阶常系数齐次微分方程.ppt
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1、上页下页铃结束返回首页主要内容:主要内容:第六章第六章 微分方程微分方程 第五节第五节 二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程一、二阶线性微分方程举例;二、二阶线性微分方程的解的结构;三、二阶常系数齐次线性微分方程.1上页下页铃结束返回首页一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例v二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf(x)若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的 例1 设弹簧的弹性系数为c,物体受到的阻力的大小与运动速度成正比,比例系数为m.则有自由振动的微分方程2上页下页铃结束返回首页一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方
2、程举例v二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf(x)若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的 例1 设弹簧的弹性系数为c,物体受到的阻力的大小与运动速度成正比,比例系数为m.强迫振动的微分方程 如果振动物体还受到铅直干扰力FHsinpt的作用 则有3上页下页铃结束返回首页v共振现象 当 pk 时,方程通解为 当 pk 时,方程通解为 v无阻尼强迫振动方程 当干扰力的角频率 p 等于振动系统的固有频率 k 时,齐次通解自由振动非齐次特解 强迫振动强迫振动的振幅随时间 t 的增大而无限增大.6上页下页铃结束返回首页二、二阶线性微分方程的解的结构二、
3、二阶线性微分方程的解的结构 简要证明 这是因为 v定理1(齐次方程的解的叠加原理)如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2)C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2000(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2)7上页下页铃结束返回首页v定理2(齐次方程的通解的结构)常数变易法 设函数 y1(x)是方程 yP(x)yQ(x)y0 的一个解 设 yu(x)y1(x)
4、是方程 yP(x)yQ(x)y0 的解,则 如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个线性无关的解 那么yC1y1(x)C2y2(x)是方程的通解 其中C1、C2是任意常数注:函数y1(x)与y2(x)线性无关,是指8上页下页铃结束返回首页举例 已知cos x与sin x都是方程yy0的解 因为比值 cos x/sin xcot x不恒为零所以cos x与sin x在()内是线性无关的 因此cos x与sin x是方程yy0的线性无关解 方程的通解为 yC1cos xC2sin x 举例 已知y1x与y2ex都是方程(x1)yxyy0的解 因为比值ex/x不恒为常数 所
5、以y1x与y2ex在()内是线性无关的 因此y1x与y2ex是方程(x1)yxyy0的线性无关解 方程的通解为 yC1xC2ex v定理2(齐次方程的通解的结构)如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个线性无关的解 那么yC1y1(x)C2y2(x)是方程的通解 其中C1、C2是任意常数注:函数y1(x)与y2(x)线性无关,是指9上页下页铃结束返回首页举例 已知YC1cos xC2sin x是齐次方程yy0的通解 y*x22是非齐次方程yyx2的一个特解 因此 yC1cos xC2sin xx22是非齐次方程yyx2的通解 v定理3(非齐次方程的通解的结构)设y*(
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