线性代数第3章向量精美教程.ppt

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1、第第3章章 向向 量量3.1 n维向量及其线性运算维向量及其线性运算3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩 3.4 向量空间向量空间 考研园地考研园地 下页下页3.1 n维向量及其线性运算维向量及其线性运算定义定义1 由由n个数组成的一个有序数组个数组成的一个有序数组 称为一个称为一个n维向量维向量,简称为简称为向量向量,通常用小写黑体希腊字母通常用小写黑体希腊字母 等表示等表示.向量向量 的分量的分量 分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量.分量为复数向量称为分量为复数向量称为复向量复向量.本章本章上页上页下页下页3.

2、1 n维向量及其线性运算维向量及其线性运算 一个行向量与一个列向量即使每个分量对应相等一个行向量与一个列向量即使每个分量对应相等,也也不能把它们等同起来不能把它们等同起来.行向量行向量 列向量列向量 转置向量转置向量 注意注意 本章本章上页上页下页下页3.1 n维向量及其线性运算维向量及其线性运算定义定义2 如果两个如果两个n维向量维向量 对应的分量相等对应的分量相等,则称这两个向量则称这两个向量相等相等,记记作作 本章本章上页上页下页下页3.1 n维向量及其线性运算维向量及其线性运算设向量设向量 两个向量两个向量 定义定义3则向量则向量 称为向量称为向量的和的和,记作记作 向量向量 称为称为

3、 的的负向量负向量,记为记为的减法的减法,看成是看成是 的负向量的负向量 的和的和,记为记为 本章本章上页上页下页下页称为数称为数与向量与向量 的乘积的乘积,记作记作 3.1 n维向量及其线性运算维向量及其线性运算定义定义4 设设如果一个如果一个n维向量的所有分量都等于零维向量的所有分量都等于零,则称它为则称它为零零为一个实数为一个实数,则向量则向量 定义定义5向量向量,用黑体用黑体0表示表示.注意注意 n维零行向量、维零行向量、n维零列向量都写成维零列向量都写成0,但意义不同但意义不同.本章本章上页上页下页下页3.1 n维向量及其线性运算维向量及其线性运算 向量的加法、减法和数与向量的乘法运

4、算统称为向量的加法、减法和数与向量的乘法运算统称为向量的向量的线性运算线性运算向量的线性运算规律向量的线性运算规律:(交换律交换律)(结合律结合律)本章本章上页上页下页下页3.1 n维向量及其线性运算维向量及其线性运算向量的线性运算规律向量的线性运算规律:为n 维向量,k,l是数.本章本章上页上页下页下页例例1 已知已知解解3.1 n维向量及其线性运算维向量及其线性运算求求 本章本章上页上页下页下页例例2 试将下列线性方程组写成向量形式试将下列线性方程组写成向量形式:解解3.1 n维向量及其线性运算维向量及其线性运算本章本章上页上页下页下页例例3 证证3.1 n维向量及其线性运算维向量及其线性

5、运算则则 证明证明:若若 则命题已经成立则命题已经成立.本章本章上页上页下页下页3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1.向量组的线性关系向量组的线性关系2.向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关本章本章上页上页下页下页上页上页下页下页3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1.向量组的线性关系向量组的线性关系本节本节则称向量则称向量 和和n维向量维向量 3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性给定给定m个个n维向量组维向量组 如果存在如果存在 一组数一组数 使使 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示(或或线性表出线性表出)定义定义1称为向量组称为向量组 设设 为

6、为m个个n维向量维向量,为任意为任意m个数个数,则向量则向量的一个的一个线性组合线性组合.上页上页下页下页本节本节向量形式向量形式3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性如果存在一组数如果存在一组数 是线性方程组是线性方程组()的解的解,则则()的常数列构成的向的常数列构成的向量量 就可由方程的系数构成的向量组就可由方程的系数构成的向量组 线性表出线性表出.反之反之,若若()的常数列构成的向的常数列构成的向量量 可由向量组可由向量组 线性表出线性表出,即即则数组则数组 是线性方程组是线性方程组()的解的解.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例1证明向量证

7、明向量 解解可由向量可由向量 线性表示线性表示,并具体将并具体将 表示出来表示出来.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例2证明证明:向量组向量组 证证中任意一个向量中任意一个向量 都可以由向量都可以由向量 线性表示线性表示.由定义知向量由定义知向量 都可以由向量都可以由向量 线性表示线性表示.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例3证明证明:零向量是任一同维向量组零向量是任一同维向量组 证证的线性组合的线性组合.由定义知零向量是任一同维向量组由定义知零向量是任一同维向量组 的线性组合的线性组合.上页上页下页下页本节本节3.2

8、 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例4设设 证证由定义知向量由定义知向量向量向量则称向量组则称向量组 为为n维单位坐标向量组维单位坐标向量组.证明证明:任一任一n维维都可以由向量组都可以由向量组 线性表示线性表示.可以由向量组可以由向量组 线性表示线性表示.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义2 设有两个向量组设有两个向量组A:若若B组中的每个向量都可以由向量组组中的每个向量都可以由向量组A线性表示线性表示,则称向量组则称向量组 及及B:B可以由向量组可以由向量组A线性表示线性表示.若向量组若向量组B可以由向量组可以由向量组A线性线性 表示表示,且

9、向量组且向量组A又可以由向量组又可以由向量组B线性表示线性表示,则称这则称这两个两个向向量组等价量组等价.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的等价具有以下性质向量组的等价具有以下性质:(2)对称性对称性:若向量组A与向量组B等价,则向量组B与向量组A等价.(3)传递性传递性:若向量组A与向量组B等价,且向量组B与向量C等价,则向量组A与向量组C等价.(1)反身性反身性:任何一个向量组都与自身等价.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例5设两个设两个3维向量组维向量组 证证向量组向量组B可以由向量组可以由向量组A线性表示线

10、性表示;试证明向量组试证明向量组 A 与向量组与向量组 B 等价等价.向量组向量组A可以由向量组可以由向量组B线性表示线性表示.故由定义知故由定义知,向量组向量组A与向量组与向量组B等价等价.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2.向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义定义3则称m个向量 设设 为为m个个n维向量维向量,若存在一组不全为若存在一组不全为0的的数数使使线性相关线性相关,否则就称这否则就称这m个向量个向量线性无关线性无关注意注意 上述定义对于上述定义对于m=1的情形

11、也是适用的的情形也是适用的.若若 线性相关线性相关,则存在则存在 使得使得 任意一个非零向量总是线性无关的任意一个非零向量总是线性无关的.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例6证明下述证明下述3个向量个向量证证线性相关线性相关线性相关线性相关 上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例7含有零向量的向量组必线性相关含有零向量的向量组必线性相关.证证设向量组为设向量组为 线性相关线性相关 上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例8证明单位坐标向量组证明单位坐标向量组证证设设线性无关线性无关.使使 线

12、性无关线性无关.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例9解解设设它们的线性相关性它们的线性相关性.试讨论试讨论设设使使 线性方程组有非零解线性方程组有非零解.向量组向量组 线性相关线性相关.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定理定理1m个个n维向量组维向量组 线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是 有非零解有非零解.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性推论推论 n个个n维向量组维向量组 线性相关的充分必要条件是它们的分量组成的线性相关的充分必要条件是它们的分量组成的n阶行列式阶行列式的

13、值等于零的值等于零.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定理定理2若向量组若向量组 线性相关线性相关,则向量组则向量组 存在一组不全为零的数存在一组不全为零的数 线性相关线性相关.证证线性相关线性相关,线性相关线性相关.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性推论推论 若一个向量组线性无关若一个向量组线性无关,则它的任何一个部分向量组也则它的任何一个部分向量组也线性无关线性无关.线性表出与线性相关的关系线性表出与线性相关的关系.线性相关线性相关 线性表出线性表出 上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定理

14、定理3向量组向量组 线性相关的充要条件是向量组线性相关的充要条件是向量组 则存在一组不全为零的数则存在一组不全为零的数 内至少有一个向量可以被其余向量线性表出内至少有一个向量可以被其余向量线性表出.证证线性相关线性相关,可以被其余向量线性表出可以被其余向量线性表出,线性相关线性相关 线性表出线性表出 上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性推论推论1 设设n 维向量组维向量组 线性相关线性相关.则向量组则向量组 推论推论2 设设 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组则该齐次线性方程组有非零解则该齐次线性方程组有非零解.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关

15、性向量组的线性相关性定理定理4 设向量组设向量组A:则向量组则向量组B 及向量组及向量组B:证证若向量组若向量组B可以由向量组可以由向量组A线性表示线性表示,且且 线性相关线性相关.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性有非零解有非零解.上页上页下页下页本节本节3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性推论推论1 设向量组设向量组A:及向量组及向量组B:证证若向量组若向量组B 可以由向量组可以由向量组A 线性表示线性表示,且向量组且向量组B线性无关线性无关,推论推论2 设向量组设向量组A:及向量组及向量组B:若向量组若向量组A 与向量组与向量组B 等价等价,且都

16、线性无且都线性无关关,A 可由可由 B 线性表示且线性表示且 A 线性无关线性无关,B 可由可由 A 线性表示且线性表示且 B 线性无关线性无关,上页上页下页下页本节本节线性相关线性相关,则则 3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性定理定理5 若向量组若向量组可由向量组可由向量组 线性无关线性无关,而向量组而向量组 证证线性表示线性表示,且表示法唯一且表示法唯一.先证先证 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示.线性相关线性相关,与向量组与向量组线性无关矛盾线性无关矛盾.上页上页下页下页本节本节再证表示法唯一再证表示法唯一.3.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例如例如 线性无关线

17、性无关,上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩1.向量组的秩向量组的秩2.矩阵的秩矩阵的秩本章本章上页上页下页下页3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩线性无关线性无关.1.向量组的秩向量组的秩线性相关线性相关,线性相关线性相关,线性相关线性相关.极大线性无关组极大线性无关组上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩定义定义1 设有一组向量设有一组向量(其中可能有有限多个向量其中可能有有限多个向量,也可能含也可能含有有无穷多个向量无穷多个向量),若其中的若其中的r个向个向量量 满足下面的条件满足下面的条件,则称则称 向量

18、组的一个向量组的一个极大线性无关组极大线性无关组,简称简称极大极大无关组无关组:线性无关线性无关;(2)向量组中任意向量组中任意 r+1 个向量个向量(如果向量组有个向量的话如果向量组有个向量的话)都线性相关都线性相关“极大性极大性”:向量组中任一向量都能由向量组中任一向量都能由 线性表示线性表示上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩定理定理1则它是极大无关组的充分必要条件是则它是极大无关组的充分必要条件是 中的任一中的任一 向量都可由向量都可由 必要性必要性.的线性无关部分组的线性无关部分组,证证上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩

19、与矩阵的秩充分性充分性.上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩例例1解解求向量组求向量组 的一个极大线性无关组的一个极大线性无关组 的分量构成的行列式的分量构成的行列式线性无关线性无关.四个四个3维向量维向量 必线性相关必线性相关,是所给向量组的一个是所给向量组的一个极大无关组极大无关组 上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩定理定理2由对称性知由对称性知,向量组向量组C与向量组与向量组B等价等价.向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相同向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.证证 设向量组设向量组A、B是向量组是向

20、量组C的两个极大无关组的两个极大无关组,由定理由定理1知知,向量组向量组A与向量组与向量组C等价等价,向量组向量组B与向量组与向量组C等价等价.由传递性知由传递性知,向量组向量组A与向量组与向量组B等价等价.由上节定理由上节定理2的推论的推论2知知,向量组向量组A与向量组与向量组B所含向量所含向量的个数相同的个数相同.上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩定义定义2叫做该叫做该向量组的秩向量组的秩,记作记作 的极大无关组所含向量的个数的极大无关组所含向量的个数,一个线性无关的向量组一个线性无关的向量组,它的极大无关组就是自身它的极大无关组就是自身,其其秩就是所

21、含向量的个数秩就是所含向量的个数.规定规定:零向量的秩为零零向量的秩为零.上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩定理定理3线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是 等价的向量组有相同的秩等价的向量组有相同的秩.定理定理4线性无关的充分必要条件是线性无关的充分必要条件是 推论推论 上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩例例2证证求证求证:若若 无关的向量都可以作为该向量组的一个极大无关组无关的向量都可以作为该向量组的一个极大无关组.上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩例例3证证设向量组

22、设向量组+上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩因此因此,这两个向量组等价这两个向量组等价.上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩2.矩阵的秩矩阵的秩行向量组行向量组 列向量组列向量组 上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩定义定义2例例4矩阵矩阵A的行向量组的秩称为的行向量组的秩称为A的的行秩行秩,A的列向量组的列向量组 的秩称为的秩称为A的的列秩列秩.求矩阵求矩阵A的行秩与列秩的行秩与列秩:解解线性相关线性相关.线性无关线性无关,上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的

23、秩与矩阵的秩线性相关线性相关.线性无关线性无关,上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩定理定理5例例5任一矩阵的行秩等于矩阵的列秩任一矩阵的行秩等于矩阵的列秩.矩阵矩阵A的秩的秩 求矩阵的秩求矩阵的秩:解解线性相关线性相关.线性无关线性无关,上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩定理定理6例例6初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩.求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩:求矩阵秩的简便方法求矩阵秩的简便方法:用初等变换将用初等变换将A化为标准形矩阵化为标准形矩阵D,则则D矩阵的主对角线上非零元个数就是矩阵矩阵的主对角线上非零元个

24、数就是矩阵A的秩的秩.上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩阶梯矩阵阶梯矩阵 解解上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩 一个一个mn矩阵矩阵,如果它的秩等于如果它的秩等于m,则称它是行满秩矩阵则称它是行满秩矩阵;如果它的秩等于如果它的秩等于n,则称它是列满秩矩阵则称它是列满秩矩阵;如果如果m=n,且它是且它是行满秩矩阵行满秩矩阵(也是列满秩矩阵也是列满秩矩阵),则这个矩阵就称为则这个矩阵就称为满秩矩阵满秩矩阵.例例7求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩:上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩解解上页

25、上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩例例8解解将向量组写成矩阵形式将向量组写成矩阵形式,再作初等变换再作初等变换,得得求向量组的秩求向量组的秩:上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩例例9解解设向量组设向量组 上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩例例9解解设向量组设向量组 上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩例例9解解设向量组设向量组 上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩

26、向量组的秩与矩阵的秩例例10证证设设A是是 mn 矩阵矩阵,B是是 ns 矩阵矩阵,则则 上页上页下页下页本节本节3.3 向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩同理可证同理可证 上页上页下页下页本节本节3.4 向量空间向量空间例例1 则则设向量集合设向量集合 在在V 中任取两个向量中任取两个向量 V 对于向量加法和数乘是对于向量加法和数乘是封闭封闭的的.本章本章上页上页下页下页设设V为维向量的集合为维向量的集合,如果集合如果集合V非空非空,且集合且集合V 对于对于向向3.4 向量空间向量空间定义定义1量的加法及向量的数乘都是封闭的量的加法及向量的数乘都是封闭的,那么称集合那么称集合V为为向量

27、空间向量空间.例如例如 V 对于向量的加法和数乘是封闭的对于向量的加法和数乘是封闭的,零空间零空间 本章本章上页上页下页下页 一般地一般地,实数域上的所有实数域上的所有 n 维向量构成的集合是一个维向量构成的集合是一个n维向量空间维向量空间,记作记作3.4 向量空间向量空间例例2它是由所有三维向量构成它是由所有三维向量构成的集合的集合,则则V 是一个向量空间是一个向量空间.因为任意两个三维向量之和仍是三维向量因为任意两个三维向量之和仍是三维向量,数数 k 乘三维乘三维向量也仍是三维向量向量也仍是三维向量,它们都属于它们都属于V.三三维向量空间维向量空间 本章本章上页上页下页下页3.4 向量空间

28、向量空间例例3证证是一个向量空间是一个向量空间.显然显然 L非空非空.L是一个向量空间是一个向量空间.本章本章上页上页下页下页3.4 向量空间向量空间定义定义2 本章本章上页上页下页下页3.4 向量空间向量空间例例4证证同理可证同理可证 本章本章上页上页下页下页3.4 向量空间向量空间定义定义3 例如例如 本章本章上页上页下页下页3.4 向量空间向量空间定义定义4 r称为向量空间称为向量空间V 的的 维数维数,记作记作 并称并称V为为r 维向量空间维向量空间.零空间的维数是零空间的维数是0.V的基就是向量组的极大无关组的基就是向量组的极大无关组,V 的维数就是向量组的秩的维数就是向量组的秩.本

29、章本章上页上页下页下页3.4 向量空间向量空间例例5解解基和维数基和维数.本章本章上页上页下页下页3.4 向量空间向量空间本章本章上页上页下页下页3.4 向量空间向量空间即即V 是由基生成的向量空间是由基生成的向量空间.本章本章上页上页下页下页3.4 向量空间向量空间定义定义5 特别地特别地:取单位坐标向量取单位坐标向量 自然基自然基 本章本章上页上页下页下页3.4 向量空间向量空间例例6解解证证V 的秩等于的秩等于3.证证A可逆可逆.本章本章上页上页下页下页3.4 向量空间向量空间本章本章上页上页下页下页3.4 向量空间向量空间本章本章上页上页下页下页3.4 向量空间向量空间本章本章上页上页

30、下页下页3.4 向量空间向量空间例例7解解(1)求这两个基之间的关系求这两个基之间的关系;(2)求这两组坐标之间的关系求这两组坐标之间的关系.基变换公式基变换公式 过渡矩阵过渡矩阵 本章本章上页上页下页下页3.4 向量空间向量空间坐标变换公式坐标变换公式 本章本章上页上页下页下页向量问题向量问题 例例1解解考研园地考研园地不能由不能由()线性表示线性表示,也不能由也不能由()线性表线性表示示.不能由不能由()线性表示线性表示,但可由但可由()线性表示线性表示.可由可由()线性表示线性表示,也可由也可由()线性表示线性表示.可由可由()线性表示线性表示,但不可由但不可由()线性表示线性表示.本章

31、本章上页上页下页下页可由可由()线性表示线性表示.假若假若 可由可由()线性表示线性表示,则可设则可设 与已知矛盾与已知矛盾.本章本章上页上页下页下页例例2解解(A)若对于任意一组不全为零的数若对于任意一组不全为零的数 均为维向量均为维向量,下列结论不正确的是下列结论不正确的是().都有都有(B)若若则对于任意一组不全为零的数则对于任意一组不全为零的数(C)线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关线性无关.本章本章上页上页下页下页逆否命题逆否命题:对于任意一组不全为零的数对于任意一组不全为零的数 都有都有 所以所以 A 是正确的是正确的.显然显然 B 是错的是错的,C 是正确的是正确的.其任意部分向量组必线性无关其任意部分向量组必线性无关.其任意两个向量线性无关其任意两个向量线性无关.本章本章上页上页下页下页例例3设行向量组设行向量组 线性相关线性相关,且且 解解 n个个n维向量线性相关的充分必要条件是维向量线性相关的充分必要条件是,它们构成的它们构成的行列式等于零行列式等于零.本章本章上页上页下页下页