几何与代数第五章精选PPT.ppt
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1、几何与代数第五章第1页,此课件共76页哦第2页,此课件共76页哦如何求特征值?称为方阵A的特征多项式特征多项式,f()=0称为方阵A的特征方程特征方程。特征方程的根就是方阵的特征值第3页,此课件共76页哦特征子空间特征子空间第4页,此课件共76页哦计算计算n阶矩阵阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤:的特征值与特征向量的步骤:注:注:在复数复数范围内,特征值必存在,且恰好有n个(按重数累计);在实数实数范围内,则不一定存在特征值。第5页,此课件共76页哦例例2:例例1 1:第6页,此课件共76页哦例例3:设试求A的特征值和特征向量。第7页,此课件共76页哦二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征
2、向量的性质定理定理5.15.1:理解:可将行列式拆成 行列式之和来看!推论:推论:n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值全不为零。第8页,此课件共76页哦定理定理5.25.2:第9页,此课件共76页哦推论:推论:定理5.3 设0是方阵A的特征值,方程组(0EA)X=0的基础解系的全体非零线性组合是对应于特征值0的全部特征向量。第10页,此课件共76页哦定理定理5.45.4:定理定理5.55.5:注:注:本定理的含义是本定理的含义是A A所有不同的特征值对应的线性无关所有不同的特征值对应的线性无关 的特征向量合起来还是线性无关的。的特征向量合起来还是线性无关的。第11页,此课件共76页哦第二节
3、第二节 相似矩阵相似矩阵一、相似矩阵的定义及性质一、相似矩阵的定义及性质定义定义5.25.2:A,B是两n阶方阵,如果存在可逆阵P,使得 P-1AP=B,则称方阵A与B相似,记作AB。对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换,可逆阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。性质性质1:自反性 对称性 传递性第12页,此课件共76页哦性质性质2 2:第13页,此课件共76页哦第14页,此课件共76页哦二、矩阵可对角化的条件二、矩阵可对角化的条件当矩阵可与对角矩阵相似时称该矩阵可对角化。定理定理5.65.6:n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个 线性无关的特征向量。推论:推论:若n阶矩阵A有n个互不
4、相同的特征值 ,则A与对角阵 相似。哪些矩阵可相似于对角阵?第15页,此课件共76页哦定义定义2:若矩阵A的n个特征值 是 重根,则称 是特征值 的代数重数,对应的特征子空间 的维数成为特征值 的几何重数。定理定理5.7:第16页,此课件共76页哦如何判断和求解对角阵?例例5 5:注:注:第17页,此课件共76页哦例例6 6:第18页,此课件共76页哦例7 已知3阶矩阵A的三个特征值为本1,1,2,对应的特征向量为(1,2,1)T,(1,1,0)T,(2,0,-1)T,求矩阵A第19页,此课件共76页哦第三节第三节 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的基本定理一、实对称矩阵的基
5、本定理定理定理5.8:实对称矩阵的特征值全都是实数。定理定理5.9第20页,此课件共76页哦定理定理5.10推论:推论:第21页,此课件共76页哦二、用正交矩阵化实对称矩阵为对角阵二、用正交矩阵化实对称矩阵为对角阵步骤:步骤:第22页,此课件共76页哦第23页,此课件共76页哦例:例:给定实对称矩阵第24页,此课件共76页哦第四节第四节 二次型及其标准形二次型及其标准形一、二次型的基本概念一、二次型的基本概念第25页,此课件共76页哦第26页,此课件共76页哦第27页,此课件共76页哦第28页,此课件共76页哦二、矩阵的合同二、矩阵的合同第29页,此课件共76页哦第五节第五节 二次型化为标准形
6、的方法二次型化为标准形的方法一、用正交变换法化二次型为标准形一、用正交变换法化二次型为标准形定理5.12(主轴定理)对于任一二次型f(X)=AX,总存在正交变换X=QY(Q为正交矩阵),使f化为标准形:其中 是f的矩阵A的n个特征值第30页,此课件共76页哦二、用配方法化二次型为标准形二、用配方法化二次型为标准形第31页,此课件共76页哦三、惯性定理和二次型的规范形三、惯性定理和二次型的规范形第32页,此课件共76页哦第33页,此课件共76页哦第五节第五节 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵定义:定义:第34页,此课件共76页哦性质与判别:性质与判别:第35页,此课件共76页哦第36页,
7、此课件共76页哦第37页,此课件共76页哦复复 习习 题题一、选择题1.如果向量可由向量组线性表示,则下列结论正确的是:(A)存在一组不全为零的数k1,k2,ks使得:(B)存在一组全为零的数使上式成立;(C)存在一组数k1,k2,ks使上述等式成立;(D)对上述线性表达式唯一第38页,此课件共76页哦2.设某向量组的秩等于r,则()(A)该向量组所含向量个数必大于r;(B)该向量组中任何r个向量必线性无关,任何r+1个向量必线性相关;(C )该向量组中有r个向量线性无关,任何r+1个向量必线性相关;(D)该向量组中有r个向量线性无关,有r+1个向量线性相关第39页,此课件共76页哦3.设非齐
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