((完整版))二次函数知识点汇总(全)-推荐文档.pdf

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1、第-1-页 共 22 页二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。2yaxbxcabc何何0a 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实0a bc何数2.二次函数的结构特征：2yaxbxc 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是 2xx 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项abc何何abc二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.的性质：2yaxc上加下减。3.的性质：2ya xh左加右减。的符号a开口方向顶点坐标对称轴

2、性质0a 向上00何轴y时，随的增大而增大；时，随0 x yx0 x y的增大而减小；时，有最小值x0 x y00a 向下00何轴y时，随的增大而减小；时，随0 x yx0 x y的增大而增大；时，有最大值x0 x y0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c何轴y时，随的增大而增大；时，随0 x yx0 x y的增大而减小；时，有最小值x0 x yc0a 向下0c何轴y时，随的增大而减小；时，随0 x yx0 x y的增大而增大；时，有最大值x0 x yc的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h何X=h时，随的增大而增大；时，随xhyxxhy第-2-页 共 22 页4.的性质

3、：2ya xhk三、二次函数图象的平移 1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2ya xhkhk何 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2yaxhk何【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”hk概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成cbxaxy2ymcbxaxy2（或）mcbxaxy2mcbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移个单位，

4、变成cbxaxy2mcbxaxy2（或）cmxbmxay)()(2cmxbmxay)()(2 的增大而减小；时，有最小值xxhy00a 向下0h何X=h时，随的增大而减小；时，随xhyxxhy的增大而增大；时，有最大值xxhy0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上hk何X=h时，随的增大而增大；时，随xhyxxhy的增大而减小；时，有最小值xxhyk0a 向下hk何X=h时，随的增大而减小；时，随xhyxxhy的增大而增大；时，有最大值xxhyk第-3-页 共 22 页四、二次函数与的比较2ya xhk2yaxbxc从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，2ya

5、 xhk2yaxbxc即，其中22424bacbya xaa2424bacbhkaa 何五、二次函数图象的画法2yaxbxc五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、2yaxbxc2()ya xhk对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与y0c何0c何2hc，x10 x 何20 x 何轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.x画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.xy六、二次函数的性质2yaxbxc 1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标

6、为0a 2bxa 2424bacbaa何当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值2bxa yx2bxa yx2bxa y244acba 2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随0a 2bxa 2424bacbaa何2bxa y的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值x2bxa yx2bxa y244acba七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：（，为常数，）；2yaxbxcabc0a 2.顶点式：（，为常数，）；2()ya xhkahk0a 3.两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.12()()ya xxxx0a 1x2xx注意：任何二次函数的解

7、析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种x240bac形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a二次函数中，作为二次项系数，显然2yaxbxca0a 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；0a aa 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大0a aa总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小aaa2.一次项系数b第-4-页 共 22 页 在二次项系数确定的前提下，决定了

8、抛物线的对称轴ab 在的前提下，0a 当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的右侧0b 02bay 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a 当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的左侧0b 02bay总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是ababx2y0aby0ab“左同右异”总结：3.常数项c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c

9、yxy 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c yy0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负0c yxy 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置cy 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc何何二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4.已知

10、抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于轴对称x 关于轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcx2yaxbxc 关于轴对称后，得到的解析式是；2ya xhkx2ya xhk 第-5-页 共 22 页 2.关于轴对称y 关于轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcy2yaxbxc关于轴对称后，得到的解析式是；2ya xhky2ya xhk 3.关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是；2ya xhk2ya xhk 4.关于顶点对称（即：抛物线

11、绕顶点旋转 180）关于顶点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc222byaxbxca 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk2ya xhk 5.关于点对称 mn何关于点对称后，得到的解析式是2ya xhkmn何222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛a物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的

12、关系（二次函数与轴交点情况）：x一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.20axbxc2yaxbxc0y 图象与轴的交点个数：x 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次240bac x1200A xB x，12()xx12xx，方程的两根这两点间的距离.200axbxca2214bacABxxa 当时，图象与轴只有一个交点；0 x 当时，图象与轴没有交点.0 x 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；10a xx0y 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 20a xx0y 2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；2yaxbxcy(0)c第-6-页 共 22 页3.二次

13、函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判2yaxbxcabcabc断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个x交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下2(0)axbxc ax面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0a 图像参考：y=x22y=2x2y=x2

14、 y=-2x2y=-x2y=-x220 抛物线与轴有两x个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0 抛物线与轴只有x一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0 抛物线与轴无交x点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.第-7-页 共 22 页y=2x2-4y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2十一、函数的应用二次函数应用何何何何何何何何何何何何何何何何何何何二次函数考查重点与常见题型y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2第-8-页 共 22 页1 考查二次

15、函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以为自变量的二次函数的图像经过原点，则的值是 x2)2(22mmxmym2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（bkxy12bxkxy）y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0-1 x A B C D3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。

16、35x4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线（a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是2yaxbxc32（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1（1）二次函数的图像如图 1，则点在（）2yaxbxc),(acbM A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示，则下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3时

17、，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为()A 1 个 B.2 个 C.3 个 D4 个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=a

18、x2+bx+c 的对称轴是直线第-9-页 共 22 页x=2，则抛物线的顶点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D(3，2)答案：C例 4、（2006 年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB与 CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y=x2+x-1252（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物

19、线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例 6.已知：二次函数 y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于，两点，)0,(1xA)0,(2xB)(21xx 交 y 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOACO?若存在，请你求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由(1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)，则 x1x2=30，又x1O，x1

20、O，30A=OB，x2=-3x1 x1x2=-3x12=-3x12=1.x10，x1=-1x2=3 点 A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得 a=2 b=3 二次函数的解析式为 y-2x2-4x-6(2)存在点 M 使MC0ACO(2)解：点 A 关于 y 轴的对称点 A(1，O)，直线 A，C 解析式为 y=6x-6 直线 AC 与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)符合题意的 x 的范围为-1x0 或 Ox5当点 M 的横坐标满足-1xO 或 OxACO例 7、“已知函数的图象经过点 A（c，2），cbxxy221求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是

21、一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评：对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同

22、的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答 （1）根据的图象经过点 A（c，2），图象的对称轴是 x=3，cbxxy221第-10-页 共 22 页得,3212,2212bcbcc解得.2,3cb所以所求二次函数解析式为图象如图所示。.23212xxy（2）在解析式中令 y=0，得，解得023212 xx.53,5321xx所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是)0,5).0,53(令 x=3 代入解析式，得,25y所以抛物线的顶点坐标为23212xxy),25

23、,3(所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。)25,3(函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶

24、段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 解得 k=-1，b=40，即一次函数表达式1525,220kbkb为 y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50 x-400=-（x-25）2+225 产品的销售价应

25、定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程第-11-页 共 22 页例 3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 15 m，则学生丁的身高

26、为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()A15 m B1625 mC166 m D167 m分析：本题考查二次函数的应用答案：B二次函数知识点汇总二次函数知识点汇总1.1.定义：一般地，如果定义：一般地，如果是常数，是常数，那么，那么叫做叫做的二次函数的二次函数.cbacbxaxy,(2)0ayx2.2.二次函数二次函数的性质的性质2axy(1 1)抛抛物物线线的的顶顶点点是是坐坐标标原原点点，对对称称轴轴是是 轴轴.(2 2)函函数数的的图图像像与与 的的符符号号2axy）（0ay2axy a关关系系.当当时时抛抛物物线线开开口口向向上上顶顶点点为为其其最最低低点点；当当时时抛抛物物线线开开

27、口口向向下下顶顶点点0a0a为为其其最最高高点点3.3.二次函数二次函数 的图像是对称轴平行于的图像是对称轴平行于(包括重合包括重合)轴的抛物线轴的抛物线.cbxaxy2y4.4.二二次次函函数数用用配配方方法法可可化化成成：的的形形式式，其其中中cbxaxy2khxay2.abackabh4422，5.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.2axy kaxy22hxaykhxay2cbxaxy26.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.决决定定抛抛物物线线的的开开口口方方向向：a当当时时，开开口

28、口向向上上；当当时时，开开口口向向下下；相相等等，抛抛物物线线的的开开口口大大小小、形形状状相相同同.0a0aa平行于平行于轴轴(或重合或重合)的直线记作的直线记作.特别地，特别地，轴记作直线轴记作直线.yhx y0 x7.7.顶点决定抛物线的位置顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开相同，那么抛物线的开a第-12-页 共 22 页口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)(1)公式法：公式法：，顶点是顶点

29、是，对称轴是直线，对称轴是直线abacabxacbxaxy442222），（abacab4422.abx2(2 2)配配方方法法：运运用用配配方方法法将将抛抛物物线线的的解解析析式式化化为为的的形形式式，得得到到顶顶点点为为(,)，对对称称khxay2h k轴轴是是.hx(3)(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做

30、到万无一失用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.9.抛物线抛物线中，中，的作用的作用cbxaxy2cba,(1)(1)决定开口方向及开口大小，这与决定开口方向及开口大小，这与中的中的完全一样完全一样.a2axy a(2 2)和和 共共同同决决定定抛抛物物线线对对称称轴轴的的位位置置.由由于于抛抛物物线线的的对对称称轴轴是是直直线线,故故：bacbxaxy2abx2时时，对对称称轴轴为为 轴轴；(即即、同同号号)时时,对对称称轴轴在在轴轴左左侧侧；0by0ababy(即即、异异号号)时时,对对称称轴轴在在轴轴右右侧侧.0ababy(3)(3)的大小决定抛物线的大小决

31、定抛物线与与轴交点的位置轴交点的位置.ccbxaxy2y当当时，时，抛物线抛物线与与轴有且只有一个交点轴有且只有一个交点(0(0，)：0 xcy cbxaxy2yc，抛物线经过原点，抛物线经过原点;,与与轴交于正半轴；轴交于正半轴；,与与轴交于负半轴轴交于负半轴.0c0cy0cy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在如抛物线的对称轴在轴右侧，则轴右侧，则 .y0ab10.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式函数解析式开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标2axy(轴轴)0 xy(0,

32、0)(0,0)kaxy2(轴轴)0 xy(0,(0,)k2hxayhx(,0),0)hkhxay2当当时时0a开口向上开口向上当当时时0a开口向下开口向下hx(,)hk第-13-页 共 22 页cbxaxy2abx2()abacab4422，第-14-页 共 22 页11.11.用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式 (1)(1)一般式：一般式：.已知图像上三点或三对已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式的值，通常选择一般式.cbxaxy2xy (2)(2)顶点式：顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.khxay2 (

33、3)(3)交点式：已知图像与交点式：已知图像与轴的交点坐标轴的交点坐标、，通常选用交点式：，通常选用交点式：.x1x2x21xxxxay12.12.直线与抛物线的交点直线与抛物线的交点 (1)(1)轴与抛物线轴与抛物线得交点为得交点为()ycbxaxy2c,0 (2)(2)与与轴平行的直线轴平行的直线与抛物线与抛物线有且只有一个交点有且只有一个交点(,).).yhx cbxaxy2hcbhah2 (3)(3)抛物线与抛物线与轴的交点轴的交点x二次函数二次函数的图像与的图像与轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方，是对应一元二次方cbxaxy2x1x2x程程的的两两个个实实

34、数数根根.抛抛物物线线与与 轴轴的的交交点点情情况况可可以以由由对对应应的的一一元元二二次次方方程程的的根根的的判判02cbxaxx别别式式判判定定：有两个交点有两个交点抛物线与抛物线与轴相交；轴相交；0 x有一个交点有一个交点(顶点在顶点在轴上轴上)抛物线与抛物线与轴相切；轴相切；x0 x没有交点没有交点抛物线与抛物线与轴相离轴相离.0 x(4)(4)平行于平行于轴的直线与抛物线的交点轴的直线与抛物线的交点x同同(3)(3)一样可能有一样可能有 0 0 个交点、个交点、1 1 个交点、个交点、2 2 个交点个交点.当有当有 2 2 个交点时，两交点的纵坐标相个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵

35、坐标为等，设纵坐标为，则横坐标是，则横坐标是的两个实数根的两个实数根.kkcbxax2(5)(5)一次函数一次函数的图像的图像 与二次函数与二次函数的图像的图像的交点，由的交点，由0knkxyl02acbxaxyG方程组方程组的解的数目来确定：的解的数目来确定：cbxaxynkxy2方程组有两组不同的解时方程组有两组不同的解时与与有两个交点有两个交点;lG方程组只有一组解时方程组只有一组解时与与只有一个交点；只有一个交点；方程组无解时方程组无解时与与没有交点没有交点.lGlG(6)(6)抛物线与抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线轴两交点之间的距离：若抛物线与与轴两交点为轴两交点为xcbxax

36、y2x，由于，由于、是方程是方程的两个根，故的两个根，故 0021，xBxA1x2x02cbxaxacxxabxx2121,第-15-页 共 22 页aaacbacabxxxxxxxxAB4442221221221211313二次函数与一元二次方程的关系：二次函数与一元二次方程的关系：(1)(1)一元二次方程一元二次方程就是二次函数就是二次函数当函数当函数 y y 的值为的值为 0 0 时的情况时的情况cbxaxy2cbxaxy2(2 2)二二次次函函数数的的图图象象与与轴轴的的交交点点有有三三种种情情况况：有有两两个个交交点点、有有一一个个交交点点、cbxaxy2x没没有有交交点点；当当二二

37、次次函函数数的的图图象象与与轴轴有有交交点点时时，交交点点的的横横坐坐标标就就是是当当cbxaxy2x时时自自变变量量的的值值，即即一一元元二二次次方方程程的的根根0yx02cbxax(3)(3)当二次函数当二次函数的图象与的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy2x有两个不相等的实数根；当二次函数有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与的图象与轴有一个轴有一个cbxaxy2cbxaxy2x交点时，则一元二次方程交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数有两个相等的实数根；当二次函数02cbxax的图象与的图象与轴没有交点时，则一元二次方程轴没

38、有交点时，则一元二次方程没有实数根没有实数根cbxaxy2x02cbxax14.14.二次函数的应用：二次函数的应用：(1)(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小小)值；值；(2)(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小小)值值15.15.解决实际问题时的基本思路：解决实际问题时的基本思路：(1)

39、(1)理解问题；理解问题；(2)(2)分析问题中的变量和常量；分析问题中的变量和常量；(3)(3)用函数表用函数表达式表示出它们之间的关系；达式表示出它们之间的关系；(4)(4)利用二次函数的有关性质进行求解；利用二次函数的有关性质进行求解；(5)(5)检验结果的合检验结果的合理性，对问题加以拓展等理性，对问题加以拓展等口诀口诀-Y Y 反对反对 X X，X X 反对反对 Y Y，都反对原点，都反对原点2 自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成 y=k（x+0）+b，第-16-页 共 22 页二次函数的解析式写成 y=a（

40、x+h）2+k 的形式，则用下面后的口诀：“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须牢记,上正下负错不了”。一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数 k 与 b,作用之大莫小看，k 是斜率定夹角,b 与 Y 轴来相见,k 为正来右上斜,x 增减 y 增减；k 为负来左下展,变化规律正相反；k 的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象限；开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与 a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中

41、为 0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k 为正,图在一、三(象)限；k 为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。第-17-页 共 22 页函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过原点，k 的正负是关键，决定直线的象限，负 k 经过二四限，x 增大 y 在减，上下平移 k 不变，由引得到一次线，向上加 b 向下减，图象经过三个限，两点决定一

42、条线，选定系数是关键；反比例函数双曲线，待定只需一个点，正 k 落在一三限，x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线 x、y 的顺序可交换；二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，a、b 同号轴左边抛物线平移 a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。求定义域：求定义域有讲究，四项原则须留意。负数不能开平方，分母为零无意义。指是分数底正数，数零没有零次幂。限制条件不唯一，满足多个不等式。求定义域要过关，四项原则须注意。负数不能开平方，分母为零无意义。分数指数底正数，数零没有零次幂。限制条件

43、不唯一，不等式组求解集。解一元一次不等式：先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。先去分母再括号，移项别忘要变号。同类各项去合并，系数化“1”注意了。同乘除正无防碍，同乘除负也变号。第-18-页 共 22 页解一元二次不等式：首先化成一般式，构造函数第二站。判别式值若非负，曲线横轴有交点。a 正开口它向上，大于零则取两边。代数式若小于零，解集交点数之间。方程若无实数根，口上大零解为全。小于零将没有解，开口向下正相反。13.1 用公式法解一元二次方程 要用公式解方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最简比。确定参数 abc，计算方程判别式。判别式值与零比，有无

44、实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。用常规配方法解一元二次方程：左未右已先分离，二系化“1”是其次。一系折半再平方，两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方，解方程时多练习。用间接配方法解一元二次方程：已知未知先分离，因式分解是其次。调整系数等互反，和差积套恒等式。第-19-页 共 22 页 完全平方等常数，间接配方显优势 【注】恒等式 解一元二次方程：方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因式分解没商量。b、c 相等都为零，等根是零不要忘。b、c 同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。正比例函数的鉴别：判断正比例函数，检验当分两步

45、走。一量表示另一量，有没有。若有再去看取值，全体实数都需要。区分正比例函数，衡量可分两步走。一量表示另一量，是与否。若有还要看取值，全体实数都要有。正比例函数的图象与性质：正比函数图直线，经过 和原点。K 正一三负二四，变化趋势记心间。K 正左低右边高，同大同小向爬山。第-20-页 共 22 页 K 负左高右边低，一大另小下山峦。一次函数：一次函数图直线，经过 点。K 正左低右边高，越走越高向爬山。K 负左高右边低，越来越低很明显。K 称斜率 b 截距，截距为零变正函。反比例函数：反比函数双曲线，经过 点。K 正一三负二四，两轴是它渐近线。K 正左高右边低，一三象限滑下山。K 负左低右边高，二

46、四象限如爬山。二次函数：二次方程零换 y，二次函数便出现。全体实数定义域，图像叫做抛物线。抛物线有对称轴，两边单调正相反。A 定开口及大小，线轴交点叫顶点。顶点非高即最低。上低下高很显眼。如果要画抛物线，平移也可去描点，提取配方定顶点，两条途径再挑选。列表描点后连线，平移规律记心间。第-21-页 共 22 页 左加右减括号内，号外上加下要减。二次方程零换 y，就得到二次函数。图像叫做抛物线，定义域全体实数。A 定开口及大小，开口向上是正数。绝对值大开口小，开口向下 A 负数。抛物线有对称轴，增减特性可看图。线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。如果要画抛物线，描点平移两条路。提取配方定顶点，平移描点皆成图。列表描点后连线，三点大致定全图。若要平移也不难，先画基础抛物线，顶点移到新位置，开口大小随基础。【注】基础抛物线列方程解应用题：列方程解应用题，审设列解双检答。审题弄清已未知，设元直间两办法。列表画图造方程，解方程时守章法。检验准且合题意，问求同一才作答。两点间距离公式：同轴两点求距离，大减小数就为之。与轴等距两个点，间距求法亦如此。平面任意两个点，横纵标差先求值。差方相加开平方，距离公式要牢记。第-22-页 共 22 页