【推荐】高三数学回归课本复习材料：函数基本概念(基础回顾).pdf

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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学函数基本概念回归课本复习材料1 一考试要求：(1)了解映射的概念，理解函数的概念.(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质.(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质.掌握对数函数的概念、图像和性质.(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.二基础知识:1.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f

2、 xaxbxc a;(2)顶点式2()()(0)f xa xhk a;(3)零点式12()()()(0)f xa xxxxa.2.解连不等式()Nf xM3.方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根,与0)()(21kfkf不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21kk内,等价于0)()(21kfkf4.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：当 a0 时，若qpabx,2，则minmaxmax()(),()(),()2bf xff

3、xfpf qa；qpabx,2，maxmax()(),()f xf pf q，minmin()(),()f xfpf q.当 a0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()()f xaf x()0)f x,或21()()(),()0,1)2f xfxf xafx,则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且()1f a1212()()1,0|2)f xf xxxa，则)(xf周期 T=4a；(5)(

4、)()(2)(3)(4)f xf x af xa f x af xa()()(2)(3)(4)f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a.20.指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0 或 1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。函数基本概念回归课本复习材料2 20.分数指数幂小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）.21根式的

5、性质（1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.22有理指数幂的运算性质(1)(0,)rsrsaaaar sQ.(2)()(0,)rsrsaaar sQ.(3)()(0,0,)rrraba babrQ.注：若 a0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.23.指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN.24.对数的换底公式logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m,1n,0N).25

6、对数的四则运算法则若 a0，a1，M 0，N0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR.26.设函数)0)(log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.27.对数换底不等式及其推广若0a,0b,0 x,1xa,则函数log()axybx(1)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数.(2)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数.推论:设1nm，0p，

7、0a，且1a，则（1）log()logmpmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.三基本方法小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.映射f:AB A中元素必须都有象且唯一；B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一2.函数f:AB 是特殊的映射。特殊在定义域A 和值域 B 都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。3.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。4.求函数定义域的常用方法（在

8、研究函数问题时要树立定义域优先的原则）复 合 函 数 的 定 义 域：若 已 知()f x的 定 义 域 为,a b,其 复 合 函 数()f g x的 定 义 域 由 不 等 式()ag xb解出即可；若已知()f g x的定义域为,a b,求()f x的定义域，相当于当,xa b时，求()g x的值域（即()fx的定义域）。5.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法（2）换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）（3）函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定

9、所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性（4）单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性（5）数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等（6）判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：2bykx型，可直接用不等式性质，2bxyxmxn型，先化简，再用均值不等式22xm xnyxmxn型，通常用判别式法；2xm xnymxn型，可用判别式法或均值不等式法（7）不等式法利用基本不等式2(,)abab a bR求函数的最值，其题

10、型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。（8）导数法一般适用于高次多项式函数，提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值0()f x时，一定首先要判断0 x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。7.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法（2）代换（配凑）法已知形如()f g

11、 x的表达式，求()f x的表达式。（3）方程的思想已知条件是含有()f x及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x及另外一个函数的方程组。8.反函数：（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有()0(0)f xx有反函数；周期函数一定不存（2）求反函数的步骤：反求x；互换x、y；注明反函数的定义域（原来函数的值域）。（3）反函数的性质：反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。函数()yfx的图象与其反函数1()yfx的图象关于直线yx对称，注意

12、函数()yf x的图象与1()xfy的图象相同。1()()f abfba。互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学9.函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f xfx或()1()fxf x（()0f x）。图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关

13、于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若()f x为偶函数，则()()(|)fxf xfx.若奇函数()f x定义域中含有0，则必有(0)0f.故(0)0f是()f x为奇函数的既不充分也不必要条件。定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（()0f x，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.10.函数的单调性。（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在

14、解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间(,)a b内，若总有()0fx，则()f x为增函数；反之，若()f x在区间(,)a b内为增函数，则()0fx，请注意两者的区别所在。在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0byaxax0)b型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)bbaa，减区间为,0),(0,bbaa.复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.