线性代数—n维向量.ppt

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1、第二节第二节1一、向量的概念一、向量的概念定义定义行向量行向量列向量列向量或或2 向量可视为特殊的矩阵向量可视为特殊的矩阵,因此因此,向量的向量的相等相等、加减法加减法、分量全部为零的向量称为零向量，记为分量全部为零的向量称为零向量，记为 。数乘数乘等概念完全与矩阵相同等概念完全与矩阵相同.则则3向量的线性运算满足以下八条运算律：向量的线性运算满足以下八条运算律：(1)a a+b b=b b+a a(2)a a+(b b+g g)=(a a+b b)+g g(3)a a+=a a(4)a a+(-a a)=(5)(k+l)a a=ka a+la a(6)k(a a+b b)=ka a+kb b

2、(7)(kl)a a=k(la a)(8)1a a=a a其中其中a a,b b,g g 都是都是n维向量维向量,k,l 为实数为实数.4除除了了上上述述八八条条运运算算规规则则，显显然然还还有有以以下下性性质质：例例1解解其中其中移项规则移项规则5练习：练习：P141 习题三习题三6第三节第三节7一、向量组的线性组合一、向量组的线性组合定义定义如果两个向量组可以互相表出如果两个向量组可以互相表出,则称则称等价等价。8例如例如,b b=(2,-1,1),a a1=(1,0,0),a a2=(0,1,0),a a3=(0,0,1),因为因为 b b=2a a1-a a2+a a3,或者说或者说

3、b b 可由可由a a1,a a2,a a3 线性表示线性表示.即即b b 是是 a a1,a a2,a a3 的线性组合的线性组合,9称称为为n维维基本单位向量组基本单位向量组。10对线性方程组对线性方程组将系数矩阵将系数矩阵A分裂成列向量分裂成列向量则方程组改写为则方程组改写为11例例1解解12例例2解解13但表示法不唯一。但表示法不唯一。14二、向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性定义定义15包含零向量的向量组一定线性相关包含零向量的向量组一定线性相关:单个向量线性相关当且仅当它为零向量单个向量线性相关当且仅当它为零向量:例例3设设有有16定理定理证证使使则则17定理定理(线性无关线

4、性无关)的充分必要条件是齐次线性方程组的充分必要条件是齐次线性方程组有有(无无)非零解非零解,18例例4解解判断下列向量组的线性相关性判断下列向量组的线性相关性:线性相关线性相关.19解解线性无关线性无关.注意注意(1)写为写为列列向量向量,拼成矩阵；拼成矩阵；(2)只作只作行行变换。变换。20推论推论线性相关线性相关(线性无关线性无关)的充分必要条件是行列式的充分必要条件是行列式n维维基本单位向量组基本单位向量组线性无关线性无关,21例例5证证22例例6证证必线性相关。必线性相关。用矩阵形式，用矩阵形式，23有非零解，比如有非零解，比如24定理定理证证25定理定理证证再证表法唯一。再证表法唯

5、一。设有两种表示法，设有两种表示法，即表法唯一。即表法唯一。26线性相关性的性质线性相关性的性质(1)如果向量组有一个如果向量组有一个部分组部分组线性相关，则该向量线性相关，则该向量组线性相关。组线性相关。等价命题等价命题:如果一个向量组线性无关如果一个向量组线性无关,则其任一部分组则其任一部分组线性无关线性无关.部分相关部分相关整体相关整体相关整体无关整体无关部分无关部分无关线性相关的向量组添加若干向量仍线性相关线性相关的向量组添加若干向量仍线性相关;线性无关的向量组去掉若干向量仍线性无关线性无关的向量组去掉若干向量仍线性无关.27可以推广到添多个分量的情形可以推广到添多个分量的情形.等价命

6、题等价命题:线性相关的向量组各去掉一个线性相关的向量组各去掉一个(或几个或几个)分量所得向量组仍线性相关。分量所得向量组仍线性相关。证证28(3)向量组的个数如果多于维数向量组的个数如果多于维数,则必线性相关。则必线性相关。齐次线性方程组齐次线性方程组未知量个数多于方程个数，未知量个数多于方程个数，必有非零解，必有非零解，线性相关线性相关(线性无关线性无关)的充分必要条件是行列式的充分必要条件是行列式29由由上述推论知，上述推论知，证略证略.推论推论(6)两个线性无关且彼此等价的向量组，必含有相同两个线性无关且彼此等价的向量组，必含有相同个数的向量个数的向量.证证且且彼此等价，彼此等价，30练习：练习：P141 习题三习题三31