结构的稳定计算全解课件.ppt

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1、14 结构的稳定计算结构的稳定计算116.1 16.1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述 结构中的某些受压杆件，结构中的某些受压杆件，结构中的某些受压杆件，结构中的某些受压杆件，当荷载逐渐增大时，除当荷载逐渐增大时，除当荷载逐渐增大时，除当荷载逐渐增大时，除了可能发生强度破坏外，了可能发生强度破坏外，了可能发生强度破坏外，了可能发生强度破坏外，还可能在材料抗力未得还可能在材料抗力未得还可能在材料抗力未得还可能在材料抗力未得到充分发挥之前就因变到充分发挥之前就因变到充分发挥之前就因变到充分发挥之前就因变形的迅速发展而丧失承形的迅速发展而丧失承形的迅速发展而丧失承形的迅速发展而丧失承载能力，这种现

2、象称载能力，这种现象称载能力，这种现象称载能力，这种现象称失失失失稳破坏稳破坏稳破坏稳破坏，其相应的荷载，其相应的荷载，其相应的荷载，其相应的荷载称为结构的称为结构的称为结构的称为结构的临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载。压杆的实际承载能力应压杆的实际承载能力应压杆的实际承载能力应压杆的实际承载能力应为上述两种平衡荷载中为上述两种平衡荷载中为上述两种平衡荷载中为上述两种平衡荷载中的最小者。的最小者。的最小者。的最小者。2所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。球在三个位置都能球在三个位置都能处于平衡，但受到处于平衡，但受到干扰后表现不同：干扰后

3、表现不同：如小球受到干如小球受到干扰后仍能恢复扰后仍能恢复到原先的平衡到原先的平衡位置，则称该位置，则称该状态为状态为稳定平衡稳定平衡如小球受到干如小球受到干扰后失去回到扰后失去回到原先的平衡位原先的平衡位置的可能性，置的可能性，则称该状态为则称该状态为不稳定平衡不稳定平衡如小球受到干如小球受到干扰后可停留在扰后可停留在任何偏移后的任何偏移后的新位置上，则新位置上，则称该状态为称该状态为随遇平衡随遇平衡3结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态，称为稳定的平衡状态，称为失稳失稳。保证结构在正常使用的。保证结构在正常使用的情况下处

4、于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。结构的失稳类型结构的失稳类型第一类失稳第一类失稳第一类失稳第一类失稳（分支点失稳）（分支点失稳）（分支点失稳）（分支点失稳）第二类失稳第二类失稳第二类失稳第二类失稳（极值点失稳）（极值点失稳）（极值点失稳）（极值点失稳）4FPOFPl第一类失稳的基本特征第一类失稳的基本特征 FPcrI 稳定定II 不不稳定定FP FPcr时，杆件仅产生压时，杆件仅产生压缩变形。轻微侧扰，杆件微缩变形。轻微侧扰，杆件微弯；干扰撤消，状态复原弯；干扰撤消，状态复原（平衡路径唯一）。（平衡路径唯一）。FP FPcr时，杆件既可保持时，杆

5、件既可保持原始的直线平衡状态，又可原始的直线平衡状态，又可进入弯曲平衡状态（平衡路进入弯曲平衡状态（平衡路径不唯一）。径不唯一）。完善体系完善体系结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，称分支点失稳。称分支点失稳。5发生第一类失稳的还有：发生第一类失稳的还有：FPFP他们的共同特点是从加载到失稳过他们的共同特点是从加载到失稳过他们的共同特点是从加载到失稳过他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的性质发生突变，产程中结构变形的性质

6、发生突变，产程中结构变形的性质发生突变，产程中结构变形的性质发生突变，产生了两种性质截然不同平衡路径。生了两种性质截然不同平衡路径。生了两种性质截然不同平衡路径。生了两种性质截然不同平衡路径。6l第二类失稳的基本特征第二类失稳的基本特征FPFPOFPcr初始缺陷使得开始加载杆件初始缺陷使得开始加载杆件便处于微弯状态，挠度引起便处于微弯状态，挠度引起附加弯矩。随荷载增加侧移附加弯矩。随荷载增加侧移和荷载呈非线性变化，且增和荷载呈非线性变化，且增长速度越来越快。荷载达到长速度越来越快。荷载达到一定数值后，增量荷载作用一定数值后，增量荷载作用下的变形引起的截面弯矩的下的变形引起的截面弯矩的增量将无法

7、再与外力矩增量增量将无法再与外力矩增量相平衡，杆件便丧失原承载相平衡，杆件便丧失原承载能力。能力。非完善体系非完善体系是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。是结构由于初始缺陷的存在，荷载与位移间呈非线性变化。失稳前后变形性质没有变化，力失稳前后变形性质没有变化，力失稳前后变形性质没有变化，力失稳前后变形性质没有变化，力-位移关系曲线存在极值点，位移关系曲线存在极值点，位移关系曲线存在极值点，位移关系曲线存在极值点，该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。该点对应的荷载即为临界

8、荷载，称极值点失稳。该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。该点对应的荷载即为临界荷载，称极值点失稳。7他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的他们的共同特点是从加载到失稳过程中结构变形的性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。性质不发生突变，而是平衡路径产生了极值点。发生第二类失稳的情况发生第二类失稳的情况发生第二类失稳的情况发生第二类失稳的情况：FPFPqFPFP8当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构

9、当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值点失稳（跳跃屈曲）。点失稳（跳跃屈曲）。扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征FPllfFPOFPcr由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题9稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析衡的影响，分析结果与实验结果较吻

10、合，但分析过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超过临界状态之后的后屈曲平衡状态。过临界状态之后的后屈曲平衡状态。1016.2 16.2 有限自由度体系的临界荷载有限自由度体系的临界荷载确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目称为称为体系失稳的自由度体系失稳的自由度。DOFDOF=1 1DOFDOF=2 2DOF DOF

11、=FPEI=EI=FPEI=EI=EI=EI=EI=EI=k kk kFP11主要计算方法：主要计算方法：主要计算方法：主要计算方法：静力法静力法静力法静力法根据临界状态的静力特征（即平衡形式根据临界状态的静力特征（即平衡形式根据临界状态的静力特征（即平衡形式根据临界状态的静力特征（即平衡形式的二重性），寻找平衡路径交叉的分支的二重性），寻找平衡路径交叉的分支的二重性），寻找平衡路径交叉的分支的二重性），寻找平衡路径交叉的分支点，可精确得到理论上的临界荷载值。点，可精确得到理论上的临界荷载值。点，可精确得到理论上的临界荷载值。点，可精确得到理论上的临界荷载值。能量法能量法能量法能量法依据能量特

12、征来确定体系失稳时临界荷依据能量特征来确定体系失稳时临界荷依据能量特征来确定体系失稳时临界荷依据能量特征来确定体系失稳时临界荷载。体系取得平衡的充要条件是任意可载。体系取得平衡的充要条件是任意可载。体系取得平衡的充要条件是任意可载。体系取得平衡的充要条件是任意可能位移和变形均使势能取得驻值。能位移和变形均使势能取得驻值。能位移和变形均使势能取得驻值。能位移和变形均使势能取得驻值。12一、静力法一、静力法在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程，在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程，并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的

13、临界荷载。FPk lFPkEI1=第一解：第一解：第二解：第二解：FR1 1、单单自由度完善体系的分支点失自由度完善体系的分支点失自由度完善体系的分支点失自由度完善体系的分支点失稳稳yxOABAB13临界荷界荷载：(1)大大挠度理度理论 FPFPcrI 稳定定II 不不稳定定(2)小小挠度理度理论大、小大、小挠度理度理论 临界荷界荷载相同相同14FRFPk l FPkl 2 2、单单自由度非完善体系的极自由度非完善体系的极自由度非完善体系的极自由度非完善体系的极值值点失点失点失点失稳稳yxOABAB1500.10.20.5360.421.370.6950.381.471.57FP/kl0.69

14、50.5360.4150.10.20.3FP/klO0求极值点处的临界荷载求极值点处的临界荷载1.00(1)大大挠度理度理论16(2)小小挠度理度理论AFPk l 0.10.200.0FP/kl0.20.40.60.81.01.00.80.60.40.21.21.4 1.60B17 结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。结构的初始缺陷影响临界荷载，对稳定性是不利的。当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的

15、临界荷当结构缺陷逐渐减小并趋于消失时，极值点的临界荷载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。载将随之增大并趋于分支点失稳的临界荷载。非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。非线性理论分析表明存在极值点失稳，与实际吻合。实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说实际结构不可避免地存在构件的初始缺陷，严格地说失稳都属于第二类失稳

16、。失稳都属于第二类失稳。失稳都属于第二类失稳。失稳都属于第二类失稳。第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比较复杂，但却是精确解。较复杂，但却是精确解。较复杂，但却是精确解。较复杂，但却是精确解。分析结论分析结论18第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算第一类失稳

17、常可用物理概念清晰的解析式表达，计算较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值，第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值，对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。分析结论分析结论第一类失稳仍有其重要地位

18、第一类失稳仍有其重要地位19例题：例题：例题：例题：用静力法求图示结构的临界荷载用静力法求图示结构的临界荷载用静力法求图示结构的临界荷载用静力法求图示结构的临界荷载FPcr平衡方程平衡方程特征方程特征方程特征根特征根llhEI1=EIEIFPFP FP 解：解：解：解：从临界平衡状态的两重性出发从临界平衡状态的两重性出发从临界平衡状态的两重性出发从临界平衡状态的两重性出发ABCDABCDAD20y y2 2y y1 1EI=EI=2k2kk kA AB BC CFP2FPEI=EI=ll2ky2ky2 2kyky1 12k2kk kFP2FPA AB BC C例题：例题：例题：例题：静力法求图

19、示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载FPcr.解：解：解：解：体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用B B，C C处的位移处的位移处的位移处的位移y1，y2确定，从临界平确定，从临界平确定，从临界平确定，从临界平衡状态的两重性出发列平衡方程。衡状态的两重性出发列平衡方程。衡状态的两重性出发列平衡方程。衡状态的两重性出发列平衡方程。21稳定方程稳定方程稳定方程稳定方程屈曲时可确定屈曲时可确定 y y1 1和和和和 y y2 2的比值的比值的比值的比值位形图位形图位形图位形图11.3610.367临界荷载临

20、界荷载临界荷载临界荷载22lllkkFPkkFPy1y2ABCDFRC=ky2FRB=ky1FyA=FPy1/lFyD=FPy2/lFxA=FPEI=EI=EI=例题：例题：例题：例题：静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载FPcr.解：解：解：解：体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用体系的失稳形态可用B B，C C处的位移处的位移处的位移处的位移y1，y2确定，从临界平衡确定，从临界平衡确定，从临界平衡确定，从临界平衡状态的两重性出发列平衡方程。状态的两重性出发列平衡方程。状态的两重性出发列平衡方程。状态的两

21、重性出发列平衡方程。23111124计算步骤计算步骤计算步骤计算步骤：1 1 1 1 中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位中心受压直杆处于临界状态，设产生偏离原平衡位置的一个可能变形状态；置的一个可能变形状态；置的一个可能变形状态；置的一个可能变形状态；2 2 2 2 在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力在可能变形状态下，分析结构受力，作隔离体受力图；图；图；图；3 3 3 3建立隔离体的平衡方程，由边界

22、条件确定稳定分析建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析建立隔离体的平衡方程，由边界条件确定稳定分析的特征方程；的特征方程；的特征方程；的特征方程；4 4 4 4由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图；由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图；由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图；由特征方程求解特征值，绘制失稳位形图；5 5 5 5 最小特征值即临界荷载。最小特征值即临界荷载。最小特征值即临界荷载。最小特征值即临界荷载。25多自由度体系失稳的基本特点多自由度体系失稳的基本特点多自由度体系失稳的基本特点多自由度体系失稳的基本特点：1 1 1 1 多自由度

23、体系的静力平衡方程是代数方程；多自由度体系的静力平衡方程是代数方程；多自由度体系的静力平衡方程是代数方程；多自由度体系的静力平衡方程是代数方程；2 2 2 2 具有具有具有具有n n个自由度体系的失稳时共有个自由度体系的失稳时共有个自由度体系的失稳时共有个自由度体系的失稳时共有n n个特征对，即有个特征对，即有个特征对，即有个特征对，即有n n个可能失稳形态；个可能失稳形态；个可能失稳形态；个可能失稳形态；3 3 3 3 对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对称对称体系在轴线荷载作用下的失稳位移形态是对

24、称或反对称的；或反对称的；或反对称的；或反对称的；4 4 4 4 真实的临界荷载是真实的临界荷载是真实的临界荷载是真实的临界荷载是n n个特征值中的最小者，其它特征个特征值中的最小者，其它特征个特征值中的最小者，其它特征个特征值中的最小者，其它特征值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征值所对应的失稳位移形态只有在比它小的所有特征值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。值对应的失稳位移形态被阻止时才有可能发生。26二、

25、能量法二、能量法依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。势能驻值原理势能驻值原理：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的位移和变形均使得总势能位移和变形均使得总势能 EP 取得驻值，即总势能的一阶变取得驻值，即总势能的一阶变分等于零（分等于零（EP=0）。）。该驻值条件等价于平衡条件该驻值条件等价于平衡条件 保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要考察体系总势能的二阶变分状态：考察体系总势能的二阶变分状态：稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡

26、 不稳定平衡不稳定平衡 27变形体系势能：变形体系势能：=荷载势能荷载势能+变形势能变形势能由广义坐标变分的任意性由广义坐标变分的任意性由广义坐标变分的任意性由广义坐标变分的任意性关于广义坐标关于广义坐标关于广义坐标关于广义坐标a ai i 的齐次方程的齐次方程的齐次方程的齐次方程广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是广义坐标非零解的条件就是特征方程，它的最小特征根就是临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。临界荷载，对应的广义坐标显示出

27、失稳形态。临界荷载，对应的广义坐标显示出失稳形态。关于广义坐标的总势能驻值条件：关于广义坐标的总势能驻值条件：关于广义坐标的总势能驻值条件：关于广义坐标的总势能驻值条件：28例题：例题：例题：例题：用能量法求图示结构的临界荷载用能量法求图示结构的临界荷载用能量法求图示结构的临界荷载用能量法求图示结构的临界荷载FPcr解：解：解：解：从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发llhEI1=EIEIFPFP FP ABCDABCDAD系统总势能系统总势能29例题：例题：例题：例题：用能量法求图示结构的临界荷载用能量法求图示结构的

28、临界荷载用能量法求图示结构的临界荷载用能量法求图示结构的临界荷载FPcr解：解：解：解：从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发从临界平衡状态的能量特征出发llhEI1=EIEIFPFP FP ABCDABCDAD表明势能为驻值且位移有非零解的能量特征与势表明势能为驻值且位移有非零解的能量特征与势能的二阶变分为零的内力准则在本质上是相同的能的二阶变分为零的内力准则在本质上是相同的30lllkkFPABCD kkFPy1y2EI=EI=EI=例题：例题：例题：例题：用能量法求图示体系的临界荷载用能量法求图示体系的临界荷载用能量法求图示体系的临界荷载用能

29、量法求图示体系的临界荷载FPcr.解：解：解：解：311111势能驻值条件势能驻值条件势能驻值条件势能驻值条件特征向量方程组特征向量方程组特征向量方程组特征向量方程组特征方程（非零解条件）特征方程（非零解条件）特征方程（非零解条件）特征方程（非零解条件）特征值特征值特征值特征值特征向量（失稳形态）特征向量（失稳形态）特征向量（失稳形态）特征向量（失稳形态）临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载32kkFPABCD 2kkFPy1y2EI=EI=EI=从能量角度观察失稳位移图形可以发现从能量角度观察失稳位移图形可以发现从能量角度观察失稳位移图形可以发现从能量角度观察失稳位移图形可以发现:当两种情况下铰

30、结点当两种情况下铰结点当两种情况下铰结点当两种情况下铰结点(弹簧弹簧弹簧弹簧)位移数值相等时位移数值相等时位移数值相等时位移数值相等时,反对称位移形态的反对称位移形态的反对称位移形态的反对称位移形态的D D点水平位移较大。点水平位移较大。点水平位移较大。点水平位移较大。或者说，或者说，或者说，或者说，D D点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说点水平位移相同时，反对称的弹簧变形较小，这说明在所有可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态明在所有可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态明在所有

31、可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态明在所有可能的失稳位移形态中，临界荷载所对应的位移形态应使体系发生失稳位移所引起的应变能是最小的。应使体系发生失稳位移所引起的应变能是最小的。应使体系发生失稳位移所引起的应变能是最小的。应使体系发生失稳位移所引起的应变能是最小的。y1 1kkFPy23316.3 16.3 无限自由度体系的临界荷载无限自由度体系的临界荷载引入假定：引入假定：引入假定：引入假定：1 1 1 1 杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变；杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变；杆件无初始缺陷、无初应力，屈曲时荷载方向保持不变；杆件无初始缺陷、无初应力，

32、屈曲时荷载方向保持不变；2 2 2 2 材料是线弹性的；材料是线弹性的；材料是线弹性的；材料是线弹性的；3 3 3 3 屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。屈曲时只发生平面内微小变形，忽略剪切变形的影响。无限自由度稳定问题的主要计算方法无限自由度稳定问题的主要计算方法仍然是仍然是静力法静力法和和能量法能量法34FPFPl1.1.1.1.等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载MFR静力法的解题思路：根据平衡形式的二重性先对变形状态静力法的解题思路：

33、根据平衡形式的二重性先对变形状态静力法的解题思路：根据平衡形式的二重性先对变形状态静力法的解题思路：根据平衡形式的二重性先对变形状态建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程建立平衡方程，然后由位移为非零解的条件得到稳定方程（特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。（特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。（特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。（特征方程），稳定方程的最小根就是临界荷载。一、静力法一、静力法yxO对无限自由度体系，平衡方程是对无限自由度体系，平衡方程是对无限自由

34、度体系，平衡方程是对无限自由度体系，平衡方程是微分方程而不是代数方程，这是微分方程而不是代数方程，这是微分方程而不是代数方程，这是微分方程而不是代数方程，这是与有限自由度体系不同的。与有限自由度体系不同的。与有限自由度体系不同的。与有限自由度体系不同的。ABAB351.1.1.1.等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载等截面压杆的临界荷载边界条件边界条件边界条件边界条件:x x=0=0 时时时时,y y=0;=0;x x=l l 时时时时,y y=0=0 FPFPlMFRyxOABAB36边界条件边界条件边界条件边界条件:x x=0=0 时时时时,y y=0;=0;y y

35、 =0=0 x x=l l 时时时时,y y=0=0 FPl例题：例题：例题：例题：静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载静力法求图示体系的临界荷载FPcr.FPMFRyxO解：解：解：解：建立变形体平衡方程建立变形体平衡方程建立变形体平衡方程建立变形体平衡方程ABAB37非非非非零零零零解需要系数行列式为零，得稳定方程解需要系数行列式为零，得稳定方程解需要系数行列式为零，得稳定方程解需要系数行列式为零，得稳定方程这是以这是以这是以这是以 l l为自变量的超越方程，通常用为自变量的超越方程，通常用为自变量的超越方程，通常用为自变量的超越方程，通常用试算法

36、试算法试算法试算法或或或或图图图图解法解法解法解法求解稳定方程的最小正根。求解稳定方程的最小正根。求解稳定方程的最小正根。求解稳定方程的最小正根。零解表示无侧移挠度的直线形式平衡状态。零解表示无侧移挠度的直线形式平衡状态。零解表示无侧移挠度的直线形式平衡状态。零解表示无侧移挠度的直线形式平衡状态。38设：设：设：设：y y1 1=l y2=tan l 变形曲线不是唯一的，是一组变形曲线不是唯一的，是一组变形曲线不是唯一的，是一组变形曲线不是唯一的，是一组形状相同而幅度不同的曲线族形状相同而幅度不同的曲线族形状相同而幅度不同的曲线族形状相同而幅度不同的曲线族（类似振型）。（类似振型）。（类似振型

37、）。（类似振型）。图解法图解法图解法图解法:两条线有无穷多交点，即两条线有无穷多交点，即两条线有无穷多交点，即两条线有无穷多交点，即有无穷组解。有无穷组解。有无穷组解。有无穷组解。最小的非零根：最小的非零根：最小的非零根：最小的非零根：l=4.493=4.493=4.493=4.493 039lFPkEI1FPkyxFRl刚性杆刚性杆I1I2=nI1ACBDFP M例题：例题：例题：例题：静力法求图示排架的临界荷载静力法求图示排架的临界荷载静力法求图示排架的临界荷载静力法求图示排架的临界荷载FPcr，和柱，和柱AB的计算长度的计算长度。解：解：解：解：建立变形体平衡方程建立变形体平衡方程建立变

38、形体平衡方程建立变形体平衡方程40边界条件界条件:x=0 时 y=0 x=l 时 y=y =0FPkyxFR 41展开，得超越方程：展开，得超越方程：讨论：讨论：（1）如果）如果I2=0，则，则 k=0当当EI1为有限值时，为有限值时，l0，所以，所以（2）如果）如果I2=，则，则 k=42（3）如果）如果I2=I1，则，则 k=3EI/l3有讨论（有讨论（1）、（）、（2）知）知试算法试算法试算法试算法:令令则则所以所以27.094.43.05.862.30.50.0432.212.20-0.024-0.52.01.6-34.543分析对称杆件的失稳变形形态分析对称杆件的失稳变形形态FPFP

39、由于荷载对称，所以失稳的位移形态也是对称或反对称的。由于荷载对称，所以失稳的位移形态也是对称或反对称的。FPFPFPFP实际结构中压杆的支承常是弹性的：实际结构中压杆的支承常是弹性的：44FPFPFPFPFPFPFPFP对称的失稳对称的失稳的位移形态的位移形态反对称失稳反对称失稳的位移形态的位移形态45当结构基础约束不足以完全阻止刚架柱底的转动时，应将固定当结构基础约束不足以完全阻止刚架柱底的转动时，应将固定支座改为弹性铰支座。弹性支承条件下压杆的临界荷载上限、支座改为弹性铰支座。弹性支承条件下压杆的临界荷载上限、下限可由概念分析得出。下限可由概念分析得出。反对称情况，如刚架梁反对称情况，如刚

40、架梁EI10,对对应悬臂柱，得临界荷载下限：应悬臂柱，得临界荷载下限：反对称情况，如刚架梁反对称情况，如刚架梁EI1,对对应滑动支座，得临界荷载上限：应滑动支座，得临界荷载上限：讨讨 论：论：刚架反对称临界荷载变化范围刚架反对称临界荷载变化范围：对称失稳临界荷载下限发生在对称失稳临界荷载下限发生在EI10时，压杆柱顶相当于铰链时，压杆柱顶相当于铰链支座，相应临界荷载大于反对称失稳时的临界荷载上限值，故支座，相应临界荷载大于反对称失稳时的临界荷载上限值，故刚架的失稳只能是反对称的。刚架的失稳只能是反对称的。462.2.2.2.变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载变截面压杆

41、的临界荷载工程中常见的变截面压杆有两类：阶形杆和截面连续变化工程中常见的变截面压杆有两类：阶形杆和截面连续变化杆。这两类杆或是稳定方程阶数过高，不易展开和求解，杆。这两类杆或是稳定方程阶数过高，不易展开和求解，或是形成变系数的挠曲线微分方程，常很难积分成为有限或是形成变系数的挠曲线微分方程，常很难积分成为有限形式，计算较为复杂。形式，计算较为复杂。lI1I2l2l1FPyxOFP以图示体系为例分段建立平衡微分方程：以图示体系为例分段建立平衡微分方程：设：设：472.2.2.2.变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载平衡方程的解：平衡方程的解：积分常数由

42、边界条件和两段连接点连续条件确定：积分常数由边界条件和两段连接点连续条件确定：当当x=0 时，时，y1=0；从而导出；从而导出 B1=0当当x=l 时，时，y20；导出；导出 A2 B2 tan2l=0当当x=l1 时，时，y1=y2、y1=y2导出导出lI1I2l2l1FPyxOFP482.2.2.2.变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载变截面压杆的临界荷载由齐次方程非零解条件，令系数行列式为零：由齐次方程非零解条件，令系数行列式为零：展开后求得特征方程展开后求得特征方程当当EI2=10EI1,l2=l1=0.5l 时时,得最小根得最小根1l 1=3.953 49二、

43、能量法二、能量法对变截面压杆或轴向荷载复杂情况用静力法确定临界荷对变截面压杆或轴向荷载复杂情况用静力法确定临界荷载比较繁杂。此时用能量法可取得较好效果。载比较繁杂。此时用能量法可取得较好效果。能量法的基本原理和步骤同于有限自由度体系稳定分析，能量法的基本原理和步骤同于有限自由度体系稳定分析，即利用势能驻值原理，在势能的一阶变分等于零的情况即利用势能驻值原理，在势能的一阶变分等于零的情况下，根据位移取非零解的条件确定荷载特征值，临界荷下，根据位移取非零解的条件确定荷载特征值，临界荷载是所有特征值中的最小值。载是所有特征值中的最小值。压杆的失稳曲线可以用一组满足边界条件的基函数线性压杆的失稳曲线可

44、以用一组满足边界条件的基函数线性组合而成。其组合系数称为广义坐标，广义坐标个数为组合而成。其组合系数称为广义坐标，广义坐标个数为自由度数。自由度数。50压杆在挠曲平衡状态时压杆在挠曲平衡状态时若有多个沿轴向作用不同位置的荷载，则荷载势能若有多个沿轴向作用不同位置的荷载，则荷载势能应变能能荷荷载势能能51体系体系势能能由体系由体系势能的能的驻值条件条件52临界荷界荷载的上限的上限由于压杆失稳的位移曲线一般很难精确预计和表达，用假设的位移曲线由于压杆失稳的位移曲线一般很难精确预计和表达，用假设的位移曲线通过能量法求得的临界荷载往往是近似解，其近似程度取决于选取位移通过能量法求得的临界荷载往往是近似

45、解，其近似程度取决于选取位移曲线与真实曲线的吻合程度。所以恰当选取位移函数是成功应用能量法曲线与真实曲线的吻合程度。所以恰当选取位移函数是成功应用能量法的关键。的关键。53由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数 FPl例题：例题：例题：例题：能量法求图示体系的临界荷载能量法求图示体系的临界荷载能量法求图示体系的临界荷载能量法求图示体系的临界荷载.取一项时取一项时取一项时取一项时一阶基函数一阶基函数一阶基函数一阶基函数广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标 a a1 1 1 1解：解：解：解：FP yxOAB54代入能量法的驻值条件代入能量法的驻值条件代入能量

46、法的驻值条件代入能量法的驻值条件误差误差误差误差4848由广义坐标非零解的要求由广义坐标非零解的要求由广义坐标非零解的要求由广义坐标非零解的要求 55误差误差误差误差3.63.6 取两项时取两项时取两项时取两项时56由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数由边界条件设变形函数 微段以上部分荷载微段以上部分荷载微段以上部分荷载微段以上部分荷载 微段以上外力势能微段以上外力势能微段以上外力势能微段以上外力势能：lq例题：例题：例题：例题：能量法求图示悬臂柱在自重作用下的临界荷载能量法求图示悬臂柱在自重作用下的临界荷载能量法求图示悬臂柱在自重作用下的临界荷载能量法求图示悬臂柱在自

47、重作用下的临界荷载.解：解：解：解：取一项时取一项时取一项时取一项时xdx yxO57外力势能外力势能外力势能外力势能 应变能应变能应变能应变能体系势能体系势能体系势能体系势能 由广义坐标非零解要求由广义坐标非零解要求由广义坐标非零解要求由广义坐标非零解要求 由体系势能驻值条件由体系势能驻值条件由体系势能驻值条件由体系势能驻值条件误差误差误差误差5.885.885.885.88 58取两项时取两项时取两项时取两项时变形能变形能变形能变形能外力势能外力势能外力势能外力势能体系势能体系势能体系势能体系势能 59由势能的驻值条件由势能的驻值条件由势能的驻值条件由势能的驻值条件由广义坐标非零解要求由广

48、义坐标非零解要求由广义坐标非零解要求由广义坐标非零解要求 60稳定方程最小根稳定方程最小根稳定方程最小根稳定方程最小根 比精确解仅大比精确解仅大比精确解仅大比精确解仅大0.010.01显然按单自由度计算误差较大，而按双自由度计算，显然按单自由度计算误差较大，而按双自由度计算，显然按单自由度计算误差较大，而按双自由度计算，显然按单自由度计算误差较大，而按双自由度计算，误差明显减少。但自由度的增加，计算工作量也大幅误差明显减少。但自由度的增加，计算工作量也大幅误差明显减少。但自由度的增加，计算工作量也大幅误差明显减少。但自由度的增加，计算工作量也大幅增加。增加。增加。增加。用能量法求得的临界荷载通

49、常高于精确解。原因是假用能量法求得的临界荷载通常高于精确解。原因是假用能量法求得的临界荷载通常高于精确解。原因是假用能量法求得的临界荷载通常高于精确解。原因是假定的位移曲线只是全部可能位移曲线集合中的一个子定的位移曲线只是全部可能位移曲线集合中的一个子定的位移曲线只是全部可能位移曲线集合中的一个子定的位移曲线只是全部可能位移曲线集合中的一个子集，或说这相当于对体系的变形施加了某种约束，从集，或说这相当于对体系的变形施加了某种约束，从集，或说这相当于对体系的变形施加了某种约束，从集，或说这相当于对体系的变形施加了某种约束，从而增加了体系刚度，使体系抵抗失稳的能力提高了。而增加了体系刚度，使体系抵

50、抗失稳的能力提高了。而增加了体系刚度，使体系抵抗失稳的能力提高了。而增加了体系刚度，使体系抵抗失稳的能力提高了。61FPlFPyxO例题：例题：例题：例题：试选择不同的位移函数，用能量法求图示简支柱的临试选择不同的位移函数，用能量法求图示简支柱的临试选择不同的位移函数，用能量法求图示简支柱的临试选择不同的位移函数，用能量法求图示简支柱的临界荷载界荷载界荷载界荷载.解：解：解：解：（1 1）假设挠曲线为抛物线）假设挠曲线为抛物线）假设挠曲线为抛物线）假设挠曲线为抛物线AB62（2 2）假设挠曲线为柱中作用一水平集中荷载）假设挠曲线为柱中作用一水平集中荷载）假设挠曲线为柱中作用一水平集中荷载）假设