((完整版))精选高中数学数列分类典型试题及答案-推荐文档.pdf

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1、总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 1 页 共 15 页精选高中数学数列分类典型试题及答案精选高中数学数列分类典型试题及答案【典型例题典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质1.研究通项的性质例题 1.已知数列na满足1111,3(2)nnnaaan.（1）求32,aa；（2）证明：312nna.解：解：（1）21231,3 14,3413aaa .（2）证明：由已知113nnnaa，故)()()(12211aaaaaaannnnn12131333 12nnna，所以证得312nna.例题 2.数列 na的前n项和记为11,1,21(1)nnnS aaSn（）求 na的通项公式；（）等差数

2、列 nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,ab ab ab成等比数列，求nT.解：解：（）由121nnaS可得121(2)nnaSn，两式相减得：112,3(2)nnnnnaaa aa n，又21213aS 213aa 故 na是首项为 1，公比为 3 的等比数列 13nna（）设 nb的公比为d，由315T 得，可得12315bbb，可得25b 故可设135,5bd bd，又1231,3,9aaa，由题意可得2(51)(59)(53)dd，解得122,10dd等差数列 nb的各项为正，0d 2d 2(1)3222nn nTnnn例题 3.已知数列 na的前三项与数列

3、nb的前三项对应相同，且212322.aaa128nnan对任意的*Nn都成立，数列nnbb1是等差数列.求数列 na与 nb的通项公式；是否存在Nk，使得(0,1)kkba，请说明理由.点拨：点拨：（1）2112322.28nnaaaan左边相当于是数列12nna前 n 项和的形式，可以联想到已知nS求na的方法，当2n 时，1nnnSSa.（2）把kkab 看作一个函数，利用函数的思想方法来研究kkab 的取值情况.总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 2 页 共 15 页解：解：（1）已知212322aaa12nna8n(n*N）2n 时，212322aaa2128(1)nnan(n*N

4、）得，128nna，求得42nna，在中令1n，可得得4 1182a，所以42nna(nN*）.由题意18b，24b，32b，所以214bb，322bb，数列1nnbb的公差为2)4(2，1nnbb2)1(4n26n，121321()()()nnnbbbbbbbb(4)(2)(28)n 2714nn(n*N）.（2）kkba2714kk42k，当4k 时，277()()24f kk42k单调递增，且(4)1f，所以4k 时，2()714f kkk421k，又(1)(2)(3)0fff，所以，不存在k*N，使得(0,1)kkba.例题 4.设各项均为正数的数列an和bn满足：an、bn、an+1

5、成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且 a1=1，b1=2，a2=3，求通项 an，bn 头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头 解：解：依题意得：2bn+1=an+1+an+2 a2n+1=bnbn+1 an、bn为正数，由得21211,nnnnnnbbabba，代入并同除以1nb得：212nnnbbb，nb为等差数列头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头 b1=2，a2=3，29,22122bbba则，2)1(),1(22)229)(1(22nbnnbnn，当

6、 n2 时，2)1(1nnbbannn，又 a1=1，当 n=1 时成立，2)1(nnan头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头2.研究前 n 项和的性质例题 5.已知等比数列na的前n项和为2nnSab，且13a.（1）求a、b的值及数列na的通项公式；总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 3 页 共 15 页（2）设nnnba，求数列nb的前n项和nT.解：解：（1）2n时，aSSannnn112.而na为等比数列，得aaa1112，又31a，得3a，从而123nna.又123,3aabb .（2）13 2nnnnnba，2112

7、3(1)3222nnnT 23111 1231(23 22222nnnnnT），得2111111(1)232222nnnnT，111(1)2412(1)13232212nnnnnnnT.例题 6.数列na是首项为 1000，公比为110的等比数列，数列b n满足121(lglglg)kkbaaak *()Nk，（1）求数列b n的前n项和的最大值；（2）求数列|b|n的前n项和nS.解：解：（1）由题意：410nna，lg4nan，数列lgna是首项为 3，公差为1的等差数列，12(1)lglglg32kk kaaak，1(1)7322nn nnbnn由100nnbb，得67n，数列b n的前

8、n项和的最大值为67212SS.（2）由（1）当7n 时，0nb，当7n 时，0nb，当7n 时，212731132()244nnnSbbbnnn 当7n 时，12789nnSbbbbbb27121132()2144nSbbbnn22113(7)4411321(7)44nnnnSnnn.例题 7.已知递增的等比数列na满足23428aaa，且32a 是2a，4a的等差中项.（1）求na的通项公式na；（2）若12lognnnbaa，12nnSbbb求使1230nnSn成立的n的最小值.总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 4 页 共 15 页解：解：（1）设等比数列的公比为 q（q1），由 a

9、1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2 或 a1=32，q=12（舍）an=22（n1）=2n（2）12log2nnnnbaan ，Sn=（12+222+323+n2n）2Sn=（122+223+n2n+1），Sn=2+22+23+2nn2n+1=（n1）2n+12，若 Sn+n 2n+130 成立，则 2n+132，故 n4，n 的最小值为 5.例题 8.已知数列na的前 n 项和为 Sn，且11,nnSa成等差数列，*1,1Nna.函数3()logf xx.（I）求数列na的通项公式；（II）设数列 nb满足1(3)()2nnbnf a，

10、记数列 nb的前 n 项和为 Tn，试比较52512312nnT与的大小.解：解：（I）11,nnSa成等差数列，121nnSa 当2n 时，121nnSa.得：112()nnnnSSaa，13nnaa，13.nnaa当 n=1 时，由得112221Saa，又11,a 2213,3,aaana是以 1 为首项 3 为公比的等比数列，13.nna（II）xlogxf3，133()loglog 31nnnf aan，11111()(3)()2(1)(3)213nnbnf annnn，1 111111111111()2 24354657213nTnnnn1 1111()2 2323nn525,122

11、(2)(3)nnn比较52512312nnT与的大小，只需比较2(2)(3)nn与 312 的大小即可.222(2)(3)3122(56 156)2(5150)nnnnnn与2(15)(10)nn*,Nn当*19Nnn与时，5252(2)(3)312,;12312nnnnT与当10n 时，5252(2)(3)312,;12312nnnnT与当*10Nnn与时，5252(2)(3)312,12312nnnnT与.3.研究生成数列的性质例题 9.（I）已知数列 nc，其中nnnc32，且数列nnpcc1为等比数列，求常数p；总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 5 页 共 15 页（II）设 na

12、、nb是公比不相等的两个等比数列，nnnbac，证明数列 nc不是等比数列.解：解：（）因为cn+1pcn是等比数列，故有（cn+1pcn）2=（cn+2pcn+1）（cnpcn1），将 cn=2n3n代入上式，得2n1+3n1p（2n3n）2=2n2+3n2p（2n+13n+1）2n+3np（2n13n1），即（2p）2n+（3p）3n2=（2p）2n+1+（3p）3n+1（2p）2n1+（3p）3n1，整理得61（2p）（3p）2n3n=0，解得 p=2 或 p=3.（）设an、bn的公比分别为 p、q，pq，cn=an+bn.为证cn不是等比数列只需证22cc1c3.事实上，22c=（a

13、1pb1q）2=21ap221bq22a1b1pq，c1c3=（a1b1）（a1 p2b1q2）=21ap221bq2a1b1（p2q2）.由于 pq，p2q22pq，又 a1、b1不为零，因此22cc1c3，故cn不是等比数列.例题 10.n2（n4）个正数排成 n 行 n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头已知 a24=1，163,814342aa头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头求 S=a11+

14、a22+a33+ann 头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头解：解：设数列1ka的公差为 d，数列ika（i=1，2，3，n）的公比为 q头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头则1ka=a11+（k1）d，akk=a11+（k1）dqk1头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头依题意得：163)2(81)(1)3(31143311421124qdaaqdaaqdaa，解得：a11=d=q=21头 头头 头头 头 头头

15、头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头又 n2个数都是正数，a11=d=q=21，akk=kk2头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头nnS212132122132，1432212132122121nnS，两式相减得：nnnS22121头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 6 页 共 15 页例题 11.已知函数3()log()f xaxb的图象经过点)1,2(A和)2,5(B，记()*3,.f nna

16、nN（1）求数列na的通项公式；（2）设nnnnnbbbTab21,2，若)(ZmmTn，求m的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21npaaan对一切*Nn均成立的最大实数p.解：解：（1）由题意得2)5(log1)2(log33baba，解得12ba，)12(log)(3xxf *)12(log,1233Nnnann （2）由（1）得nnnb212，nnnnnT2122322523211321 1132212232252232121nnnnnnnT 得)21212121(2121n22222222221T211n2n2111nn1n321n1n1n1n21n2212321

17、n2.nn2nn23n2321n2213T，设*,232)(Nnnnfn，则由1512132121)32(252232252)()1(1nnnnnnfnfnn得*,232)(Nnnnfn随n的增大而减小n当时，3nT又)(ZmmTn恒成立，3minm （3）由题意得*21)11()11)(11(121Nnaaanpn对恒成立 记)11()11)(11(121)(21naaannF，则11n21n2)1n()1n(4)1n(2)3n2)(1n2(2n2)a11()a11)(a11(1n21)a11)(a11()a11)(a11(3n21)n(F)1n(F2n211nn21)(),()1(,0)(

18、nFnFnFnF即是随n的增大而增大 总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 7 页 共 15 页)(nF的最小值为332)1(F，332 p，即332maxp.（二）证明等差与等比数列1.转化为等差等比数列.例题 12.数列na中，2,841aa且满足nnnaaa122，*Nn.求数列na的通项公式；设|21nnaaaS，求nS；设nb=1(12)nna*12(),()NNnnnTbbb n，是否存在最大的整数m，使得对任意*Nn，均有nT32m成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.解：解：（1）由题意，nnnnaaaa112，na为等差数列，设公差为d，由题意得2832dd，82(

19、1)102nann.（2）若50210nn则，|,521nnaaaSn时21281029,2nnaaannn6n 时，nnaaaaaaS765212555()2940nnSSSSSnn故 40n9nnn9S22n 56nn（3）111 11()(12)2(1)21nnbnan nnn，nT1111111111(1)()()()()22233411nnnn.2(1)nn若32nmT 对任意*Nn成立，即116nmn对任意*Nn成立，*()1Nnnn的最小值是21，1,162mm的最大整数值是 7.即存在最大整数,7m使对任意*Nn，均有.32nmT 例题 13.已知等比数列 nb与数列na满足3

20、,nanbnN*.（1）判断na是何种数列，并给出证明；（2）若8131 220,aambbb与.解：解：（1）设 nb的公比为 q，3nanb，qlog1naa3q331na1nan1。所以na是以3log q为公差的等差数列.（2）813,aam所以由等差数列性质可得120813,aaaam123aaa12020()20102aaam1220()101 22033aaambbb总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 8 页 共 15 页2.由简单递推关系证明等差等比数列例题 14.已知数列na和 nb满足：11a，22a，0na，1nnnba a（*nN），且 nb是以q为公比的等比数列.（

21、I）证明：22nnaa q；（II）若2122nnncaa，证明：数列 nc是等比数列；（III）求和：1234212111111nnaaaaaa.解法解法 1：（I）证：证：由1nnbqb，有1221nnnnnnaaaqaa a，*Nnqaa2n2n.（II）证：证：22nnqaa，22221231nnnaaqa q，2n2222n2n2qa.qaa，22222222212121222(2)5nnnnnnncaaa qa qaa qq.nc是首项为 5，公比为2q的等比数列.（III）解：解：由（II）得2 221111nnqaa，2 22211nnqaa，于是122132124211111

22、1111()()nnnaaaaaaaaa242224221211111111(1)(1)nnaqqqaqqq21223111(1)2nqqq.当1q 时，24221221113111(1)2nnaaaqqq32n.当1q 时，24221221113111(1)2nnaaaqqq223 1()2 1nqq2222312(1)nnqqq.故212222231211111.(1)nnnnqqaaaqqq，总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 9 页 共 15 页解法解法 2：（I）同解法 1（I）.（II）证：证：222*1212221221221222()22Nnnnnnnnnnncaaq aq

23、aqncaaaa，又11225caa，nc是首项为 5，公比为2q的等比数列.（III）由解法 1 中（II）的类似方法得222221212()3nnnnaaaa qq，34212121221234212111nnnnnaaaaaaaaaa aa aaa，2222212442123322kkkkkkkaaqqaaq，12kn，.2n22n221q.q123a1.a1a1.例题 15.设数列0,1,)1(,其中且项和为的前nnnnaSSna（1）证明：数列na是等比数列；（2）设数列na的公比()qf，数列 nb满足1b，bn=f（bn1）（nN*，n2），求数列nb的通项公式；（3）设1，1(

24、1)nnnCab，求数列nC的前 n 项和n.（1）证明：证明：由11(1)(1)(2)nnnnSaSan相减得：11,(2),1nnnnnaaaana 数列na是等比数列（2）解：解：1nb是首项为112b，公差为 1 的等差数列，12(1)1nnnb.11nbn.（3）解：解：1时11111,(),(1)()22nnnnnnaCanb2111112()3()()222nnTn 得：nnn21n2112T21所以：114(1()2()22nnnTn.总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 10 页 共 15 页例题 16.OBC的各个顶点分别为(0,0),(1,0),(0,2)，设1P为线段B

25、C的中点，2P为线段OC 的中点，3P为线段1OP的中点.对每一个正整数3,nn P为线段1nnP P的中点.令nP的坐标为(,)nnxy，1212nnnnayyy.（1）求321,aaa及,()Nnan；（2）证明：41,()4Nnnyyn（3）记444,()Nnnnbyyn，证明：nb是等比数列.（1）解：解：因为 y1=y2=y4=1，y3=12，y5=34，所以 得 a1=a2=a3=2.又由132nnnyyy，对任意的正整数 n 有an+1=12312nnnyyy=112122nnnnyyyy=1212nnnyyy=an 恒成立，且 a1=2，所以an为常数数列，an=2，（n 为正

26、整数）（2）证明：证明：根据1242nnnyyy，及1212nnnyyy=an=2，易证得 yn+4=14ny（3）证明：证明：因为 bn+1=4n48n4yy=（1444ny）（144ny）=14nb，又由 b1=48yy=144yy4=14，所以bn是首项为14，公比为14的等比数列.【模拟试题模拟试题】一、填空题1.在等差数列an中，已知 a1=2，a2+a3=13，则 a4+a5+a6等于=.2.已知数列的通项52nan，则其前n项和nS .3.首项为24 的等差数列，从第 10 项开始为正，则公差d的取值范围是 .4.在等比数列na中，3a和 5a 是二次方程 250 xkx 的两个

27、根，则642aaa的值为 .总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 11 页 共 15 页5.等差数列an中，a1=1，a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100，则 n=.6.等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项的和为 100，求它的前 3m 项的和为_头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头 7.已知两个等差数列na和 nb的前n项和分别为 An和nB，且7453nnAnBn，77ba=，若nnba为正整数，n 的取值个数为_。8.已知数列 na对于任意*pqN，有pqp qaaa，若119a，则36a.9.记数列na

28、所有项的和为)1(S，第二项及以后各项的和为)2(S，第三项及以后各项的和为,)3(S，第n项及以后各项的和为)(nS，若2)1(S，1)2(S，(3)1,2S，()21,2nnS，则na等于 .10.等差数列na共有21n项，其中奇数项之和为 319，偶数项之和为 290，则其中间项为_.11.等差数列na中，0na，若1m且0121mmmaaa，2138mS，则m的值为 .12.设nS为等差数列na的前n项和.已知6636,324,144(6)nnSSSn，则n等于 .13.已知函数)(xf定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有(2)2(1)f xf x()f x，且(1)2,(3)

29、6ff，则(2005)f_ _.14.三个数cba,成等比数列，且(0)abcm m，则 b 的取值范围是 .15.等差数列na中，前n项和为nS，首项194,0aS.（1）若10nnaS，求n（2）设2nanb，求使不等式122007nbbb的最小正整数n的值.点拨：在等差数列中dnSann,知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项1a与公差d，把nnSa,分别用首项1a与公差d，表示即可.对于求和公式1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些.例如：已知9109100,0,0,aaaa判断171820,

30、SSS的正负.问题 2 在思考时要注意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项.16.等差数列na的前n项和为nS，112a ，393 2S.（I）求数列na的通项na与前n项和为nS；（II）设nnSbn（*Nn），求证：数列nb中任意不同的三项都不可能成为等比数列.17.在直角坐标平面上有一点列111222(,),(,),(,)nnnP x yP xyP xy，对一切正整数 n，点总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 12 页 共 15 页nP位于函数1334yx的图象上，且nP的横坐标构成以52为首项，1为公差的等差数列nx.求点nP的坐标；设抛物线列,321ncccc中

31、的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线nc的顶点为nP，且过点2(0,1)nDn，设与抛物线nc相切于nD的直线的斜率为nk，求：12231111nnk kk kkk.设|2,1,|4,1NnnSx xx nnTy yy n，等差数列na的任一项TSan，其中1a是ST中的最大数，10265125a，求na的通项公式.18.已知数列 na满足*111,21()Nnnaaan，（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 na满足12111*444(1)()Nnnbbbbnan（nN*），证明：nb是等差数列.【试题答案试题答案】1.422.(51)2nn3.8(,334.5 55.10总复习

32、必须掌握的数列经典解题技巧 第 13 页 共 15 页6.2107.8.5；5 个解法一：点拨 利用等差数列的求和公式1()2nnaa nS及等差数列的性质“若2,Nmpq m p q，则2qpmaaa”解析：77ba=1131311313()13172()1322aaAbbB解法 2：点拨 利用“若na为等差数列，那么bnanSn2”这个结论，根据条件找出na和nb的通项.解析：可设(745)nAknn，(3)nBkn n，则1(1438)nnnaAAkn，(22)nbkn，则77ba=(14738)17(272)2kk由上面的解法 2 可知nnab=(1438)127(22)1knknn，

33、显然只需使121n为正整数即可，故1,2,3,5,11n，共 5 个.点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用.反思：解法 2 中，若是填空题，比例常数 k 可以直接设为 1.8.49.解：()(1)211111222nnnnnnaSS.10.解：依题意，中间项为1na，于是有11(1)319290nnnana解得129na.11.解：由题设得mmmmaaaa2112，而0ma，2ma，又2138mS，121()(21)2(21)382(21)22mmaamamm，10m.12.解：661()6()36(324144)216nnnSSSaa，136naa，1(

34、)3242nnn aaS.18n。13.解：由(2)()2(1)f xf xf x知函数*()()Nf x x当x从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，(1),(3),(2005)fff形成一个首项为 2，公差为 4 的等差数列，(2005)2(1003 1)44010f.14.解：设,bacbqq，则有1,0,1bmbbqmbqqqb.总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 14 页 共 15 页当0q 时，113mqbq，而0b，03mb；当0q时，111mqbq ，即1mb，而0m，0b，则0mb，故,0)(0,3mbm.15.解：（1）由919360Sad，得：1,5nd

35、an，又由(1)10,4(1)(1)4(1)102nnn naSnn .即27300nn，得到10n.（2）由nnb52若n5，则12nbbb12531bbb，不合题意故n5，5122(21)31200721nnbbb即52989n，所以n15，使不等式成立的最小正整数n的值为 1516.解答：（I）由已知得11213393 2aad，2d，故212(2)nnanSn n，.（）由（）得2nnSbnn.假设数列 nb中存在三项,pqrb b b（p q r,互不相等）成等比数列，则2qprbb b.即2(2)(2)(2)qpr.2()(2)20qprqprpqrN，2020qprqpr，22(

36、)()02prpr prpr，.与pr矛盾.17.解：（1）53(1)(1)22nxnn 1353533,(,3)4424nnnyxnPnn （2）nc的对称轴垂直于x轴，且顶点为nP.设nc的方程为：223125(),24nnya x把)1,0(2nDn代入上式，得1a，nc的方程为：22(23)1yxnxn.总复习必须掌握的数列经典解题技巧 第 15 页 共 15 页32|0nykxn，111111()(21)(23)2 2123nnkknnnn12231111nnk kk kkk1111111()()()257792123nn=1 1111()2 5231046nn.（3）|(23),1

37、NSx xnnn，|(125),1NTy ynnn|2(61)3,1Ny ynnn,STTT 中最大数117a .设na公差为d，则10179(265,125)ad ，由此得*24812,12()9NndaTdm m 与*24,724()Nndan n 18.（1）解：*121(),Nnnaan112(1),nnaa 1na是以112a 为首项，2 为公比的等比数列.12.nna 即 21(*)Nnnan.（2）证：1211144.4(1).nnkkkkna12(.)42.nnkkknnk 122(.),nnbbbnnb 12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb ，得112(1)(1),nnnbnbnb即1(1)20,nnnbnb21(1)20.nnnbnb，得 2120,nnnnbnbnb即 2120,nnnbbb*211(),Nnnnnbbbb n nb是等差数列.