2017年全国高中数学联赛模拟试题16.pdf

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1、2017 年全国高中数学联赛模拟试题 16第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分.一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分.1已知函数，若实数使方程有实根，则 221,0af xxaxb xR xxx,a b 0f x 的最小值是 22ab2在正三棱台中，上底面积，下底面积若底边到截面111ABCABC1 1 112A B CS27ABCSBC的距离等于三棱台的高，则 11ABC1 1AB CS3从中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有 种1,2,3,100L4已知，且，若，则的

2、取值范围是 22122coscos,22sinsinxyx yziyx 12z 2zxyi21zz5 函数的最小值为 442222,2233222f x yxyx yxyxyxy6设，则数列的通项公式为 111313,20nnnnnnnxxxxxx nx7如图，设分别是两个同心圆（半径分别为）上的动点当分别在圆上运动时，线段的,P Q6,4,P QPQ中点所形成的区域面积为 M8设且，则的最大值为 122010,2,2a aa L1220100aaaL333122010aaaL二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分.9.（本小题满分 16 分）.设复数满足证明：z12z 311z 10.

3、（本小题满分 20 分）给定整数，设，其中,满足a 32f xaxbxcx,b cZ 11,22fff 求出所有满足条件的函数 f x11.（本小题满分 20 分）给定椭圆及点22221135xy10,0D（1）求的值使得对于椭圆的左顶点，存在椭圆上的另两点，满足以为圆心、为半径的圆是rA12,M MDr的内切圆；12AM M（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点，使得是的内切圆，并确定12,N NDe12AN N此时直线的方程12N N2017 年全国高中数学联赛模拟试题 16加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分 40 分）已知的内心为，的内切圆切边于

4、点，的内心分别是ABCIABCIeBCD,ABDACD，的外心为,bcJJbcAJ JO求证：三点共线,A O I 二、（本小题满分 40 分）设且求证：,0,a b c d 4abcd 222222221111abcdabcd三、（本小题满分 50 分）已知正整数满足n2014,20141nn令 1,1,nAkNkn n k1,1,nnnnnnBkA kACkA kA 对任意，记，其中表示不超过的最大整数，表示集合中元素的个数nkAnAkkSn xxAA证明：（1）；（2）nnkn kkn kk Bk CSSSS modnnBkn knk CSSAn四、（本小题满分 50 分）某国建了一座时

5、间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了 2014 个站台（依次编号为1,2，2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应 2014 年）为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点试求不同停靠方式的种数2017 年全国高中数学联赛模拟试题 16第一试参考解答（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分.1已知函数，若实数使方程有实根，则 221,0af xxaxb xR xxx,a b 0f x 的最小值是 22ab2在正三

6、棱台中，上底面积，下底面积若底边到截面111ABCABC1 1 112A B CS27ABCSBC的距离等于三棱台的高，则 11ABC1 1AB CS3从中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有 种1,2,3,100L4已知，且，若，则的取值范围是 22122coscos,22sinsinxyx yziyx 12z 2zxyi21zz5 函数的最小值为 442222,2233222f x yxyx yxyxyxy6设，则数列的通项公式为 111313,20nnnnnnnxxxxxx nx7如图，设分别是两个同心圆（半径分别为）上的动点当分别在圆上运动时，线段的,P Q6

7、,4,P QPQ中点所形成的区域面积为 M8设且，则的最大值为 122010,2,2a aa L1220100aaaL333122010aaaL二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分.9设复数满足证明：z12z 311z 10给定整数，设，其中,满足a 32f xaxbxcx,b cZ 11,22fff 求出所有满足条件的函数 f x11给定椭圆及点22221135xy10,0D（1）求的值使得对于椭圆的左顶点，存在椭圆上的另两点，满足以为圆心、为半径的圆是rA12,M MDr的内切圆；12AM M（2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点，使得是的内切圆，并确定12,N NDe

8、12AN N此时直线的方程12N N2017 年全国高中数学联赛模拟试题 16加试参考解答（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分 40 分）已知的内心为，的内切圆切边于点，的内心分别是ABCIABCIeBCD,ABDACD，的外心为,bcJJbcAJ JO求证：三点共线,A O I证明：设分别切边于点，的内切圆切于点，的内切圆切于点Ie,CA AB,E FABDADXACDAD，则，Y2DXDADBABDADBBFAFDAAF同理从而重合，所以22DYDAAFDX,X YbcJ JAD因为的外心为，bcAJ JO所以1222bbcbcAOJJ AOAJ JXAJDAC 从

9、而，111222bbBAOBAJJ AOBADDACBAC 所以三点共线,A O I二、（本小题满分 40 分）设且求证：,0,a b c d 4abcd 222222221111abcdabcd三、（本小题满分 50 分）已知正整数满足n2014,20141nn令 1,1,nAkNkn n k1,1,nnnnnnBkA kACkA kA 对任意，记，其中表示不超过的最大整数，表示集合中元素的个数nkAnAkkSn xxAA证明：（1）；（2）nnkn kkn kk Bk CSSSS modnnBkn knk CSSAn四、（本小题满分 50 分）某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了 2014 个站台（依次编号为1,2，2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应 2014 年）为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点试求不同停靠方式的种数