【推荐】高三数学专题复习专题七计数原理与概率、推理证明与数学归纳法过关提升理.pdf

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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学专题七计数原理与概率、推理证明与数学归纳法专题过关提升卷第卷(选择题)一、选择题1用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0 没有实根B方程x3axb0 至多有一个实根C方程x3axb0 至多有两个实根D方程x3axb0 恰好有两个实根2.z是z的共轭复数，若zz2，(zz)i 2(i为虚数单位)，则z()A1i B 1i C 1i D1 i 3若数列 an是等差数列，bna1a2ann，则数列 bn也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列

2、，则dn的表达式应为()Adnc1c2cnnBdnc1c2cnnCdnncn1cn2cnnnDdnnc1c2cn4(2015勤州中学模拟)有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60 种B70 种C75 种D150 种5若(1 2x)2 015a0a1xa2 015x2 015(xR)，则a12a222a2 01522 015的值为()A2 B0 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学C 1 D 2 6(2015义乌模拟)从正方形四个顶点及其中心这5 个点中，任取2 个点，则这2 个点的距离不小于该正方形边长的

3、概率为()A.15 B.25C.35 D.457用a代表红球，用b代表白球，根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，从1 个红球和 1 个白球中取出若干个球的所有取法可由(1 a)(1 b)的展开式1abab表示出来其中“1”表示一个球都不取，“a”表示取一个红球，“b”表示取一个白球，“ab”表示把红球和白球都取出来，以此类推：下列各式中，其展开式中可用来表示从5 个无区别的红球、5 个无区别的白球中取出若干个球，且所有的白球都取出或都不取出的所有取法的是()A(1 aa2a3a4a5)(1 b5)B(1 a5)(1 bb2b3b4b5)C(1 a)5(1 bb2b3b4b5)D(1 a5)

4、(1 b)58 已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足f（x）g（x）ax，且f(x)g(x)f(x)g(x)，f（1）g（1）f（1）g（1）52，若有穷数列f（n）g（n）(nN*)的前n项和等于3132，则n等于()A4 B5 C6 D7 第卷(非选择题)二、填空题9已知复数z3i（13i）2，z是z的共轭复数，则zz_10观察下列不等式112232，112213253，112213214274，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学照此规律，第五个不等式为_11(2015瑞安中学模拟)观察下列等式121 1222 3 1222326 12223242 10 照此规

5、律，第n个等式可为 _12(2015效实中学模拟)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为 _(用数字填写答案)13若在122xn的展开式中第5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项的系数为_14(2015乐清模拟)从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6 的概率为 _15将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45 行从左向右的第17 个数为 _三、解答题16(2015桐乡高级中学模拟)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3 名，其中种子

6、选手2 名；乙协会的运动员5 名，其中种子选手3 名从这8 名运动员中随机选择4 人参加比赛(1)设A为事件“选出的4 人中恰有 2 名种子选手，且这2 名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)设X为选出的4 人中种子选手的人数，求X分别为 1，2，3，4 的概率17(2015杭州高级中学模拟)设 an是公比为q的等比数列(1)推导 an的前n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1 不是等比数列18(2015诸暨中学模拟)已知数列 an 满足a11，an1an2an 1.(1)求数列 an的通项公式；(2)若2bn1an1

7、，且Pn(1 b1)(1 b3)(1b2n1)，求证：Pn2n1.19小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0 就去打球，若X 0就去唱歌，若X0就去下棋(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学20(2015台州一中模拟)已知函数f(x)ex，xR.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1，0)处的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)与曲线y12x2x1

8、有唯一公共点；(3)设ab，比较fab2与f（b）f（a）ba的大小，并说明理由专题过关提升卷1A 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定方程x3axb0 至少有一个实根的反面是方程x3axb0 没有实根，故选A.2D 设zabi(a，bR)，由zz2，得a1，(zz)i 2，2b2，b 1，z1i，故选 D.3D 由an为等差数列，设公差为d，则bna1a2anna1n12d，又正项数列 cn 为等比数列，设公比为q，则dnnc1c2cnncn1qn2n2c1qn12，故选 D.4C 从 6 名男医生任选2 名有 C26种，从 5 名女医生任选1 名有 C15种

9、，共有C26C15 75种 5C(1 2x)2 015a0a1xa2 015x2 015，令x12，则12122 015a0a12a222a2 01522 0150，其中a01，所以a12a222a2 01522 0151.6C 如图：不妨取正方形边长为1.基本事件总数为C2510，其中等于正方形边长的有：AB，AD，DC，BC共 4 条，长度为2的有：BD，AC，共 2 条，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学不小于该正方形边长的有6 条，概率为P61035，故选 C.7A 取出红球的所有可能为1aa2a3a4a5；取出白球的方法只有1b5.故满足条件的所有取法为(1aa

10、2a3a4a5)(1b5)8B 令h(x)f（x）g（x），则h(x)f（x）g（x）f（x）g（x）g2（x）0，故函数h(x)为减函数，即0a1.再根据f（1）g（1）f（1）g（1）52，得a1a52，解得a2(舍去)或者a12.所以f（n）g（n）12n，数列f（n）g（n）的前n项和是12112n112112n，由于 112n3132，所以n5.9.14 z3i（13i）23i223i3i2（13i）（3i）（13i）2（13i）（13i）232i83414i，故z3414i，zz 3414i3414i31611614.10 1122132142152162116 归纳观察法观察每行

11、不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列第五个不等式为1122132142152162116.1112223242(1)n1n2(1)n1n（n1）2 左边共n项，每项的符号为(1)n1，通项为(1)n 1n2.等式右边的值符号为(1)n1，各式为(1)n1(1 23n)(1)n1n（n1）2，第n个等式为1222 3242(1)n1n2小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(1)n1n（n1）2.12 20 (xy)8展开式中的通项为Tk 1Ck8x8kyk，当k7 时，T8 C78xy78xy7.当k6 时，T7

12、C68x2y628x2y6.(xy)(xy)8展开式中x2y7项为x8xy7(y)28x2y6 20 x2y7.故x2y7的系数为 20.13.352、70 或 3 432 因为 C4nC6n2C5n，所以n2 21n980，解得n 7或n 14，当n7 时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.所以T4的系数为C3712423352，T5的系数为C471232470.当n14 时，展开式中二项式系数最大的项是T8.所以T8的系数为C714127273 432.14.16 十个数中任取七个不同的数共有C710种情况，七个数的中位数为6，那么 6 只有处在中间位置，有C36种情况，于是所求概率

13、PC36C71016.15 2 013 观察数阵，记第n行的第 1 个数为an，则有a2a12，a3a24，a4a36，a5a48，anan 12(n1)将以上各等式两边分别相加，得ana12468 2(n1)n(n1)，所以ann(n1)1，所以a451 981.又从第 3 行起数阵每一行的数都构成一个公差为2 的等差数列，则第 45 行从左向右的第17小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学个数为 1 981 162 2 013.16解(1)由已知，有P(A)C22C23C23C23C48635.所以，事件A发生的概率为635.(2)P(Xk)Ck5C4k3C48(k1，2

14、，3，4)P(X1)C15C33C48114，P(X2)C25C23C4837，P(X3)C35C13C4837，P(X4)C45C03C48114.17(1)解设an的前n项和为Sn，当q1 时，Sna1a1a1na1；当q1 时，Sna1a1qa1q2a1qn1.qSna1qa1q2a1qn，得，(1 q)Sna1a1qn，Sna1（1qn）1q，Snna1，q1，a1（1qn）1q，q1.(2)证明假设 an1 是等比数列，则对任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2k 12ak11akak 2akak21，a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk 1a1qk 1

15、，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1 不是等比数列18(1)解1an12an1an21an，所以1an是首项为1，公差为2 的等差数列，所以1an 12(n1)2n1，即an12n1.(2)证明2bn1an 12n，所以bn1n，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以Pn(1b1)(1 b3)(1b2n1)(1 1)113115 112n1.用数学归纳法证明如下：当n 1时，P123.假设当nk(k1)时命题成立，则Pk1(1 b1)(1 b3)(1b2k1)(1 b2k1)(1 1)113115 112k1112k1

16、112k12k1.因为112k12k12k22k1，所以P2k1(2k 3)22k22k12(2k3)24k28k4（4k28k3）2k 112k10，所以Pk12k3，即当nk1 时结论成立由可得对于任意正整数n，Pn2n1都成立19解(1)X的所有可能取值为2，1，0，1.(2)数量积为 2 的有2OA5OA，共 1 种；数量积为 1 的有1OA5OA，1OA6OA，2OA4OA，2OA6OA，3OA4OA，3OA5OA，共 6 种；数量积为0 的有1OA3OA，1OA4OA，3OA6OA，4OA6OA，共 4 种；数量积为1 的有1OA2OA，2OA3OA，4OA5OA，5OA6OA，共

17、 4 种故所有可能的情况共有15 种所以小波去下棋的概率为P1715；因为去唱歌的概率为P2415，所以小波不去唱歌的概率为P1P214151115.20(1)解f(x)的反函数为g(x)ln x,设所求切线的斜率为k，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学g(x)1x，kg(1)1.于是在点(1，0)处的切线方程为yx1.(2)证明法一曲线yex与y12x2x1 公共点的个数等于函数(x)ex12x2x1零点的个数(0)110，(x)存在零点x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，则h(x)ex1，当x0 时，h(x)0 时，h(x)0，(x)在(0，)上单调递增

18、(x)在x 0 处有唯一的极小值(0)0，即(x)在 R上的最小值为(0)0.(x)0(仅当x0 时等号成立)，(x)在 R上是单调递增的，(x)在 R上有唯一的零点，故曲线yf(x)与y12x2x1 有唯一的公共点法二ex0，12x2x10，曲线yex与y12x2x1 公共点的个数等于曲线y12x2x1ex与y1 公共点的个数，设(x)12x2x1ex，则(0)1，即x0 时，两曲线有公共点又(x)（x1）ex（12x2x1）exe2x12x2ex0(仅当x0 时等号成立)，(x)在 R上单调递减，(x)与y1 有唯一的公共点，故曲线yf(x)与y12x2x1 有唯一的公共点(3)解f（b）f（a）baf ab2ebeabaeab2小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学22eeeea ba bbababa2ea bba eba2ea b2(ba)设函数u(x)ex1ex2x(x0)，则u(x)ex1ex22ex1ex20，u(x)0(仅当x0 时等号成立)，u(x)单调递增当x0 时，u(x)u(0)0.令xba2，则 eba2eab2(ba)0，又2ea bba 0，f（b）f（a）baf ab2.