第4章傅里叶变换和系统的频谱分析课件.ppt

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1、2023/1/81第四章第四章傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析2023/1/824.14.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.24.2傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数4.34.3周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号的频谱周期信号的频谱4.44.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱非周期信号的频谱非周期信号的频谱(傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换)4.4.5 5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.74.7周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4

2、.84.8 LTILTI系统的频域分析系统的频域分析系统的频域分析系统的频域分析4.94.9 取样定理取样定理取样定理取样定理2023/1/834.1 信号分解为正交函数 矢量的分量和矢量的分解平面矢量分解图平面矢量分解图空间中的矢量分解图空间中的矢量分解图2023/1/84n n 正交信号空间正交信号空间正交信号空间正交信号空间设设设设n n个函数个函数个函数个函数构成一函数集，如在区间构成一函数集，如在区间构成一函数集，如在区间构成一函数集，如在区间内满足下列特性：内满足下列特性：内满足下列特性：内满足下列特性：常数常数则称此函数集为则称此函数集为则称此函数集为则称此函数集为正交函数集正交

3、函数集正交函数集正交函数集，这，这，这，这n n 个个个个构成一个构成一个构成一个构成一个n n维正维正维正维正交信号空间交信号空间交信号空间交信号空间。任意一个代表信号的函数任意一个代表信号的函数任意一个代表信号的函数任意一个代表信号的函数 f f(t t)，在区间在区间在区间在区间内可以用内可以用内可以用内可以用组成信号空间的这组成信号空间的这组成信号空间的这组成信号空间的这n n个正交函数的线性组合来近似。个正交函数的线性组合来近似。个正交函数的线性组合来近似。个正交函数的线性组合来近似。4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解 2023/1/85在使近似式的均方误差最小条件下

4、，可求得在使近似式的均方误差最小条件下，可求得在使近似式的均方误差最小条件下，可求得在使近似式的均方误差最小条件下，可求得均方误差均方误差均方误差均方误差4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解 若令若令若令若令 趋于无限大，趋于无限大，趋于无限大，趋于无限大，的极限等于零的极限等于零的极限等于零的极限等于零 则此正交函数集称为则此正交函数集称为则此正交函数集称为则此正交函数集称为完备正交函数集。（定义完备正交函数集。（定义完备正交函数集。（定义完备正交函数集。（定义1 1 1 1）代表函数代表函数 和和 间的间的相似相似程度或程度或相关程相关程度度2023/1/86满足等式满足等式

5、i为任意整数为任意整数则此函数集称为完备正交函数集。则此函数集称为完备正交函数集。如果在正交函数集如果在正交函数集外外,不存在函数不存在函数，其中其中4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解 完备正交函数集完备正交函数集（定义定义2）2023/1/87完备完备-有两层意思：有两层意思：1.1.如果如果 在区间内与在区间内与 正交，则正交，则 必属必属 于这个正交集。于这个正交集。2.2.若若 与与 正交，但正交，但 中不包含中不包含 ，则此集不完备。则此集不完备。4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解 即：即：函数函数f(t)在区间在区间(t1,t2)内可展开成完备正交函

6、数空间中的无穷级数。内可展开成完备正交函数空间中的无穷级数。2023/1/88如果在区间如果在区间内，复变函数集内，复变函数集满足满足则称则称为正交函数集。为正交函数集。4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解 n 复变函数的正交特性复变函数的正交特性若复变函数集是完备的，则若复变函数集是完备的，则2023/1/89周期信号周期信号周期信号周期信号 f f(t t)在区间在区间在区间在区间(t t0 0,t t0 0+T T)可以展开成在可以展开成在可以展开成在可以展开成在完备完备完备完备正交信号空间中的无穷级数正交信号空间中的无穷级数正交信号空间中的无穷级数正交信号空间中的无穷级数

7、。如果完备的正交函数。如果完备的正交函数。如果完备的正交函数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为展开的无穷级数就分别称为展开的无穷级数就分别称为展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数三角型傅里叶级数三角型傅里叶级数三角型傅里叶级数”或或或或“指数型傅里叶级数指数型傅里叶级数指数型傅里叶级数指数型傅里叶级数”，统称，统称，统称，统称傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数。18221822年法国数学家傅里叶（年

8、法国数学家傅里叶（年法国数学家傅里叶（年法国数学家傅里叶（1768176818301830）在研究）在研究）在研究）在研究热传导理论时发表了热传导理论时发表了热传导理论时发表了热传导理论时发表了“热的分析理论热的分析理论热的分析理论热的分析理论”著作，提出著作，提出著作，提出著作，提出并证明了并证明了并证明了并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数将周期函数展开为三角函数的无穷级数将周期函数展开为三角函数的无穷级数将周期函数展开为三角函数的无穷级数的的的的原理。原理。原理。原理。4.2 傅里叶级数2023/1/8104.2 傅里叶级数DirichletDirichlet条件条件条件条件：(1

9、)(1)在一个周期内在一个周期内在一个周期内在一个周期内绝对绝对可可可可积积；(2)(2)在一个周期内只有在一个周期内只有在一个周期内只有在一个周期内只有有限个有限有限个有限有限个有限有限个有限值值的不的不的不的不连续连续点点点点；(3)(3)在一个周期内只有在一个周期内只有在一个周期内只有在一个周期内只有有限个极大有限个极大有限个极大有限个极大值值和极小和极小和极小和极小值值。18291829年，年，年，年，DirichletDirichlet给出了补充，只有当周期信号给出了补充，只有当周期信号给出了补充，只有当周期信号给出了补充，只有当周期信号 f f(t t)满足满足满足满足Dirich

10、letDirichlet条件条件条件条件时，才能展开为傅里叶级数。时，才能展开为傅里叶级数。时，才能展开为傅里叶级数。时，才能展开为傅里叶级数。(电子技术中的周期信号大都满足条件。电子技术中的周期信号大都满足条件。电子技术中的周期信号大都满足条件。电子技术中的周期信号大都满足条件。)2023/1/811n 三角函数集是完备正交函数集三角函数集是完备正交函数集4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数2023/1/8124.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数傅傅里里叶叶系系数数：2023/1/8134.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数2023/1/8144.2

11、傅里叶级数 周期信号展开为三角形傅里叶级数2023/1/815n n例：将下图所示方波信号例：将下图所示方波信号例：将下图所示方波信号例：将下图所示方波信号 f f(t t)展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数解：解：解：解：4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数2023/1/8164.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数2023/1/817所以，所示信号的傅里叶展开式为：所以，所示信号的傅里叶展开式为：所以，所示信号的傅里叶展开式为：所以，所示信号的傅里叶展开式为：n n思考：取多少次谐波才能有效表示这个信号？思考：取多少次谐波才能有效表示这

12、个信号？思考：取多少次谐波才能有效表示这个信号？思考：取多少次谐波才能有效表示这个信号？均方误差为均方误差为考虑考虑时，时，本例中：本例中：4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数2023/1/8184.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数2023/1/819p 吉布斯（吉布斯（吉布斯（吉布斯（GibbsGibbs）现象）现象）现象）现象4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数用用有限次有限次谐波分谐波分量来近似原信号，量来近似原信号，在在不连续点附近出现起不连续点附近出现起伏伏，起伏频率，起伏频率随谐波随谐波分量增加而增加，分量增加而增加，起起伏峰值不随谐波分量

13、伏峰值不随谐波分量增加而减少增加而减少，起伏峰，起伏峰值有值有9%的超量的超量。2023/1/820若给定的函数若给定的函数若给定的函数若给定的函数 f f(t t)具有某些特点，那么，有些傅里叶系具有某些特点，那么，有些傅里叶系具有某些特点，那么，有些傅里叶系具有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零，从而使傅里叶系数的计算简化。数将等于零，从而使傅里叶系数的计算简化。数将等于零，从而使傅里叶系数的计算简化。数将等于零，从而使傅里叶系数的计算简化。n nf f(t t)为偶函数为偶函数为偶函数为偶函数4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数2023/1/821偶函数信号偶函数信号的

14、的傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式中只含有中只含有直流项直流项与与余弦项余弦项。4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数2023/1/822n n f f(t t)为奇函数为奇函数为奇函数为奇函数奇对称信号奇对称信号的的傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式中只含有中只含有正弦项正弦项4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数2023/1/823n n f f(t t)为为为为奇谐奇谐奇谐奇谐函数函数函数函数(半波镜像半波镜像半波镜像半波镜像信号信号信号信号)n n f f(t t)为为为为偶谐偶谐偶谐偶谐函数函数函数函数(半波重叠半波重叠半波重叠半波重叠信号信号信号信号)偶谐信号

15、偶谐信号偶谐信号偶谐信号只含有只含有只含有只含有正弦正弦正弦正弦与与与与余弦余弦余弦余弦的的的的偶次谐波分量和直流分量偶次谐波分量和直流分量偶次谐波分量和直流分量偶次谐波分量和直流分量，而无奇次谐波分量。，而无奇次谐波分量。，而无奇次谐波分量。，而无奇次谐波分量。奇谐信号奇谐信号奇谐信号奇谐信号只含有只含有只含有只含有正弦正弦正弦正弦与与与与余弦余弦余弦余弦的的的的奇次谐波分量奇次谐波分量奇次谐波分量奇次谐波分量，而无直流和偶次谐波分量。，而无直流和偶次谐波分量。，而无直流和偶次谐波分量。，而无直流和偶次谐波分量。4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数2023/1/824n周期信号

16、的对称性与傅里叶系数的关系周期信号的对称性与傅里叶系数的关系4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数2023/1/825n 复指数函数集是完备正交函数集复指数函数集是完备正交函数集4.2 傅里叶级数 周期信号展开为指数型傅里叶级数2023/1/8264.2 傅里叶级数 周期信号展开为指数型傅里叶级数傅傅里里叶叶系系数数：2023/1/8274.2 傅里叶级数 从三角型傅里叶级数推导出指数形式2023/1/8284.2 傅里叶级数 从三角型傅里叶级数推导出指数形式若若f(t)为实函数为实函数2023/1/829例例试计算图示周期矩形脉冲信号试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的的傅里叶级

17、数傅里叶级数展开式。展开式。解解:因此，因此，f(t)的的指数形式傅里叶级数指数形式傅里叶级数展开式为展开式为4.2 傅里叶级数 傅里叶级数的指数形式2023/1/830例例例例 求求Fn解解解解:根据指数形式傅里叶级数的定义可得根据指数形式傅里叶级数的定义可得4.2 傅里叶级数 傅里叶级数的指数形式2023/1/8314.2 傅里叶级数 傅里叶级数总结2023/1/832n从功率的角度来考察周期信号时域和频域特性间的关系从功率的角度来考察周期信号时域和频域特性间的关系4.3 周期信号的频谱 周期信号的功率直流功率谐波功率物理意义：任意物理意义：任意周期信号的周期信号的平均功平均功率率等于信号

18、所包含等于信号所包含的的直流、基波以及直流、基波以及各次谐波的平均功各次谐波的平均功率之和率之和。2023/1/833例例例例 求求f(t)的功率。的功率。解：解：解：解：4.3 周期信号的频谱 周期信号的功率2023/1/834n 频谱的概念频谱的概念或或通过研究傅里叶系数通过研究傅里叶系数Fn、An和和 来研究信号的特性，它来研究信号的特性，它们是频率的函数，反映了们是频率的函数，反映了组成信号各频率分量的幅度、相位组成信号各频率分量的幅度、相位的分布情况，又称为的分布情况，又称为频谱函数频谱函数。4.3 周期信号的频谱 周期信号的频谱2023/1/835n n单边幅度谱和双边幅度谱单边幅

19、度谱和双边幅度谱单边幅度谱和双边幅度谱单边幅度谱和双边幅度谱4.3 周期信号的频谱 周期信号的频谱2023/1/8364.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱周期性矩形脉冲的频谱是离散的，仅含有周期性矩形脉冲的频谱是离散的，仅含有周期性矩形脉冲的频谱是离散的，仅含有周期性矩形脉冲的频谱是离散的，仅含有的分量，的分量，的分量，的分量，其相邻两谱线的间隔是其相邻两谱线的间隔是其相邻两谱线的间隔是其相邻两谱线的间隔是。n n 周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱()()()()2023/1/837n n周期矩形脉冲信号的周期矩形脉冲信号的周期矩形

20、脉冲信号的周期矩形脉冲信号的频带宽度频带宽度频带宽度频带宽度(带宽带宽带宽带宽，)pp周期矩形信号的谱线幅度按周期矩形信号的谱线幅度按周期矩形信号的谱线幅度按周期矩形信号的谱线幅度按的规律变化。的规律变化。的规律变化。的规律变化。在在在在处，即处，即处，即处，即处，处，处，处，包络为零，其相应的谱线亦等于零。包络为零，其相应的谱线亦等于零。包络为零，其相应的谱线亦等于零。包络为零，其相应的谱线亦等于零。p周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，但其周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，但其周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，但其周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，但其信号信号信号信号能量主要集中在第一个零点

21、以内能量主要集中在第一个零点以内能量主要集中在第一个零点以内能量主要集中在第一个零点以内。在允许一定失。在允许一定失。在允许一定失。在允许一定失真条件下，只需传送频率较低的那些分量就真条件下，只需传送频率较低的那些分量就真条件下，只需传送频率较低的那些分量就真条件下，只需传送频率较低的那些分量就足够足够足够足够表达原信号表达原信号表达原信号表达原信号。4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱2023/1/838 物理意义：物理意义：在信号的有效带宽内，在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波集中了信号绝大部分谐波分量分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对。若信号丢失有效带宽以外的谐

22、波成分，不会对信号产生明显影响。信号产生明显影响。当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配匹配”4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱n n 通常把通常把通常把通常把 称为周期矩形脉冲信号称为周期矩形脉冲信号称为周期矩形脉冲信号称为周期矩形脉冲信号的的的的有效频带宽度有效频带宽度有效频带宽度有效频带宽度或或或或有效带宽，简称带宽有效带宽，简称带宽有效带宽，简称带宽有效带宽，简称带宽。2023/1/839n n 周期矩形脉冲信号的周期矩形脉冲信号的周期矩形脉冲信号的周期矩形脉冲信号的脉冲宽度脉冲宽度脉冲宽度脉冲宽度与与与与带宽带宽带宽带宽、幅

23、度频谱的关系、幅度频谱的关系、幅度频谱的关系、幅度频谱的关系结论：结论：结论：结论：脉冲宽度越窄，有效带宽越宽，高频分量越多脉冲宽度越窄，有效带宽越宽，高频分量越多。即即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱2023/1/840n n 周期矩形脉冲信号频谱中周期与谱线密度的关系周期矩形脉冲信号频谱中周期与谱线密度的关系周期矩形脉冲信号频谱中周期与谱线密度的关系周期矩形脉冲信号频谱中周期与谱线密度的关系4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱2023/1/841非周期信号非周期信号非周期信

24、号非周期信号结论：结论：结论：结论：当当当当 不变，不变，不变，不变，T T T T 增大，谱线间隔增大，谱线间隔增大，谱线间隔增大，谱线间隔 减小，谱减小，谱减小，谱减小，谱线逐渐密集，幅度线逐渐密集，幅度线逐渐密集，幅度线逐渐密集，幅度 减小。减小。减小。减小。连续频率，幅度连续频率，幅度连续频率，幅度连续频率，幅度4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱2023/1/842n n 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点pp离散性离散性离散性离散性谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔谱线是离散的而不是连续的，谱

25、线之间的间隔谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔为为为为。这种频谱常称为离散频谱。这种频谱常称为离散频谱。这种频谱常称为离散频谱。这种频谱常称为离散频谱。pp收敛性收敛性收敛性收敛性各频谱线的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，各频谱线的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，各频谱线的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，各频谱线的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。pp谐波性谐波性谐波性谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频谱线在频谱轴上的

26、位置是基频谱线在频谱轴上的位置是基频谱线在频谱轴上的位置是基频的整数倍。的整数倍。的整数倍。的整数倍。4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱若信号若信号时域波形变化越平缓时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，高次谐波成分就越少，幅度频幅度频谱衰减越快谱衰减越快；若信号若信号时域波形变化跳变越多时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，高次谐波成分就越多，幅度幅度频谱衰减越慢频谱衰减越慢。2023/1/843求其傅里叶级数。求其傅里叶级数。求其傅里叶级数。求其傅里叶级数。例：单位冲激函数的间隔为例：单位冲激函数的间隔为例：单位冲激函数的间隔为例：单位冲激函数的间隔为T T，用符号，用符号，

27、用符号，用符号 T T(t t)表示周期单位冲激表示周期单位冲激表示周期单位冲激表示周期单位冲激序列：序列：序列：序列：解：解：解：解：T T(t t)是周期函数，其是周期函数，其是周期函数，其是周期函数，其傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数：4.3 周期信号的频谱 周期单位冲激序列的频谱2023/1/844FSFS4.3 周期信号的频谱 周期单位冲激序列的频谱可见，可见，可见，可见，周期单位冲激序列的傅里叶级数周期单位冲激序列的傅里叶级数周期单位冲激序列的傅里叶级数周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于中只包含位于中只包含位于中只包含位于 =0,=0,2,2,n n,的频率分量，且分

28、量大小相等，均等的频率分量，且分量大小相等，均等的频率分量，且分量大小相等，均等的频率分量，且分量大小相等，均等于于于于1/1/T T。2023/1/845n 频谱密度函数频谱密度函数4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换2023/1/846 此时，为了表明幅度间的相对差别，有必要引此时，为了表明幅度间的相对差别，有必要引此时，为了表明幅度间的相对差别，有必要引此时，为了表明幅度间的相对差别，有必要引入一个新的量入一个新的量入一个新的量入一个新的量“频谱密度函数频谱密度函数频谱密度函数频谱密度函数”设周期信号设周期信号设周期信号设周期信号4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换则则则则2023/1/

29、8474.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换2023/1/848频谱函数与频谱密度函数的区别频谱函数与频谱密度函数的区别频谱函数与频谱密度函数的区别频谱函数与频谱密度函数的区别（1）周期信号的频谱为周期信号的频谱为离散离散的，的，非周期信号的频谱和频谱密度均为非周期信号的频谱和频谱密度均为连续连续的的。（2）周期信号的频谱为周期信号的频谱为Fn的分布，表示的分布，表示每个谐波分每个谐波分量的复振幅量的复振幅；非周期信号的频谱为非周期信号的频谱为FnT的分布，表示的分布，表示每单每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频，即频谱密度函数。谱密度函数。两者关系：两者关

30、系：4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换时域非周期时域非周期频域连续频域连续时域周期时域周期频域离散频域离散2023/1/8494.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换n 傅里叶反变换傅里叶反变换傅里叶反变换傅里叶反变换2023/1/8504.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换模模模模相位相位相位相位实部实部实部实部虚部虚部虚部虚部非周期信号非周期信号可以分解为可以分解为无数个虚指无数个虚指数信号数信号的线的线性组合，这性组合，这些信号的些信号的频频率是连续的，率是连续的，幅度为无穷幅度为无穷小小。2023/1/851例例 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱密度函数。试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱密

31、度函数。解：解：非周期矩形脉冲信号非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为的时域表示式为由由傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换定义式，定义式，可得可得4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换非常重要的公式！非常重要的公式！信号在信号在时域有限时域有限，则在，则在频域将无限延续频域将无限延续2023/1/8521t0f(t)4.4 非周期信号的频谱 常用信号的傅里叶变换n n 单边指数信号单边指数信号单边指数信号单边指数信号2023/1/8534.4 非周期信号的频谱 常用信号的傅里叶变换001t0f(t)2023/1/854f(t)0t4.4 非周期信号的频谱 常用信号的傅里叶变换0n n

32、双边指数信号双边指数信号双边指数信号双边指数信号2023/1/855物理意义：在时域中变化异常剧烈物理意义：在时域中变化异常剧烈物理意义：在时域中变化异常剧烈物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的的冲激函数包含幅度相等的的冲激函数包含幅度相等的的冲激函数包含幅度相等的所有频所有频所有频所有频率分量率分量率分量率分量。因此，这种频谱常称为。因此，这种频谱常称为。因此，这种频谱常称为。因此，这种频谱常称为“均匀谱均匀谱均匀谱均匀谱”或或或或“白色谱白色谱白色谱白色谱”4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换n n 单位冲激函数单位冲激函数单位冲激函数单位冲激函数时域内的无限窄

33、时域内的无限窄频域内的无限宽频域内的无限宽2023/1/8564.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换时域内的无限宽时域内的无限宽频域内的无限窄频域内的无限窄2023/1/8574.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换n 单位冲激函数导数的频谱单位冲激函数导数的频谱单位冲激函数导数的频谱单位冲激函数导数的频谱2023/1/8584.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换n n 符号函数的频谱符号函数的频谱符号函数的频谱符号函数的频谱sgnsgn函数不满足绝对可积条件，函数不满足绝对可积条件，函数不满足绝对可积条件，函数不满足绝对可积条件，但它可以看作是但它可以看作是但它可以看作

34、是但它可以看作是奇双边指数函奇双边指数函奇双边指数函奇双边指数函数数数数f f2 2(t t)当当当当 00时的极限。时的极限。时的极限。时的极限。2023/1/8594.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换2023/1/8604.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换n n 单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号2023/1/861傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质p线性线性p奇偶性奇偶性p对称性对称性p尺度变换尺度变换p时移特性时移特性p卷积定理卷积定理p时域微分时域微分和积分和积分p频域微分和积分频域微分和积分4.5 傅里叶变换的性质2023/1/862说明：说明：说明

35、：说明：和信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。和信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。和信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。和信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。4.5 傅里叶变换的性质 线性n 线性线性线性线性例：例：例：例：2023/1/863n 奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性4.5 傅里叶变换的性质 奇偶性2023/1/864时域实偶时域实偶频域实偶频域实偶时域实奇时域实奇频域虚奇频域虚奇4.5 傅里叶变换的性质 奇偶性2023/1/865例：求取样函数例：求取样函数例：求取样函数例：求取样函数Sa(Sa(t t)的频谱函数的频谱函数的频谱函数的频谱函数.解：已知解：已知解：已知解：已知

36、根据傅里叶变换的线性性质根据傅里叶变换的线性性质根据傅里叶变换的线性性质根据傅里叶变换的线性性质即即即即4.5 傅里叶变换的性质 对称性n对称性对称性对称性对称性2023/1/866根据傅里叶变换的对称性质，则有根据傅里叶变换的对称性质，则有根据傅里叶变换的对称性质，则有根据傅里叶变换的对称性质，则有即即即即4.5 傅里叶变换的性质 对称性2023/1/867n例：求函数例：求函数例：求函数例：求函数 t t-1 1 的频谱函数的频谱函数的频谱函数的频谱函数.解：已知解：已知解：已知解：已知可得可得可得可得则则则则4.5 傅里叶变换的性质 对称性2023/1/868n尺度变换尺度变换尺度变换尺

37、度变换4.5 傅里叶变换的性质 尺度变换2023/1/8694.5 傅里叶变换的性质 尺度变换2023/1/870n 时移特性时移特性时移特性时移特性4.5 傅里叶变换的性质 时移特性2023/1/871例：求下列所示三脉冲信号的频谱。例：求下列所示三脉冲信号的频谱。例：求下列所示三脉冲信号的频谱。例：求下列所示三脉冲信号的频谱。解：令解：令解：令解：令f f0 0(t t)表示矩形单脉冲信号表示矩形单脉冲信号表示矩形单脉冲信号表示矩形单脉冲信号4.5 傅里叶变换的性质 时移特性2023/1/872其频谱如下：其频谱如下：其频谱如下：其频谱如下：4.5 傅里叶变换的性质 时移特性2023/1/

38、873n 频移特性频移特性频移特性频移特性4.5 傅里叶变换的性质 频移特性2023/1/8744.5 傅里叶变换的性质 频移特性2023/1/875n卷积定理卷积定理卷积定理卷积定理4.5 傅里叶变换的性质 卷积定理卷积特性是傅里叶变换性质之一，在通信系卷积特性是傅里叶变换性质之一，在通信系统和信号处理中占有重要地位，应用最广。统和信号处理中占有重要地位，应用最广。2023/1/876例例例例:已知余弦脉冲信号已知余弦脉冲信号已知余弦脉冲信号已知余弦脉冲信号解：解：解：解：利用卷积定理求其频谱。利用卷积定理求其频谱。利用卷积定理求其频谱。利用卷积定理求其频谱。把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号

39、把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号(t t)与与与与周期余弦信号相乘。周期余弦信号相乘。周期余弦信号相乘。周期余弦信号相乘。4.5 傅里叶变换的性质 卷积定理2023/1/877时域时域时域时域频域频域频域频域4.5 傅里叶变换的性质 卷积定理2023/1/878n 微分特性微分特性微分特性微分特性4.5 傅里叶变换的性质 微分特性2023/1/879n积分特性积分特性积分特性积分特性4.5 傅里叶变换的性质 积分特性2023/1/880解解解解(a)(a)：(b)(b)：n n例：求图所示信号的傅里叶变换例：求图所示信号的傅里叶变

40、换例：求图所示信号的傅里叶变换例：求图所示信号的傅里叶变换4.5 傅里叶变换的性质 积分特性2023/1/881小结：小结：pp非周期信号和周期信号一样，可以分解成非周期信号和周期信号一样，可以分解成非周期信号和周期信号一样，可以分解成非周期信号和周期信号一样，可以分解成许多不同频率的虚指数分量。许多不同频率的虚指数分量。许多不同频率的虚指数分量。许多不同频率的虚指数分量。pp由于非周期信号的周期趋于无限大，基波频率趋于无限小，于是它由于非周期信号的周期趋于无限大，基波频率趋于无限小，于是它由于非周期信号的周期趋于无限大，基波频率趋于无限小，于是它由于非周期信号的周期趋于无限大，基波频率趋于无

41、限小，于是它包包包包含了从零到无限高的所有频率分量含了从零到无限高的所有频率分量含了从零到无限高的所有频率分量含了从零到无限高的所有频率分量。pp由于由于由于由于非周期信号的非周期信号的非周期信号的非周期信号的周期趋于无限大，因此它所包含的周期趋于无限大，因此它所包含的周期趋于无限大，因此它所包含的周期趋于无限大，因此它所包含的各频率分量的幅各频率分量的幅各频率分量的幅各频率分量的幅度趋于零度趋于零度趋于零度趋于零。pp非周期信号的频谱用非周期信号的频谱用非周期信号的频谱用非周期信号的频谱用频谱密度频谱密度频谱密度频谱密度来表示。来表示。来表示。来表示。pp周期周期周期周期信号其频谱为信号其频

42、谱为信号其频谱为信号其频谱为离散离散离散离散谱（谱（谱（谱（傅里叶系数、频谱函数傅里叶系数、频谱函数傅里叶系数、频谱函数傅里叶系数、频谱函数）,非周期非周期非周期非周期信号其信号其信号其信号其频谱为频谱为频谱为频谱为连续连续连续连续谱（谱（谱（谱（傅里叶变换、频谱密度函数傅里叶变换、频谱密度函数傅里叶变换、频谱密度函数傅里叶变换、频谱密度函数）。）。）。）。pp周期信号与非周期信号，傅里叶系数与傅里叶变换，离散谱与连续谱，周期信号与非周期信号，傅里叶系数与傅里叶变换，离散谱与连续谱，周期信号与非周期信号，傅里叶系数与傅里叶变换，离散谱与连续谱，周期信号与非周期信号，傅里叶系数与傅里叶变换，离散

43、谱与连续谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。在一定条件下可以互相转化并统一起来。在一定条件下可以互相转化并统一起来。在一定条件下可以互相转化并统一起来。4.5 傅里叶变换的性质2023/1/882n n 一般非周期信号（能量信号）的一般非周期信号（能量信号）的一般非周期信号（能量信号）的一般非周期信号（能量信号）的ParsevalParseval定理定理定理定理4.7 周期信号的傅里叶变换时域和频域的能量关系2023/1/883ParsevalParseval定理：非周期信号在时域中求得的信号能量等于在定理：非周期信号在时域中求得的信号能量等于在定理：非周期信号在时域中求得的信号能量等于在

44、定理：非周期信号在时域中求得的信号能量等于在频域中求得的信号能量。频域中求得的信号能量。频域中求得的信号能量。频域中求得的信号能量。4.7 周期信号的傅里叶变换时域和频域的能量关系2023/1/884周期信号周期信号非周期信号非周期信号周周期期无无穷穷大大求求和和变变求求积积分分n 周期信号周期信号周期信号周期信号不满足绝对可积条件不满足绝对可积条件不满足绝对可积条件不满足绝对可积条件，但在，但在，但在，但在允许冲激函允许冲激函允许冲激函允许冲激函数存在并认为它有意义的前提下数存在并认为它有意义的前提下数存在并认为它有意义的前提下数存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成，绝对可积条件就成

45、，绝对可积条件就成，绝对可积条件就成为不必要的限制为不必要的限制为不必要的限制为不必要的限制，也就有周期信号的傅里叶变换。，也就有周期信号的傅里叶变换。，也就有周期信号的傅里叶变换。，也就有周期信号的傅里叶变换。目的：目的：目的：目的：把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使使使使傅里叶变换得到广泛应用傅里叶变换得到广泛应用傅里叶变换得到广泛应用傅里叶变换得到广泛应用。4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的频谱傅里叶级数傅里叶级数傅里叶变换傅里叶变换FSFTFTFS

46、2023/1/8854.7 周期信号的傅里叶变换常见周期信号的傅里叶变换虚指数信号虚指数信号虚指数信号虚指数信号同理同理:虚指数信号的频谱密度虚指数信号的频谱密度虚指数信号的频谱密度虚指数信号的频谱密度2023/1/886余弦信号余弦信号及其及其频谱密度频谱密度4.7 周期信号的傅里叶变换 常见周期信号的傅里叶变换2023/1/887正弦信号正弦信号及其及其频谱密度频谱密度4.7 周期信号的傅里叶变换 常见周期信号的傅里叶变换2023/1/888令周期信号令周期信号令周期信号令周期信号f f(t t)的周期为的周期为的周期为的周期为T T，角频率为，角频率为，角频率为，角频率为=2=2 f f

47、4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换表示在无表示在无穷小的频穷小的频带范围内带范围内（即谐频（即谐频点）取得点）取得了无限大了无限大的频谱密的频谱密度值。度值。2023/1/8894.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换例：求周期为例：求周期为例：求周期为例：求周期为T T，宽度为，宽度为，宽度为，宽度为 的矩形脉冲信号的矩形脉冲信号的矩形脉冲信号的矩形脉冲信号P PT T(t t)的频谱密度函数的频谱密度函数的频谱密度函数的频谱密度函数解：解：解：解：P PT T(t t)的傅里叶系数：的傅里叶系数：的傅里叶系数：的傅里叶系数：2023/1/890代入到上式中，得

48、代入到上式中，得代入到上式中，得代入到上式中，得周期矩形脉冲的傅里叶变换周期矩形脉冲的傅里叶变换由位于由位于的冲激函数所组成。的冲激函数所组成。周期矩形脉冲的傅里叶变换周期矩形脉冲的傅里叶变换是频谱密度，其在的是频谱密度，其在的幅度是：幅度是：4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换2023/1/891例例例例.求求求求 T T(t t)的的的的傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换。可见，在可见，在可见，在可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换周期单位冲激序列的傅里叶变换周期单位冲激序列的傅里叶变换周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于中只包含位于中只包含位于中只包含位于 =0

49、,=0,2,2,，n n,频率处的冲激函数，其强度大小频率处的冲激函数，其强度大小频率处的冲激函数，其强度大小频率处的冲激函数，其强度大小相等，均等于相等，均等于相等，均等于相等，均等于。4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换2023/1/892FTFS0 t -2T T 0 T 2T t 4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换FT2023/1/893例例例例4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换2023/1/8944.8 LTI系统的频域分析 基本概念LTILTILTILTI系统的全响应零输入响应零状态响应系统的全响应零输入响应零状态响应系统的全响应

50、零输入响应零状态响应系统的全响应零输入响应零状态响应本节只研究零状态响应本节只研究零状态响应本节只研究零状态响应本节只研究零状态响应n n时域分析法时域分析法时域分析法时域分析法即将即将即将即将分解为无限个分解为无限个分解为无限个分解为无限个之叠加。之叠加。之叠加。之叠加。即零状态响应分解为所有被激励加权的即零状态响应分解为所有被激励加权的即零状态响应分解为所有被激励加权的即零状态响应分解为所有被激励加权的之叠加。之叠加。之叠加。之叠加。时域方法缺点：时域方法缺点：时域方法缺点：时域方法缺点：计算复杂计算复杂计算复杂计算复杂。2023/1/895虚指数信号虚指数信号虚指数信号虚指数信号e ej