板的变分法.ppt

《板的变分法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《板的变分法.ppt（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第四章 板的变分法 真实的位移除了满足位移边界条件外，根据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平衡微分方程。求解微分方程的边值问题，只有在简单的情况下，才能得到解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法。基于能量原理的变分法为数值计算提供了理论基础。其中基于最小势能原理的里滋方法等可用于数值计算。本节中将说明，如何把变分法应用于薄板的小挠度弯曲问题。第一节 变形能与最小势能原理第二节 位移变分法 里滋方法第三节 伽辽金方法 设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。弹性体受力后，发生变形，外

2、力作功，外力功转化为变形能，储存在弹性体内，单元体内的变形能为第九章 变分法第一节 变形能与最小势能原理整个弹性体内的变形能为 在薄板的小挠度弯曲问题中，按照计算假定，只考虑下述分量，其它分量不计得到变形能的位移表达式这里 w=w(x,y)注意上式括号中的各项都不随z 而变，将上式的右边对z 进行积分，从t2到t2，并引入弯曲刚D，即得式中的弯曲刚度D，在变厚度的情况下，将是x和y的函数，因为t是x和y的函数。在等厚度的薄板中，D是常量，上式可以改写为 式中的第二个积分可以变换成为其中右边的线积分是沿薄板的边界进行的。根据格林公式于是由上式可得如果薄板的全部边界都是固支边，则不论边界的形状如何

3、，在边界上都有于是式右边成为零，左边也就等于零。而式简化为如果一个矩形薄板没有自由边，而只有固支边和简支边，则在x为常量的边界上有在y为常量的边界上有于是前式的右边，于是左边也就等于零，而仍然得到前面的简化式。按照薄板小挠度弯曲问题中的计算假定及几何方程，位移分量u，v可以用挠度w表示，不必取为基本未知函数(也不应取为基本未知函数)，因而只有w这唯一的基本未知函数。现在，把w的表达式设定为其中的为互不依赖的m个待定系数wm为满足薄板位移边界条件(即约束条件)的设定函数。这样，不论Cm如何取值，上式所示的挠度w总能满足位移边界条件。注意，挠度w的变分只是由系数Cm的变分来实现；至于设定的函数wm

4、，则仅随坐标而变，与上述变分完全无关。第二节位移变分法在瑞次法中，为了决定系数Cm，须应用注意，在薄板的弯曲问题中，横向体力归入了横向面力，而两者又一并归入横向荷载q因此有Fbz0，pzq，再注意在板面上有dSdxdy，可见上式成为由此可以得出Cm的m个线性方程，用来确定Cm，从而得出挠度w，再从而求得薄板的内力。为了计算圆形薄板，须将上列公式改用极坐标表示。为此，除了把微分面积dxdy改用rddr表示以外，还须用极坐标一章中的方法将w的各个二阶导数向极坐标中变换。这样，U将变换成为关于等厚度薄板的形变势能公式，将变换成为 wm应表示成为r和的函数，而变分方程变换成为在圆形薄板的轴对称问题中，

5、横向荷载及挠度都只是r的函数，于是形变势能的表达式简化为变分方程则简化为当圆板的全部边界均为夹支边时，对于外半径为a，而内半径为b的圆板我们有于是公式简化为 在用瑞次法计算薄板问题时，必须把边界条件明确区分为位移边界条件和内力边界条件。固支边上已知挠度的条件和已知法向斜率的条件，两者都是位移边界条件。自由边上已知弯矩和已知分布剪力的条件，两者都是内力边界条件。在简支边上已知挠度的条件是位移边界条件，但已知弯矩的条件则是内力边界条件。应用瑞次法时，只要求设定的挠度表达式满足位移边界条件，而不一定要满足内力边界条件。但是，如果也能满足一部分或全部内力边界条件，则往往可以提高计算成果的精度。同时也应

6、指出：在设定挠度表达式时，应当尽可能不要使它在任一边界满足某种实际上本存在的边界条件。例如，不要使得固支边上的弯矩或反力等于零，不要使得简支边上的法向斜率或反力等于零，也不要使得自由边上的挠度或法向斜率等于零。如果这种条件在其一边界上没有被遵守，则该边界附近的位移和内力将有较大的误差。第三节 伽辽金方法 里滋方法要求位移函数满足位移边界条件，如果进一步要求根据位移函数求得的应力还满足应力边界条件，公式还可以简化，这种方法称为伽辽金方法。现在，把w的表达式仍设定为其中的为互不依赖的m个待定系数但这里wm不仅是满足薄板位移边界条件(即约束条件)的设定函数，位移函数求得的应力还满足内力边界条件。应注意不要使它在任一边界满足某种实际上本存在的边界条件或内力边界条件。根据伽辽金方法的变分方程在薄板的弯曲问题中，横向体力归入了横向面力，而两者又一并归入横向荷载q因此有Fbz0，以位移表示应力，并经过化简后得到由此可以得出Cm的m个线性方程，用来确定Cm，从而得出挠度w，再从而求得薄板的内力。为了计算圆形薄板，须将上列公式改用极坐标表示：在圆形薄板的轴对称问题中，横向荷载及挠度都只是r的函数