人教版数学《二次函数》中考专题复习中考考点分析课件.pptx

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1、考点一二次函数的图象与性质1.(2019浙江温州,9,4分)已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1x3的取值范围内,下列说法正确的是()A.有最大值-1,有最小值-2B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值7,有最小值-2答案答案Dy=x2-4x+2=(x-2)2-2(-1x3).由图象可知当x=2时,y取得最小值-2,当x=-1时,y取得最大值7.故选D.2.(2018陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y0,则这条抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案答案C当x=1时,y=a+

2、2a-1+a-30,解得a1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-=-0,=0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.3.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或2答案答案Dy=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a+1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=

3、1(舍去);当0a1或a-1解析解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),与y轴的交点为(0,1-a).分两种情况:当a2a,可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10,可得a1.综上,实数a的取值范围是a1或a-1.解法二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且都在x轴的下方,令y=x-a+10,解得xa-1.令y=x2-2ax0时,解得0 x2a;当a0时,解得2ax0时,若有解,则a-10,解得a1;当a0时,若有解,则2aa-1,解得a1或a-1.思路分析思路

4、分析考虑到二次函数图象的对称轴方程是x=a,故分a0两种情况,解法一:由于二次函数的图象过原点,结合图象知只需满足直线y=x-a+1与二次函数图象相交的最左边交点在x轴的下方即可,从而得出关于a的不等式;解法二:分别在a0两种情况下满足有解,解之即可.难点突破难点突破根据二次函数图象的特点分a0两种情况考虑是解答本题的突破口.6.(2019内蒙古呼和浩特,16,3分)对任意实数a,若多项式2b2-5ab+3a2的值总大于-3,则实数b的取值范围是.答案答案-6b-3,所以-6b0,n0,求m,n的值.解析解析(1)令y=0,则-x2+2x+6=0,x1=-2,x2=6,A(-2,0),B(6,

5、0).由函数图象得,当y0时,-2x6.(2)由题意得B1(6,m),B2(6-n,m),B3(-n,m),函数图象的对称轴为直线x=2.点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,=2,n=1,m=-(-1)2+2(-1)+6=,m,n的值分别为,1.8.(2017江西,22,9分)已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a0).(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;(2)试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式;(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.备

6、用图解析解析(1)当a=1时,抛物线C1:y=x2-4x-5.(1分)令y=0,则x2-4x-5=0,解得x1=-1,x2=5,抛物线C1与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0),(2分)对称轴为直线x=2.(3分)(2)由抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a0),可得其对称轴为直线x=-=2.(4分)令x=0,得y=-5.抛物线C1过定点(0,-5).(5分)易知点(0,-5)关于直线x=2的对称点为点(4,-5),由抛物线的对称性可知,无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点(0,-5)和(4,-5).(6分)y=-ax2+4ax-5(或y=-a(x-2)2+4a-5).(7分)提示:

7、设抛物线C2的表达式为y=-a(x-2)2+b,将点(0,-5)的坐标代入求出b即可.(3)对于抛物线C2:y=-ax2+4ax-5,当x=2时,y=4a-5,抛物线C2的顶点坐标为(2,4a-5),(8分)|4a-5|=2,解得a1=,a2=.(9分)考点二系数a、b、c的作用1.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是()A.c0B.b2-4ac0C.a-b+c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a-b+c,由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=

8、3,选项D正确,故选D.2.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是()A.abc0B.abc0,b2-4ac0C.abc0,b2-4ac0,b2-4ac0,又对称轴在y轴右侧,所以-0,所以b0,因为抛物线与y轴交于负半轴,所以c0;因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0,故选B.思路分析思路分析本题考查二次函数的图象与系数的关系,从抛物线的开口方向,对称轴,以及与y轴的交点位置来判断a,b,c的符号,由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号.3.(2016湖南长沙,12,3分)已知抛物线y=ax2+

9、bx+c(ba0)与x轴最多有一个交点.现有以下四个结论:该抛物线的对称轴在y轴左侧;关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根;a-b+c0;的最小值为3.其中,正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个答案答案Dba0,-0,正确;抛物线与x轴最多有一个交点,b2-4ac0,关于x的方程ax2+bx+c+2=0的判别式=b2-4a(c+2)=b2-4ac-8a0,且抛物线与x轴最多有一个交点,y0,当x=-1时,a-b+c0,正确;y0,当x=-2时,4a-2b+c0,即a+b+c3b-3a,即a+b+c3(b-a),ba,b-a0,3,正确.故选D.4.(2018北京,26,

10、6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.解析解析(1)将x=0代入y=4x+4,得y=4,B(0,4).将点B向右平移5个单位长度得到点C,C(5,4).(2)将y=0代入y=4x+4,得x=-1,A(-1,0).将(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a,抛物线的对称轴为直线x=-=-=1.(3)抛物线始终过点A(-1,0),

11、且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的对称点(3,0).a0时,如图1.图1将x=5代入抛物线的解析式得y=12a,12a4,a.a4,a-.若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.图3将(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a,a=-1.综上所述,a或a-或a=-1.考点三二次函数与方程、不等式之间的关系1.(2019山东潍坊,12,3分)抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是()A.2t11B.t2C.6t11D.2t6答案答

12、案A抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1,b=-2,y=x2-2x+3,一元二次方程x2+bx+3-t=0有实数根可以看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点,对于y=x2-2x+3,当x=-1时,y=6,当x=4时,y=11,函数y=x2-2x+3在x=1时有最小值2,2t11.故选A.思路分析思路分析根据所给的抛物线的对称轴求出函数解析式为y=x2-2x+3,将一元二次方程x2+bx+3-t=0有实数根看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点,再由-1x4确定y的取值范围即可求解.2.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)

13、与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则()A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确答案答案D抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)可以看作抛物线y=-x(x-3)(0 x3)沿y轴向上平移c个单位形成的,一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点可以看作直线l:y=x+2沿y轴向下平移c个单位形成的直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0 x3)有唯一公共点.当直线y=x+2-c(即l2)经过原点时,0+2-c=0,c=2

14、;当直线y=x+2-c(即l3)经过点A(3,0)时,3+2-c=0,c=5,根据图象可得当28B.b-8C.b8D.b-8答案答案D由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.将代入得,x2-8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以=(-8)2-4(8-b)=4b+320,所以b-8,故选D.4.(2016广西南宁,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+x+c=0(a0)的两根之和()A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定答案答案A根据题图可知a0,b0.在方程ax2+x+c=0(a0)中,=-

15、4ac=b2-b+-4ac=b2-4ac-b+0,设此方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-=-+0,故选A.5.(2019山东潍坊,17,3分)如图,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当PAB的周长最小时,SPAB=.答案答案解析解析联立直线与抛物线的解析式得方程组解得或点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5),AB=3,作点A关于y轴的对称点A,则A(-1,2),连接AB与y轴交于P,则当点P与P重合时,PAB的周长最小,设直线AB的解析式为y=kx+b,k0,则解得直线AB的解析式为y=x+,当x=0时,y=,即点P的坐标为,将x

16、=0代入y=x+1中,得y=1,直线y=x+1与y轴的夹角是45,点P到直线AB的距离是sin45=,PAB的面积是=.当PAB的周长最小时,SPAB=.6.(2018湖北黄冈,22,8分)已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求OAB的面积.解析解析(1)证明:令x2-4x=kx+1,则x2-(4+k)x-1=0,因为=(4+k)2+40,所以直线l与该抛物线总有两个交点.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l与y轴的交点为C,则C点的坐标为(0,1)

17、,易知x1+x2=4+k=2,x1x2=-1,所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2,所以OAB的面积S=OC|x1-x2|=12=.7.(2019北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.解析解析(1)抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,点A的坐标为.将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B的坐标为.(2)点B在抛物线上,4a

18、+2b-=-,即b=-2a.抛物线的对称轴为x=1.(3)点A,B,P.当a0时,-0,如图1.图1令抛物线上的点C.当x1时,y随x的增大而减小,yC1).当x1时,y随x的增大而增大,xD2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.当a0时,(i)当-a2,如图2.图2令抛物线上的点C.当x-.令抛物线上的点D(xD,2)(xD1).当x1时,y随着x的增大而减小,xD2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.(ii)当a=-时,A(0,2),B(2,2),P,Q(2,2),如图3.图3结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点Q(2,2).(iii)当a-时,0-2,

19、如图4.图4令抛物线上的点C.当x-.令抛物线上的点D(xD,yD),当x1时,y随x的增大而减小,xD2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点.综上所述,a的取值范围为a-.思路分析思路分析本题第(3)问需要对a的大小进行分类讨论,同时要关注抛物线与y轴的交点坐标.解题关键解题关键解决本题的关键是分情况讨论后精准画图,要在探究的过程中发现点P与点A,B纵坐标相等的关系,进而关注点Q与抛物线的关系.8.(2019安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.(1)求k,a,c的值;(2)过点A(0

20、,m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记W=OA2+BC2.求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.解析解析(1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+4,即k=-2,因为一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以(0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点(1,2)也在二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+c,从而a=-2.(6分)(2)解法一:因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,

21、C,所以可设点B的坐标为(x0,m),由对称性得点C的坐标为(-x0,m),故BC=2|x0|.又点B在二次函数y=-2x2+4的图象上,所以-2+4=m,即=2-,从而BC2=4=8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4),所以m=1时,W有最小值7.(12分)解法二:由(1)得二次函数的解析式为y=-2x2+4,因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1=,x2=-.所以BC=2,又OA=m,从而W=OA2+BC2=m2+=m2-2m+8=(m-1

22、)2+7(0m4).所以m=1时,W有最小值7.(12分)思路分析思路分析(1)将(1,2)代入一次函数解析式求出k,代入二次函数解析式得a+c=2,由题意可判断点(0,c)也在一次函数图象上,从而求得a,c.(2)解法一:由题意可设点B(x0,m),由二次函数的对称性可得点C(-x0,m),可得BC=2|x0|,依据B点在二次函数的图象上,得出=2-,从而求出W关于m的函数解析式,最后根据二次函数的性质求出最值.解法二:由(1)可令-2x2+4=m,求出两根,从而得BC的长,从而求出W关于m的函数解析式,最后根据二次函数的性质求出最值.9.(2017北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中

23、,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式;(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3).若x1x2x3,结合函数的图象,求x1+x2+x3的取值范围.解析解析(1)令y=0,即0=x2-4x+3,解得x=1或x=3.抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),点A,B的坐标分别为(1,0),(3,0).令x=0,得y=3.抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点C,点C的坐标为(0,3).设直线BC的表达式为y=kx+b,k0,解得直线BC的表达式为y

24、=-x+3.(2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.由题意可知,点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2)关于直线x=2对称,x2-2=2-x1,x1+x2=4.由x1x2x3,结合函数的图象,可得-1y30,即-1-x3+30,解得3x34.7x1+x2+x30)与x轴从左到右的交点为B,A,过线段OA的中点M作MPx轴,交双曲线y=(k0,x0)于点P,且OAMP=12.(1)求k值;(2)当t=1时,求AB长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点

25、的坐标;(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4x06,通过L位置随t变化的过程,写出t的取值范围.解析解析(1)设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M知OA=2x,代入OAMP=12,得2xy=12,即xy=6.k=xy=6.(3分)(2)当t=1时,令y=0,得0=-(x-1)(x+3),x1=1,x2=-3.由B在A左边,得B(-3,0),A(1,0),AB=4.(5分)L的对称轴为x=-1,而M的坐标为,MP与L对称轴之间的距离为.(6分)(3)A(t,0),B(t-4,0),L的对称轴为x=t-2.(7分)又MP为x=,当t-2,即t4时,顶点(t-2,2)就是G的

26、最高点;当t4时,L与MP的交点就是G的最高点.(10分)(4)5t8-或7t8+.(12分)注:如果考生答“5t8+”给1分【供评卷人参考:(4)的简解.对于双曲线,当4x06时,1y0,即L与双曲线在C,D(6,1)之间的一段有个交点.由=-(4-t)(4-t+4),得t1=5,t2=7;由1=-(6-t)(6-t+4),得t3=8-,t4=8+.随着t的逐渐增大,L位置随着点A(t,0)向右平移,如图所示.当t=5时,L右侧过点C;当t=8-7时,L右侧过点D.即5t8-.当8-t7时,L右侧离开了点D,而左侧未到点C,即L与该段无交点,舍去.当t=7时,L左侧过点C;当t=8+时,L左

27、侧过点D.即7t8+】11.(2017福建,25,14分)已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且ab.(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示);(2)说明直线与抛物线有两个交点;(3)直线与抛物线的另一个交点记为N.(i)若-1a-,求线段MN长度的取值范围;(ii)求QMN面积的最小值.解析解析(1)因为抛物线过点M(1,0),所以a+a+b=0,即b=-2a.所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a-,所以抛物线顶点Q的坐标为.(2)因为直线y=2x+m经过点M(1,0),所以0=21+m,解得m=-2.把y=2x-2代入y=ax2+a

28、x-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,所以=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4,由(1)知b=-2a,又ab,所以a0.所以0,所以方程有两个不相等的实数根,故直线与抛物线有两个交点.(3)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,即x2+x-2+=0,所以=,解得x1=1,x2=-2,所以点N.(i)根据勾股定理得,MN2=+=-+45=20,因为-1a-,由反比例函数的性质知-2-1,所以-0,所以MN=2=3-,所以5MN7.(ii)作直线x=-交直线y=2x-2于点E.把x=-代入y=2x-2得,y=-3,即E.又因为M

29、(1,0),N,且由(2)知a0,所以QMN的面积S=SQEN+SQEM=-.即27a2+(8S-54)a+24=0,因为关于a的方程有实数根,所以=(8S-54)2-427240,即(8S-54)2(36)2,又因为a,所以8S-540,所以8S-5436,即S+,当S=+时,由方程可得a=-满足题意.故当a=-,b=时,QMN面积的最小值为+.12.(2016内蒙古呼和浩特,25,12分)已知二次函数y=ax2-2ax+c(a0)的最大值为4,且抛物线过点.点P(t,0)是x轴上的动点,抛物线与y轴的交点为C,顶点为D.(1)求该二次函数的解析式及顶点D的坐标;(2)求|PC-PD|的最大

30、值及对应的点P的坐标;(3)设Q(0,2t)是y轴上的动点,若线段PQ与函数y=a|x|2-2a|x|+c的图象只有一个公共点,求t的取值.解析解析(1)y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=1,所以抛物线过(1,4)和两点.(1分)代入解析式得(2分)解得a=-1,c=3,y=-x2+2x+3,(3分)顶点D的坐标为(1,4).(4分)(2)C、D两点的坐标为(0,3),(1,4),由三角形两边之差小于第三边可知|PC-PD|CD|,(5分)P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值,此时最大值为|CD|=.(6分)易知CD所在直线的方程为y=x+3,将(t,0)代入得t=-3,此时对应

31、的点P的坐标为(-3,0).(7分)(3)y=a|x|2-2a|x|+c的解析式可化为y=(8分)设线段PQ所在直线的方程为y=kx+b(k0),将P(t,0),Q(0,2t)的坐标代入得线段PQ所在直线的方程为y=-2x+2t.(9分)当线段PQ过点(0,3),即点Q与点C重合时,线段PQ与函数y=的图象有一个公共点,此时t=,当线段PQ过点(3,0),即点P与点(3,0)重合时,t=3,此时线段PQ与y=的图象有两个公共点,所以当t0,所以当t=时,线段PQ与y=的图象也有一个公共点.(11分)当线段PQ过点(-3,0),即点P与点(-3,0)重合时,线段PQ只与y=-x2-2x+3(x0)的图象有一个公共点,此时t=-3,所以当t-3时,线段PQ与y=的图象也有一个公共点.综上所述,t的取值为t3或t=或t-3.(12分)