的面密度为24本讲稿第二十四页，共二十六页即所求质心为即所求质心为:25本讲稿第二十五页，共二十六页习题习题 6.6P.191.N.1(单单),N.3(2)(3),N.4,N.5,N.9(1),N.10(单单),选选(B)(N.1,N.4.6月月9日作业日作业接上习题课接上习题课26本讲稿第二十六页，共二十六页