第二章光学谐振腔理论激光物理(研究生)课件.ppt

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1、2.1 光学谐振腔本征模式的概念光学谐振腔本征模式的概念2.1.1 本征模式与自再现变换本征模式与自再现变换第第2章章谐振腔理论谐振腔理论本征模式是所研究谐振腔中能够存在的、不随时间改变的、具有特定的场振幅分布的电磁场。不同的谐振腔有不同的本征模式。相位条件：驻波条件（往返一周其相位的增加为2的整数倍）振幅条件：本征模式的场振幅分布不变（往返渡越后仍能再现的稳态光场分布为自再现模）。自再现模）。本征模式在腔内往返一周所受到的作用，是自再现变换讨论的谐振腔是开腔。几何理论：是以光学变换矩阵为基础，讨论谐振腔的稳定性条件；衍射理论的主要内容则是从菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式出发，建立起谐振腔自再现模

2、所满足的积分方程、通过求解积分方程讨论各类谐振腔的模式特点。2.1.2 稳定谐振腔本征模式的横模与纵模为在腔内形成稳定的振荡，要求光波因干涉而得到加强，即光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍（2.1.1)（2.1.3)与正整数与正整数q有关的模式称为谐振腔的纵模。有关的模式称为谐振腔的纵模。与正整数与正整数m、l有关的模式称为谐振腔的横模。有关的模式称为谐振腔的横模。相邻纵模的频率间隔为：相邻纵模的频率间隔为：（2.1.6)（2.1.5)相邻横模的频率相邻横模的频率间隔为：间隔为：（2.1.8)球面反射镜的光学变换矩阵为：球面反射镜的光学变换矩阵为：2.2 谐振腔的特点 对凸面镜只要对凸

3、面镜只要R取负即可。对平面反射取负即可。对平面反射镜，镜，R取取。2.2.1 谐振腔往返一周的变换矩阵设光线从M1反射镜出发，坐标为LT1M2反射T2光线在腔内往返一周的总的变换矩阵应是光线在腔内往返一周的总的变换矩阵应是(2.2.1)式中式中 Rl、R2分分别为别为M1与与M2的的曲率半径。曲率半径。如果光线在球面谐振腔内往返如果光线在球面谐振腔内往返n次，则它的光学变次，则它的光学变换短阵就应该是往返矩阵换短阵就应该是往返矩阵T的的n次方，按照矩阵理次方，按照矩阵理论论n次往返矩阵次往返矩阵n n次往返后的光次往返后的光线坐标有线坐标有(2.2.2)(2.2.4)(2.2.3)2.2.2

4、光学谐振腔的光学谐振腔的稳定性条件稳定性条件如果光线在共轴球面谐振腔内能够往返任意次而如果光线在共轴球面谐振腔内能够往返任意次而不横向逸出腔外，这样的谐振腔我们就称为稳定不横向逸出腔外，这样的谐振腔我们就称为稳定谐振腔，简称稳定腔。否则就称为非稳腔。谐振腔，简称稳定腔。否则就称为非稳腔。只要只要n次往返矩阵次往返矩阵Tn的元素的元素An、Bn、Cn、Dn对于对于任意大的任意大的n值均保持为有限大小就可以认为这样值均保持为有限大小就可以认为这样的谐振腔就是稳定腔。的谐振腔就是稳定腔。一、稳定性条件值为值为实数实数。cos的值随的值随n的增大只能在的增大只能在+1与与-1之间之间变化，从而使变化，

5、从而使An、Bn、Cn、Dn的数值以及的数值以及rn+1与与n+1的数值随的数值随n的增大也只能发生振荡式的变化的增大也只能发生振荡式的变化.只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证近轴只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证近轴光线能在腔内往返无限多次而不会从侧面横向逸出。光线能在腔内往返无限多次而不会从侧面横向逸出。反之，若反之，若值值不是实数不是实数，由于有虚部，必然导致，由于有虚部，必然导致An、Bn、Cn、Dn以及以及rn+1与与n+1的值都随的值都随n增大而增大。这增大而增大。这样一来，傍轴光线在腔内往返有限次后便可样一来，傍轴光线在腔内往返有限次后便可逸出腔外逸出腔外。由上述

6、分析可知，由上述分析可知，值为实数且不等于值为实数且不等于0或或时，时，谐振腔为稳定腔。谐振腔为稳定腔。值有虚部时，谐振腔为非稳值有虚部时，谐振腔为非稳腔。腔。等于等于0或或时，谐振腔是临界腔。由时，谐振腔是临界腔。由的计的计算公式算公式(2.2.4)不难得出上述结论的数学描述：不难得出上述结论的数学描述：稳定腔稳定腔(2.2.5)非稳定腔非稳定腔临界腔临界腔为了得到稳定性条件为了得到稳定性条件的更为简明的形式，的更为简明的形式，引入谐振腔的下述几引入谐振腔的下述几何参数何参数(2.2.8)共轴球面谐振腔的稳定性条件可叙述如下，当共轴球面谐振腔的稳定性条件可叙述如下，当(2.2.7)非稳定腔非

7、稳定腔临界腔临界腔凹面凹面R取正，取正，凸面凸面R取负取负稳定腔稳定腔从上边的稳定性条件推导过程可以看出，往返矩阵从上边的稳定性条件推导过程可以看出，往返矩阵T和和n次往返矩阵次往返矩阵Tn均均与光线的初始坐标参数无关与光线的初始坐标参数无关，但可能与光线的往返行进次序有关。但可能与光线的往返行进次序有关。(2.2.1)式给出的式给出的A、B、C、D表达式是光线由表达式是光线由M1从出发往返一周而计算出来的。如果令光线由从出发往返一周而计算出来的。如果令光线由M2出发往返一周，则出发往返一周，则T矩阵的各元素具体表达形式将矩阵的各元素具体表达形式将有所不同。有所不同。但可以证明，对于一定几何结

8、构的共轴球面腔来说，但可以证明，对于一定几何结构的共轴球面腔来说，(A十十D)则是则是个不变量，与光线的往返行进次序无个不变量，与光线的往返行进次序无关。因此，上述讨论的共轴球面腔各稳定性条件都关。因此，上述讨论的共轴球面腔各稳定性条件都是普遍适用的。是普遍适用的。稳区图1平行平面腔；2半共焦腔；3半共心腔4对称共焦腔5对称共心腔稳定区(阴影区)，其它区域则为非稳区(无阴影区)，两区域的边界线为临界线。最后需要说明的是，我们这里所谓的腔的稳定性最后需要说明的是，我们这里所谓的腔的稳定性只是指傍轴光线能否在腔内往返无限多次而不横向只是指傍轴光线能否在腔内往返无限多次而不横向逸出，也就是指无源腔内

9、傍轴光束的几何损耗的高逸出，也就是指无源腔内傍轴光束的几何损耗的高低，并不是指有源腔在满足起振的阈值条件下，谐低，并不是指有源腔在满足起振的阈值条件下，谐振腔的工作状态是否稳定。振腔的工作状态是否稳定。由于稳定腔的几何损耗小，所以对增益不高的工作由于稳定腔的几何损耗小，所以对增益不高的工作物质容易起振。物质容易起振。而非稳腔的几何损耗大，在中、小功率的激光器中而非稳腔的几何损耗大，在中、小功率的激光器中很少采用。但是，对于增益较高的工作物质，它仍很少采用。但是，对于增益较高的工作物质，它仍然可以起振，并且同样可以稳定地工作。然可以起振，并且同样可以稳定地工作。一些典型腔2.2.3光学谐振腔的损

10、耗 平均单程功率损耗平均单程功率损耗,光子寿命光子寿命R,品质因数品质因数Q 1.平均单程损耗指数因子平均单程损耗指数因子 光从谐振腔一端传输到另一端的平均单程损耗指数光从谐振腔一端传输到另一端的平均单程损耗指数因子因子 定义为：定义为：I0I1(2.2.10)(2.2.11)吸收和散射 反射 衍射 透射的单程损耗假设腔内其他的所有损耗用平均单程损耗指数因子a表示，初始强度为I0的光，在腔内往返一周经两个镜面反射后，其强度I1为：因此：当r11,r2 1时有：r1Lr2(2.2.12)(2.2.13)2.腔内光子平均寿命 物理意义：光强从初始值I0衰减到I0的1/e所用时间。光在腔内往返m次后

11、的光强为：当谐振腔腔长与激光工作物质长度不相等时，L的计算方法为(2.2.15)(2.2.14)(2.2.16)光强可表示为光强可表示为V为传播速度为传播速度,所以所以上式表明上式表明:由于损耗的存在由于损耗的存在,腔内光子数密度将随时间腔内光子数密度将随时间按指数函数衰减，腔内按指数函数衰减，腔内N0个光子的平均寿命就等于个光子的平均寿命就等于R，即，即(2.2.17)(2.2.18)若腔内各种损耗所引起的腔寿命分别为若腔内各种损耗所引起的腔寿命分别为Ri，则腔则腔的总寿命为：的总寿命为：3.谐振腔品质因素谐振腔品质因素Q定义定义 光子数密度，所以光子数密度，所以如果腔内同时存在几种损耗，每

12、种损耗对应的腔如果腔内同时存在几种损耗，每种损耗对应的腔Q值分别为值分别为Qi，则总则总Q值为：值为：(2.2.20)(2.2.22)为腔内储存的总能量，为腔内储存的总能量，P为单位时间损耗的能量为单位时间损耗的能量(2.2.19)4、无源腔本征模带宽腔内光强随时间变化，其对应的光场可表示为腔内光强随时间变化，其对应的光场可表示为经付里叶变换经付里叶变换，得无源腔本征纵模的频谱为：，得无源腔本征纵模的频谱为：求出从最大值求出从最大值I(0)下降一半所对应的两个频率之间的下降一半所对应的两个频率之间的间隔，就是本征纵模的线宽间隔，就是本征纵模的线宽(2.2.23)(2.2.24)5、菲涅耳数定义

13、：(1)衍射光在腔内的最大往返次数。衍射光在腔内的最大往返次数。往返偏移量为往返偏移量为2x，设从镜面中心开始传播的光线，往设从镜面中心开始传播的光线，往返返m次后逸出腔外，则有：次后逸出腔外，则有：(2)从一面镜子的中心看另一面镜子的菲涅耳半从一面镜子的中心看另一面镜子的菲涅耳半波带数波带数2aLx衍射角(3)单程衍射损耗率的倒数单程衍射损耗率的倒数2.3 谐振腔的衍射理论本节首先给出理想开腔的模型孔阑传输线，在此基础上引入稳态场分布自再现模的概念。一、孔阑传输线一、孔阑传输线用孔阑传输线模拟谐振腔。用孔阑传输线模拟谐振腔。光场在谐振腔内形成稳定分布主要是光的衍射作光场在谐振腔内形成稳定分布

14、主要是光的衍射作用所致，谐振腔的其它损耗，如光的吸收、散射用所致，谐振腔的其它损耗，如光的吸收、散射等只是使得横截面上各点的场按同样比例衰减，等只是使得横截面上各点的场按同样比例衰减，对场的空间分布不发生什么影响。如果需要考虑对场的空间分布不发生什么影响。如果需要考虑这些损耗时，可在孔阑传输线的每一个孔面上加这些损耗时，可在孔阑传输线的每一个孔面上加一个衰减滤光片即可。一个衰减滤光片即可。若谐振腔的反射镜不是平面镜，而是若谐振腔的反射镜不是平面镜，而是球面镜球面镜的话，的话，可以在每个孔阑处装上相应焦距的可以在每个孔阑处装上相应焦距的透镜透镜，这样孔，这样孔阑传输线实际上变成透镜波导。阑传输线

15、实际上变成透镜波导。二、自再现模经过足够多次的往返渡越后，场分布不再受衍射作经过足够多次的往返渡越后，场分布不再受衍射作用的影响，形成一种稳定的场分布。用的影响，形成一种稳定的场分布。这种稳态场经一次往返后，唯一可能的变化这种稳态场经一次往返后，唯一可能的变化只是镜只是镜面上各点的场振幅按同样比例衰减，各点的相位发面上各点的场振幅按同样比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后生同样大小的滞后。我们称这种存在于镜面处，且往返渡越后仍能再现我们称这种存在于镜面处，且往返渡越后仍能再现的稳态光场分布为的稳态光场分布为自再现模自再现模。由于自再现模的形成是多次衍射的结果，故初始由于自再现模的形成是多次衍

16、射的结果，故初始场分布场分布u1的形状在一定意义上是无关紧要的。的形状在一定意义上是无关紧要的。不同的初始场分布不同的初始场分布u1可得到不同的稳态场分布，可得到不同的稳态场分布，这说明开腔的横模模式是多种的。这说明开腔的横模模式是多种的。自再现模形成的物理过程。自再现模形成的物理过程。开腔中的任何振荡都是从某种偶然的自发辐射开始开腔中的任何振荡都是从某种偶然的自发辐射开始的，而自发辐射遵从统计规律，故而可以提供各的，而自发辐射遵从统计规律，故而可以提供各种不同的初始场分布。衍射作用在此起到一种种不同的初始场分布。衍射作用在此起到一种“筛子筛子”的作用，它将所有可能存在的各种自再现的作用，它将

17、所有可能存在的各种自再现模筛选出来。模筛选出来。从菲涅耳一基尔霍夫衍射积分公式出发，然后在此公式的基础上建立自再现模所满足的积分方程。2.3.1、开腔模的衍射理论一、菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式(2.3.1)图图二、自再现模积分方程假设假设uj(x,y)为经过为经过j次波越后在某一镜面上所形次波越后在某一镜面上所形成的场分布，成的场分布，uj+1(x,y)表示光波再渡越一次腔长距表示光波再渡越一次腔长距离后，到达另一镜面所形成的光场分布，按照离后，到达另一镜面所形成的光场分布，按照(2.3.1)式，两者之间应满足如下的迭代关系：式，两者之间应满足如下的迭代关系：图图2-32-3为使问题简化，我

18、们将只考虑对称开腔的情况。为使问题简化，我们将只考虑对称开腔的情况。按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外，位移动的常数因子以外，uj+1应能够将应能够将uj再现出来，再现出来，两者之间应有关系：两者之间应有关系：(2.3.1)(2.3.3)式中是一个与坐标无关的复常数。去掉式中光场分布函数的下标j，用u(x,y)表示稳态场分布函数，则自再现模积分方程为便可得到自再现模所满足的积分方程为：令1/=，对于一般的激光谐振腔来说(3-6)L2(2.3.5)积分方程的核积分方程的核本征值本征函数需要两个模参数来区分这些不同的横模。需

19、要两个模参数来区分这些不同的横模。(2.3.6)三、积分方程解的物理意义 积分方程(2.3.5)的解包括两个方面：本征函数u(x,y)，本征值(1)本征函数一般为复函数，模模模模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布振幅分布，幅角幅角则代表镜面上光场的相位分布相位分布。不同横模的场分布函数也不一样。横模存在于腔内的每一种横向场分布，用模序数m和l描述。TEM00TEM10TEM20TEM03TEM11TEM31轴对称镜稳定球面腔，则m和l分别表示沿镜面直角坐标系的水平和竖直坐标轴的激光场节线数。圆形镜稳定球面腔中，m表示沿角向有m条节线，l表示沿径向有l条节线。TEM00TEM20TEM02TE

20、M01TEM10TEM30加上横模参数加上横模参数m和和l，表明单程衍射功率损耗与横模表明单程衍射功率损耗与横模式有关。式有关。|ml|越小，越小，ml就越大。就越大。(2)本征值本征值一般也是个复数，一般也是个复数，模模反映了自再现模在腔反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率内单程渡越时所引起的功率损耗损耗。损耗包括衍射损耗和几何损耗，今后就简称它为单程损耗包括衍射损耗和几何损耗，今后就简称它为单程衍射损耗。单程功率损耗衍射损耗。单程功率损耗用对称开腔中的自再现模来用对称开腔中的自再现模来表示为：表示为：(2.3.8)本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。(2.3.3)而

21、自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为：由(2.3.3)式，我们可以写出：另外，自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何相移kL ：腔内单程渡越时相对于几何相移的单程附加相移，或简称为单程相移当当 0时表示有附加相位超前时表示有附加相位超前当当 0时表示有附加相位滞后。时表示有附加相位滞后。由前两式可写出：由前两式可写出：这说明这说明本征值的幅角本征值的幅角还与单程还与单程附加相移附加相移有关，并且不有关，并且不同的横模单程附加相移也不同。同的横模单程附加相移也不同。当腔内存在激活物质时，为了使自再现模在往返当腔内存在激活物质时，为了使自再现模在往返传播过程中

22、能形成稳定的振荡，必须满足所谓的谐振传播过程中能形成稳定的振荡，必须满足所谓的谐振条件。条件。四 激光谐振腔的谐振频率和激光纵模1 1、谐振条件、驻波和激光纵模、谐振条件、驻波和激光纵模 为在腔内形成稳定的振荡，要求光波因干为在腔内形成稳定的振荡，要求光波因干涉而得到加强，即光波在腔内往返一周的总相移涉而得到加强，即光波在腔内往返一周的总相移应等于应等于2 的整数倍。的整数倍。谐振条件可能存在于腔内的每一种驻波场，用模序数q描述沿腔轴线的激光场的节点数。不难看出，可以稳定存在于开腔中的激光振荡模式的谐振频率为因此，谐振频率既与纵横有关，也与横模有关。因为通常q的值非常大，另外 的值很有限。因此激光谐振腔的谐振频率主要决定于纵模序数2、纵模频率间隔腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔：(2.1.6)L为光学谐振腔的光程