理论力学第12章课件.ppt
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1、第十二章第十二章动动 能能 定定 理理 12-1 12-1 力的功力的功 12-2 12-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能 12-3 12-3 动能定理动能定理 12-4 12-4 功率功率 功率方程功率方程 机械效率机械效率 12-5 12-5 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律 12-6 12-6 普遍定理的综合应用举例普遍定理的综合应用举例第十二章第十二章 动能定理动能定理 12-1 力的功力的功常力在直线运动中的功常力在直线运动中的功 质点质点M在常力在常力F 作用作用下沿直线走过一段路程下沿直线走过一段路程s,力,力F在这段路程内所积在这段路程内所积累的效应
2、累的效应用用力的功力的功来度来度量,定义为:量,定义为:代数量代数量单位:单位:J(焦耳)(焦耳)其中,其中,为力与直线位移方向之间的夹角为力与直线位移方向之间的夹角元功:元功:在直角坐标系中:在直角坐标系中:变力在曲线运动中的功变力在曲线运动中的功矢量形式:矢量形式:1.1.重力的功重力的功质点:质点:几种常见力的功几种常见力的功重力作功为:重力作功为:重力作功仅与质点运动开始和末了位移重力作功仅与质点运动开始和末了位移的高度差有关,与运动轨迹的形状无关的高度差有关,与运动轨迹的形状无关重力在直角坐标轴上的投影为:重力在直角坐标轴上的投影为:质点系:质点系:由质心坐标公式由质心坐标公式,有有
3、:重力的功只与质心的始、末位置有关,与质重力的功只与质心的始、末位置有关,与质心的运动轨迹形状路径无关。心的运动轨迹形状路径无关。全部重力作功之和为:全部重力作功之和为:2.2.弹性力的功弹性力的功k弹簧刚度系数弹簧刚度系数(N/m)物体受到弹性力的作用,物体受到弹性力的作用,作用点作用点A的轨迹为的轨迹为在弹性极限内,弹性力的大小:在弹性极限内,弹性力的大小:当弹簧伸长时,力与当弹簧伸长时,力与 的方向相反;的方向相反;当弹簧被压缩时,力与当弹簧被压缩时,力与 的方向相同;的方向相同;弹性力的功为:弹性力的功为:得得即即 弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的弹性力作的功只与弹簧在初始和末了
4、位置的变形量有关,与力作用点的轨迹形状无关变形量有关,与力作用点的轨迹形状无关初变形初变形末变形末变形因为:因为:若若 常量,则:常量,则:3.3.定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功由于:由于:从角从角 转动到角转动到角 过程中力过程中力 的功的功为为力力F在切线上的投影为:在切线上的投影为:力力F的元功为:的元功为:4.4.任意运动刚体上力系的任意运动刚体上力系的功功 无论刚体作何运动,力系的功总等于力系中所无论刚体作何运动,力系的功总等于力系中所有力作功的代数和。有力作功的代数和。对刚体而言,力系的简化和等效原理对动力学对刚体而言,力系的简化和等效原理对动力学也适用。将力系向
5、刚体上任一点简化,一般简化为也适用。将力系向刚体上任一点简化,一般简化为一个力和一个力偶。由力系的等效原理,这个力和一个力和一个力偶。由力系的等效原理,这个力和力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和,力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和,有:有:平面运动刚体的元功为:平面运动刚体的元功为:当质心由当质心由 ,转角由转角由 时时,力系的功力系的功为:为:已知已知:均质圆盘均质圆盘R,m,F=常量常量,且很大且很大,使圆盘向使圆盘向右运动右运动,初静止初静止。求求:盘心盘心C走过走过s路程时力的功。路程时力的功。例例12-112-1 F 重力,摩擦力,法向约束力都不作功,只重力,摩擦力,
6、法向约束力都不作功,只有力有力F作功,将力作功,将力F向质心简化,得:向质心简化,得:解:解:CFS P FNF一个力一个力 ,一个力偶,一个力偶总功为:总功为:且:且:12-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能1.1.质点的动能质点的动能标量,恒为正值标量,恒为正值动能和动量都是表征机械运动的量动能和动量都是表征机械运动的量2.2.质点系的动能质点系的动能单位:单位:J(焦耳)(焦耳)(1 1)平移刚体的动能)平移刚体的动能 即:即:(2 2)定轴转动刚体的动能)定轴转动刚体的动能 即:即:平移刚体各点的速度都相同,可以质心速度平移刚体各点的速度都相同,可以质心速度为代表,于是平移刚体的
7、动能为:为代表,于是平移刚体的动能为:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和与绕质心转动的动能之和.速度瞬心为速度瞬心为P(3 3)平面运动刚体的动能)平面运动刚体的动能 对于任意质点系(可以是非刚体)的任意运动,对于任意质点系(可以是非刚体)的任意运动,质点系在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动质点系在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动能与相对于质心平移坐标系运动的动能之和。能与相对于质心平移坐标系运动的动能之和。质心为质心为C均质圆盘在地面上均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能作纯滚动时的动能均质圆盘在平板上均质圆盘在平板上作纯滚
8、动时的动能作纯滚动时的动能 例例 均质细杆长为均质细杆长为l,质量为,质量为m,上端,上端B靠在光滑靠在光滑的墙上,下端的墙上,下端A用铰与质量为用铰与质量为M半径为半径为R且放在粗糙且放在粗糙地面上的圆柱中心相连,在图示位置圆柱作纯滚动,地面上的圆柱中心相连,在图示位置圆柱作纯滚动,中心速度为中心速度为 ,杆与水平线的夹角,杆与水平线的夹角 ,求该瞬时,求该瞬时系统的动能。系统的动能。解:解:P 为为AB杆的瞬心杆的瞬心 例例如图滑块如图滑块A以速度以速度 在滑道内滑在滑道内滑动,其上铰接一质量为动,其上铰接一质量为m,长为,长为 l 的均的均质杆质杆AB,杆以角速度,杆以角速度 绕绕A转动
9、。试转动。试求当杆求当杆AB与铅垂线的夹角为与铅垂线的夹角为 时,杆时,杆的动能。的动能。解:解:AB杆作平面运动,其质心杆作平面运动,其质心C的速度为的速度为速度合成矢量图如图,由余弦定速度合成矢量图如图,由余弦定理有:理有:则杆的动能:则杆的动能:质点动能定理的微分形式质点动能定理的微分形式12-3 12-3 动能定理动能定理1.1.质点的动能定理质点的动能定理将将 两端点乘两端点乘 ,得:,得:由于由于 ,于是有:,于是有:由于由于质点动能的增量质点动能的增量等于作用在质点等于作用在质点上力的元功上力的元功 质点动能定理的积分形式质点动能定理的积分形式 在质点运动的某个过程中在质点运动的
10、某个过程中,质点动能的改质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功变量等于作用于质点的力作的功.对对 积分后可得到积分后可得到力作正功,质点动能增加;力作正功,质点动能增加;力作负功,质点动能减小。力作负功,质点动能减小。质点系动能的增量,等于作用于质点系全质点系动能的增量,等于作用于质点系全部力所作的元功的和部力所作的元功的和 由由即即 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式 质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式 质点系在某一段运动过程中质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动起点和终点的动能改变量能改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程等于作用于质点系的全部力在这段
11、过程中所作功的和中所作功的和2.2.质点系的动能定理质点系的动能定理对上式积分后得:对上式积分后得:光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔索等约束的约束力作功等于零长的柔索等约束的约束力作功等于零.约束力作功等于零的约束为约束力作功等于零的约束为理想约束理想约束.3.3.理想约束及内力的功理想约束及内力的功内力作功之和不一定等于零内力作功之和不一定等于零.当轮子在固定面只滚不滑时,当轮子在固定面只滚不滑时,接触点为瞬心,滑动摩擦力作用接触点为瞬心,滑动摩擦力作用点没动,此时的滑动摩擦力也不点没动,此时的滑动摩擦力也不作功。作功。不计滚动摩阻时,纯
12、滚动的不计滚动摩阻时,纯滚动的接触点也是理想约束接触点也是理想约束刚体所有内力作功之和等于零刚体所有内力作功之和等于零.理想约束的约束力不作理想约束的约束力不作功,而质点系的内力作功,而质点系的内力作功之和并不一定等于零功之和并不一定等于零例例两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示;两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示;AB 杆质杆质量是量是OA杆质量的两倍,各处摩擦不计,如机构在图示位杆质量的两倍,各处摩擦不计,如机构在图示位置从静止释放,求当置从静止释放,求当OA杆转到铅垂位置时,杆转到铅垂位置时,AB杆杆B 端端的速度。的速度。解:解:取整个系统为研究对象取整个系统为研究对象OA杆铅垂时杆铅垂
13、时,AB杆瞬时平移。杆瞬时平移。B端速度为端速度为v,且,且 已知:轮已知:轮O:R1 ,m1 1 ,质量分布在轮缘上质量分布在轮缘上;均质轮均质轮C :R2 2 ,m2 2 ,纯滚动纯滚动,初始静止初始静止 ;,M 为常力偶。为常力偶。求求:轮心轮心C 走过路程走过路程s 时的速度和加速度时的速度和加速度例例12-312-3轮轮C与轮与轮O共同作为一个质点系共同作为一个质点系解解:主动力所作的功为:主动力所作的功为:质点系的动能为:质点系的动能为:由于:由于:其中:其中:式式(a)是函数关系式,两端对是函数关系式,两端对t 求导求导,得得 例例如图,重物如图,重物A和和B通过动滑轮通过动滑轮
14、D和定和定滑轮滑轮C而运动。如果重物而运动。如果重物A开始时向下的速开始时向下的速度为度为v0,试问重物,试问重物A下落多大距离,其速度下落多大距离,其速度增大一倍。设重物增大一倍。设重物A和和B的质量均为的质量均为m,滑,滑轮轮D和和C的质量均为的质量均为M,半径均为,半径均为r且为均质且为均质圆盘。重物圆盘。重物B与水平面的动摩擦因数为与水平面的动摩擦因数为f,绳索质量忽略不计且不能伸长。绳索质量忽略不计且不能伸长。解:取系统分析,则运动初瞬时的动能为解:取系统分析,则运动初瞬时的动能为速度增大一倍时的动能为速度增大一倍时的动能为系统受力如图所示,设重物系统受力如图所示,设重物A下降下降h
15、高度时,其速度增大一倍。在此过高度时,其速度增大一倍。在此过程中,所有的力所作的功为程中,所有的力所作的功为由由 得得解得解得单位时间力所作的功单位时间力所作的功即即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积功率等于切向力与力作用点速度的乘积.由由 ,得得作用在转动刚体上的力的功率为:作用在转动刚体上的力的功率为:单位单位W(瓦特)瓦特),1,1W=1=1J/S 12-4 12-4 功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率 1.1.功率功率 即质点系动能对时间的一阶导数即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用等于作用于质点于质点 系的所有力的功率的代数和系的所有力的功率的代数和.或或2.2.功
16、率方程功率方程 功率方程功率方程 功率方程常用来研究机器在工作时能量的变功率方程常用来研究机器在工作时能量的变化和转化的问题。化和转化的问题。机械效率:机械效率:有效功率:有效功率:多级传动系统:多级传动系统:3.3.机械效率机械效率是评定机器质量优劣的重要指标之一,是评定机器质量优劣的重要指标之一,一般情况下一般情况下 例例12-8 12-8 求求:切削力切削力F的最大值。的最大值。已知已知:解解:当当时,时,当当时,时,如果物体在力场内运动,作用于物体的力所作如果物体在力场内运动,作用于物体的力所作的功只与力作用点的始、末位置有关的功只与力作用点的始、末位置有关,而与该点的轨而与该点的轨迹
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