【推荐】高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第八节解三角形的综合应用课时跟踪检测文.pdf

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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学课时跟踪检测（二十四）解三角形的综合应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在相距2 km 的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则B，C两点之间的距离为_ km.解析：根据题意，可知ACB45，根据正弦定理，可知2sin 45 BCsin 75，从而有BC2624223 1.答案：31 2已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为_ km.解析：如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos 120 700，AC107(km)答案：107 3(

2、2016常州调研)在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则cosDAC_.解析：由已知条件可得图形，如图所示，设CDa，在ACD中，CD2AD2AC2 2ADACcosDAC，a2(2a)2(5a)222a5acosDAC，cosDAC31010.答案：310104江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析：如图，OMAOtan 45 30(m)，ONAOtan 30 3330 103(m)，在MON中，由余弦定理得，小学+初中+高中+努力=大学小学+初

3、中+高中+努力=大学MN90030023010332300 103(m)答案：103 5.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min 后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上，则点B与电视塔的距离是 _km.解析：如题图，由题意知AB2415606，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知BSsin 30 ABsin 45，BSABsin 30 sin 45 32(km)答案：32 二保高考，全练题型做到高考达标1一艘海轮从A处出发，以每小时40 海里的速度沿南偏东4

4、0的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是_海里解析：如图所示，易知，在ABC中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得BCsin 30 ABsin 45，解得BC102(海里)答案：102 2.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为 _ km/h.解析：设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度

5、为vkm/h，由题意知，sin 0.6135，从而 cos 45，所以由余弦定理得110v2110221221102145，解得v62.答案：62 3如图，在山腰测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为30的斜坡走1 000 米至S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为_米小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析：由题图知BAS453015，ABS451530，ASB135，在ABS中，由正弦定理可得1 000sin 30 ABsin 135，AB1 0002，BCAB2 1 000.答案：1 000 4.(2016 南京四校联考)如图，为了测量两座山峰上两点P，Q之间的距离

6、，选择山坡上一段长度为3003米且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为_米解析：设AQPBC，由图可知，QABPABPAQ30，又PBAPBQ60，AQB30，ABQ为等腰三角形，ACCQ，BCAQ.PQA为等腰三角形PAQ60，PQA为等边三角形，故PQAQ，在 Rt ACB中，ACABsin 60 300332450，PQAQ 900.故P，Q两点间的距离为900 米答案：900 5.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20 海里的B处，海轮按北偏西60的方向航行了30分

7、钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为 _海里/分钟解析：由已知得ACB45，B60，由正弦定理得ACsin BABsin ACB，所以ACABsin Bsin ACB20sin 60 sin 45 106，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以海轮航行的速度为1063063(海里/分钟)答案：636(2016盐城模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为 _解析：由题意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a20.则 cos Ab2c

8、2a22bc0，0A，0A3.因此得角A的取值范围是3，2.答案：3，27.如图，为测得河岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东 15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是 _米解析：在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理得BCsin 45 CDsin 30，所以BCCDsin 45 sin 30 102.在 RtABC中，tan 60 ABBC，ABBCtan 60 106(米)答案：106 8.如图，在ABC中，sinABC233，AB2，点D在线段AC上，且AD 2DC，BD

9、433，则 cosC_.解析：由条件得cosABC13，sin ABC223.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学在ABC中，设BCa，AC3b，则由余弦定理得9b2a2 443a.因为ADB与CDB互补，所以 cosADB cosCDB，所以4b216341633bb2163a2833b，所以 3b2a2 6，联合解得a3，b1，所以AC 3，BC 3.在ABC中，cosCBC2AC2AB22BCAC3232 2223379.答案：799某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正

10、沿方位角为105的方向，以 9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.sin 21.8 3314解：如图所示，根据题意可知AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以 212t210281t22109t12，即 360t290t1000，解得t23或t512(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h.此时AB14，BC6.在ABC中，根据正弦定理，得BCsin CABABsi

11、n 120，所以 sin CAB632143314，即CAB21.8或CAB158.2(舍去)，即舰艇航行的方位角为4521.866.8.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以舰艇以66.8的方位角航行，需23 h 才能靠近渔轮10如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为6.设S的眼睛到地面的距离为3米(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2 米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转摄影爱好者有一视角范围为3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入

12、画面？说明理由解：(1)作SC垂直OB于C，则CSB6，ASB3.又SA3，故在 RtSAB中，可求得BA3，即摄影爱好者到立柱的水平距离为3 米由SC3，CSO6，在 RtSCO中，可求得OC3.因为BCSA3，故OB23，即立柱高为23米(2)连结SM，SN，设SNa，SMb.由(1)知SO23，在SOM和SON中，cosSOM cosSON，即32 1b22231321a22231，可得a2b2 26.在MSN中，cosMSNa2b2222ab11ab22a2b2111312，当且仅当ab时等号成立，又MSN(0，)，则 0MSN3.故摄影爱好者S可以将彩杆全部摄入画面三上台阶，自主选做

13、志在冲刺名校1如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s 后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_m(取21.4，31.7)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15，DBC45，ACB30，AB50420 21 000(m)又在ABC中，BCsin AABsin ACB，BC21 00012sin 15 10 500(62)CDAD，CDBCsin DBC10 500(62)2210 500(31)7 350

14、.故山顶的海拔高度h10 000 7 350 2 650(m)答案：2 650 2.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m 的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的 2 倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为_；塔BB1的高为_m.解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为，则AA160tan ，BB160tan 2.从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，A1ACCBB1，AA13030BB1，AA1BB1900，3 600tan tan 2 900，

15、tan 13，tan 2 34，BB1 60tan 2 45.答案：1345 3.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 米和BN 200 米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了 1003米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量 tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解：在 RtAMP中，APM30，AM100，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学PM1003，连结QM，在PQM中，QPM60，又PQ1003，PQM为等边三角形，QM1003.在 RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ 200.在 RtBNQ中，tan 2，BN200，BQ1005，cos 55.在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (1005)2，BA1005.即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米