无穷大小与运算律幻灯片.ppt

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1、无穷大小与运算律1第1页，共25页，编辑于2022年，星期六二、无穷大量定义1:某过程下,因变量绝对值无限增大的变量称为无穷大由函数的图形，问：=更进一步，还可区分出是+，还是，还是。如：三、无穷小与无穷大的关系若 f(x)为无穷大,则为无穷小;若 f(x)为无穷小,且则为无穷大.定理1 在自变量的同一变化过程中,记为：显然2第2页，共25页，编辑于2022年，星期六四、无穷小量与函数极限的关系必要性:定理2用柯西定义可证定理3.若|g(x)|M,a a(x)无穷小,则提示:因在某邻域上|a a(x)|/M,所以五、无穷小量的性质.如：其中：其中 x(有界函数与无穷小之积为无穷小)N即无穷小与

2、有界变量之积为无穷小.则在某邻域上有|f(x)a|,于是f(x)a=(x)，即 f(x)=a+(x)，充分性略.因而g(x)(x)是无穷小.3第3页，共25页，编辑于2022年，星期六一、极限四则运算法则定理4 设更正(无穷小的倒数是无穷大)下面给出简单函数的四则运算构成的较复杂函数的极限性质.注:定理3的(1)、(2)可以由归纳法推广到有限个函数的情况）即:由条件在某邻域上有4第4页，共25页，编辑于2022年，星期六=x其中前面已用定义证明：特别当：注:定理3的(1)、(2)可以由归纳法推广到有限个函数的情况）即:5第5页，共25页，编辑于2022年，星期六前面已经推出计算公式：以后利用复

3、合函数连续性质可证明(n为正整数)：其中函数不存在.特别在极限四则运算中,若于是有无穷小的以下性质.6第6页，共25页，编辑于2022年，星期六推论1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.=0推论4 有极限的函数与无穷小的乘积是无穷小。推论3 常数(显然有界)与无穷小的乘积是无穷小.推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小.例已知确定型=0=0注：无穷大与无穷大(非零常数)之积为无穷大,无穷大与常数的代数和是无穷大,同符号无穷大之和为无穷大.如:不存在7第7页，共25页，编辑于2022年，星期六是待定型，如记此类无穷小商极限但极限四则运算中,若无意义注：本书将讨论7种待定型极限，其中是常

4、见的一种，我们将引入性质介绍其解法.8第8页，共25页，编辑于2022年，星期六二、求极限方法举例例1解有理函数(无穷小的倒数是无穷大)问：x的极限其中称为多项式函数方法:先将有理函数的分子分母同除x的最高次幂.答：原式=9第9页，共25页，编辑于2022年，星期六分析：当 x1 时，分子分母均为无穷小量，例2(消去零因子法)待定型解:所以不能直接用极限的四则运算法则，将其分解出因子(x1)再求极限。称为有理函数极限10第10页，共25页，编辑于2022年，星期六小结:=1.直接用商的极限2.倒数是否无穷小稍后讨论一般形如的计算公式m 和 n为非负整数时有方法:首先将有理函数的分子分母同除x的

5、最高次幂,再利用性质计算.为此先定义“高阶无穷小”等4个定义作准备.11第11页，共25页，编辑于2022年，星期六三、无穷小的比较例如,通常用希腊字母 a a,b b表示某过程下的无穷小观观察察各各极极限限两个无穷小的和、差、积为无穷小，但商是待定型sin x 与 2x趋于0的速度大致相同x2 趋于0的速度比3x要快得多3x趋于0的速度比x2 要慢得多sin x 与 x 趋于0的速度相同称x2 是比3x高阶的无穷小量称3x 是比x2 低阶的无穷小量称sinx 与x 等价无穷小量称sinx 与2x 同阶无穷小量12第12页，共25页，编辑于2022年，星期六定义:下面利用等价无穷小计算某些(4

6、)特别,如果13第13页，共25页，编辑于2022年，星期六四、等价无穷小代换(仅介绍常见的因式替换定理)定理(等价无穷小代换定理)证易难作用一般有：其中：切记：不能在加减运算求极限时使用等价无穷小代换.因为：14第14页，共25页，编辑于2022年，星期六常见的等价无穷小：可以证明，当 x0时,错:不能在加减运算中使用等价无穷小代换改正解：原式当变量为t 时？当 t0时,以上7个等价无穷小可由本章稍后二个重要极限证明特别当 xX 时,t=g(x)0,则有注:可证15第15页，共25页，编辑于2022年，星期六等价无穷小的一般形式：如果当 xX 时,t=g(x)0,则有练习题答:原式=2如 x

7、1 时,t=g(x)=(x1)0，则 sin(x1)(x1)16第16页，共25页，编辑于2022年，星期六根式函数答：注意到公式当不是上面6种常见的等价无穷小,则具体情况具体分析。如17第17页，共25页，编辑于2022年，星期六分析：由于有二个参数a；b，需构造两个方程求解。P93 第17题：已知求 a=?,b=?代入给定的极限中有：所以分子的极限必为零，否则极限为，与已知矛盾。由前面的讨论有：b=a 1，2 a5所以：a=7 b6即原极限必为的待定型18第18页，共25页，编辑于2022年，星期六思考：p98 15题由有理函数的极限知：当a=0时,课外：解：令由条件有：当a0 有矛盾所以

8、 a0,b,c为任意实数跳过19第19页，共25页，编辑于2022年，星期六由有理函数的极限知：若a0,则原函数极限为0，与已知条件矛盾,于是 a=0。(有理函数极限）所以有：a=0,b=1,c为任意实数答：由条件有：再由条件得：b=1,c 为任意实数。则原式20第20页，共25页，编辑于2022年，星期六例5解：x=0 是函数的分段点，两个单侧极限为左右极限存在且相等左右极限存在且相等,221第21页，共25页，编辑于2022年，星期六强调本章求极限的几个重要基本性质(掌握)4.无穷小与无穷大的关系5.有界函数与无穷小之积为无穷小6.极限四则运算推论注意 a=b=0 情况22第22页，共25

9、页，编辑于2022年，星期六注意:如果有常数 a 使得(1)无穷大量(2).无界振荡或有界振荡。(3).左、右极限存在，但不相等。过程下有极限,否则称函数无极限.无极限有三种情况:称函数f(x)在该23第23页，共25页，编辑于2022年，星期六思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 f(x)有极限有极限，g(x)无极限，无极限，那么那么f(x)+g(x)是否有极限？为什么？是否有极限？为什么？思考题解答答：没有极限，反证，假设 f(x)+g(x)有极限,设h(x)=f(x)+g(x),于是有：g(x)=h(x)-f(x),由极限的四则运算性质，知 g(x)有极限，与已知条件矛盾，故假设错误。24第24页，共25页，编辑于2022年，星期六课外：设 解：因为分析：1.由前面有理函数的讨论，若(2a)0，矛盾2.若(a+b)0，矛盾因而 2a=0 且 a+b=0 a=2；b=225第25页，共25页，编辑于2022年，星期六