随机变量及概率分布.ppt

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1、第第3章章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 随机试验的结果未必是数量的随机试验的结果未必是数量的,如抛硬币如抛硬币得正面或反面得正面或反面,检查产品是正品和次品等等检查产品是正品和次品等等,为了数学处理的方便以及理论研究的需要为了数学处理的方便以及理论研究的需要,我们将随机试验的结果与实数对应起来，将我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念概念.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数一、一、随机变量随机变量 以以X记两号码之和，对于每一个样本点记两号码之和，对于每一个样本点e，X都有一个值与之对应。都有一

2、个值与之对应。S1.定义定义:设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S=e，若对于，若对于每一个每一个eS,有一个实数有一个实数X(e)与之对应与之对应,即即X(e)是定是定义在义在S上的单值实函数，称为上的单值实函数，称为随机变量随机变量。（random variable,简记为简记为r.v.)例例3.测试灯泡寿命试验测试灯泡寿命试验,其结果是用数量表示其结果是用数量表示的的.记灯泡的寿命为记灯泡的寿命为X,则则X是定义在样本空间是定义在样本空间S=e=t|t0上的函数上的函数,即即X=X(e)=t,e=tS.e1有了随机变量有了随机变量X,以前的各种随机事件均可用以前的各种随机事件

3、均可用X的的变化范围来表示变化范围来表示:如例如例1中中:A=“正面朝上正面朝上”用用X=1表示表示B=“反面朝上反面朝上”用用X=0表示表示反过来反过来,X的一个变化范围表示一个随机事件的一个变化范围表示一个随机事件.0X2=“正面朝上正面朝上”.X3”.(2)随机变量随着试验的结果而取不同的值随机变量随着试验的结果而取不同的值,在在(3)试验之前不能确切知道它取什么值试验之前不能确切知道它取什么值,但是随机但是随机(4)变量的取值有一定的统计规律性变量的取值有一定的统计规律性概率分布概率分布.2.分类：分类：(1)离散型随机变量离散型随机变量;(2)非离散型随机变量非离散型随机变量.10

4、连续型随机变量连续型随机变量20 非连续型随机变量非连续型随机变量二、二、随机变量的分布函数随机变量的分布函数 很多时候，我们需要考虑很多时候，我们需要考虑r.v.的取值落入一个的取值落入一个区间的概率区间的概率,如如1.定义定义：设：设r.v.X,x为任意实数为任意实数,则则 F(x)=P Xx 2.称为称为X的的分布函数分布函数.P x1Xx2,P Xx 等等,为此引入随机变量的分布函数为此引入随机变量的分布函数.(1)P x1x1,F(x2)-F(x1)=Px1Xx2 0.(2)0F(x)1,F(-)=0,F(+)=1.(3)F(x)至多有可列个间断点至多有可列个间断点,而在其间断点而在

5、其间断点 上也是右连续的上也是右连续的,F(x+0)=F(x).2 离散型随机变量离散型随机变量1.定义定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个或可列无限多个,则称为则称为离散型随机变量离散型随机变量.X x1 x2 xn pk p1 p2 pn .例例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯信号灯,每组信号灯以概率每组信号灯以概率p禁止汽车通过禁止汽车通过,以以X表表示汽车首次停下时已通过信号灯的组数示汽车首次停下时已通过信号灯的组数,求求X的的分布律分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的设各信

6、号灯的工作是相互独立的).解解:X 0 1 2 3 4 pk即即 PX=k=(1-p)kp,k=0,1,2,3.(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4PX=4=(1-p)4 p 解解:X 0 1 2 3 4 pk解解:X 0 1 2 3 4 pk解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4

7、pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk(1-p)4解解:X 0 1 2 3 4 pk练习：练习：(1)一个口袋中有一个口袋中有4个红球，个红球，2个白球，逐一地个白球，逐一地从袋中不放回摸球，直至摸到红球为止。从袋中不放回摸球，直至摸到红球为止。设摸球次数为设摸球次数为X，求，求X的分布律。的分布律。(2)一个盒子中有一个盒子中有1，2，10共十个号码牌，共十个号码牌，在盒子中同时取在盒子中同时取4个号码牌，以个号码牌，以X表示取出表示取出的的4个号码牌中的最大号码，写出随机变量个号码牌中的最大号码，写出随机变量X的分布律。的分布律。例例2.离散型离散型r.v.,已知分布律可求出分

8、布函数已知分布律可求出分布函数.X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求：求：X的分布函数的分布函数,并求并求P X1/2,P3/2X5/2.解解PX 1/2=F(1/2)PX 1/2=PX=-1=1/4,=1/4 或由分布律直接得或由分布律直接得P3/2X 5/2=F(5/2)-F(3/2)=1/2.几种重要的离散型随机变量几种重要的离散型随机变量（一）（一）0-1 分布分布 设随机试验设随机试验E有两种可能的结果：有两种可能的结果：S=e1,e2,设随机变量设随机变量X：(二二)伯努利试验伯努利试验 、二项分布二项分布例例1.设设X是是n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生

9、的发生的次数次数,每次试验中每次试验中A发生的概率为发生的概率为p,则则X是一是一个随机变量个随机变量,我们来求它的分布律我们来求它的分布律.一般地有一般地有称称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布的二项分布,记为记为Xb(n,p).当当n=1时时,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为即为0-1分布分布.例例2.某种电子元件的使用寿命超过某种电子元件的使用寿命超过1500小时为小时为一级品一级品,已知一大批该产品的一级品率为已知一大批该产品的一级品率为0.2,从中随机抽查从中随机抽查20只只,求这求这20只元件中一级品的只元件中一级品的只数只数X的分布律的分布律.解解:例例3.某

10、人进行射击某人进行射击,每次命中率为每次命中率为0.02,独立射击独立射击400次次,试求至少击中两次的概率试求至少击中两次的概率.当当n较大较大,p又较小时又较小时,二项分布的计算比较二项分布的计算比较困难困难,例如例如 0.98400，0.02400,可以用可以用Pois-son分布近似计算分布近似计算.例例4.设有设有80台同类型设备台同类型设备,各台工作是相互独立各台工作是相互独立的的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障且一台设备的故障由一个人处理。考虑两种方法，其一是由由一个人处理。考虑两种方法，其一是由4人维护，人维护，每人负责每人负责20台，其二是由台

11、，其二是由3人共同维护人共同维护80台，试比台，试比较这两种方法在设备发生故障不能及时维修的概较这两种方法在设备发生故障不能及时维修的概率的大小。率的大小。(三三)泊松分布泊松分布(Poisson)(2)泊松分布有很多应用泊松分布有很多应用.泊松泊松(Poisson)定理：定理：证明证明:(3)二项分布与泊松分布之间的关系由下面的泊松定理给出二项分布与泊松分布之间的关系由下面的泊松定理给出.泊松定理的意义泊松定理的意义：1.在定理的条件下在定理的条件下,二项分布的极限分布是二项分布的极限分布是 泊松分布泊松分布.2.当当n很大且很大且 p又较小时又较小时,(四四)几何分布几何分布 进行重复独立

12、试验进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为设每次试验成功的概率为p,失败的概率为失败的概率为1-p=q(0p用实数来标识用实数来标识=随机变量随机变量=随机变量的分布函数随机变量的分布函数.1.作一个从样本空间到实数集的映射作一个从样本空间到实数集的映射,使样本使样本 从从“语言描述语言描述”变成变成“实数变量实数变量”.2.介绍了几种离散型随机变量的分布律介绍了几种离散型随机变量的分布律.3.针对实践中人们关心随机变量落入某个区间针对实践中人们关心随机变量落入某个区间 的概率的概率,定义了分布函数的概念定义了分布函数的概念.4.由分布函数的连续积分表达式定义出连续型由分布函数的连续积分表达式定义出连续型 随机变量的概率密度随机变量的概率密度,使概率的求解转化为使概率的求解转化为概率密度的定积分的计算概率密度的定积分的计算.三三.练习练习设设XN(0,1),求求Y=2X2+1的概率密度的概率密度.