线性方程组解的个数.ppt

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1、第五讲第五讲 线性方程组有解的线性方程组有解的充分必充分必要条件要条件二、非齐次线性方程组解的研究二、非齐次线性方程组解的研究三、齐次线性方程组解的研究三、齐次线性方程组解的研究一、线性方程组的基本概念一、线性方程组的基本概念第三章第三章 矩阵的初等变矩阵的初等变 换与线性方程组换与线性方程组 1对于方程组（其中有对于方程组（其中有n个未知数，个未知数，m个方程）个方程）(1)称为方程组称为方程组(1)的的系数矩阵。系数矩阵。或用矩阵方程方程组或用矩阵方程方程组(1)(1)表示为表示为:一、线性方程组的矩阵方程表达（基本概念）一、线性方程组的矩阵方程表达（基本概念）一般表一般表达式：达式：2称

2、称矩阵矩阵为为方程组方程组(1)(1)的的增广矩阵增广矩阵。称为（称为（1）对应的齐次线性方程组）对应的齐次线性方程组.当当时时,齐次线性方程组齐次线性方程组或用矩阵方程方程组或用矩阵方程方程组(2)(2)表示为表示为:3二、非齐次线性方程组有解的判定条件二、非齐次线性方程组有解的判定条件1.1.方程组的相容性概念方程组的相容性概念对于方程组（其中有对于方程组（其中有n个未知数，个未知数，m个方程）个方程）若方程组有解，则称其为相容的；若方程组有解，则称其为相容的；若方程组无解，则称其为不相容的。若方程组无解，则称其为不相容的。(1)42.2.非齐次线性方程组解的研究非齐次线性方程组解的研究例

3、例1.1.求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解：解：方程组无解方程组无解.此时此时一般地，对于方程组一般地，对于方程组AX=b，若，若R(A)，则是不是则是不是方程组一定无解呢？方程组一定无解呢？5例例2.2.求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解：解：6 一般地，对于一般地，对于n元方程组元方程组AX=b，若若R(A)=R(A,b)=n，则是不是方程组一定有唯一解？则是不是方程组一定有唯一解？7例例3.3.求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解：解：8 一般地，对于一般地，对于n元方程组元方程组AX=b，若若R(A)=R(A,b)=r n，则是不是方程组一定有无穷多解？则是不是

4、方程组一定有无穷多解？自由未知量的个数自由未知量的个数=n-R(A)9定理定理 n 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组(1)无无解解 (2)有唯一有唯一解解 (3)有无穷多解有无穷多解其中其中A为为 mn 矩阵矩阵.10三、齐次线性方程组解的判定三、齐次线性方程组解的判定 对于方程组对于方程组 ，显然有，显然有时，只须分析其系数矩阵。时，只须分析其系数矩阵。所以，方程组一定有解，所以，方程组一定有解，因此判断齐次方程组的解因此判断齐次方程组的解实际上，实际上，x=0就是方程组的解（称为零解）。就是方程组的解（称为零解）。如果如果 ，则方程组有无穷多个解，除，则方程组有无穷多个解，除了一个零解外，有无穷多个非零解了一个零解外，有无穷多个非零解，则方程组有唯一解，也就是，则方程组有唯一解，也就是如果如果只有零解。只有零解。11 齐次线性方程组齐次线性方程组定理定理1.齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解有非零解定理定理2.齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解 推论推论.齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解即即即即系数矩阵系数矩阵A可逆。可逆。1213142.非齐次线性方程组非齐次线性方程组总结：总结：1.齐次线性方程组齐次线性方程组其中其中A为为 矩阵矩阵 则则()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=，则，则其中其中B=（A，b）.15