阶常系数线性非齐次方程.ppt

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1、8.3.5 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一、一、f(x)=Pm(x)el lx 型型二、二、f(x)=el lx Pl(x)cos w w x+Pn(x)sin w w x 型型特解形式特解形式二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 是形如 ypyqyf(x)的方程，其中p、q 是常数二阶常系数非齐次线性微分方程：二阶常系数非齐次线性微分方程通解的结构：设齐次方程ypyqy0的通解为yY(x)，非齐次方程ypyqyf(x)的一个特解为yy*(x)，则非齐次方程的通解为yY(x)y*(x)一、一

2、、f(x)=Pm(x)el lx 型型 下面求方程ypyqyPm(x)elx，的特解y*，其中Pm(x)是m次多项式 可以猜想，方程的特解y*应具有与Pm(x)elx类似的函数形式 设方程ypyqyPm(x)elx的特解形式为y*Q(x)elx，代入方程得Q(x)+2lQ(x)+l2 Q(x)elx pQ(x)+lQ(x)elx+qQ(x)elx Q(x)(2lp)Q(x)(l2plq)Q(x)elxPm(x)elx，于是有等式Q(x)(2lp)Q(x)(l2plq)Q(x)Pm(x)设方程ypyqyPm(x)elx的特解形式为y*Q(x)elx，则得等式Q(x)(2lp)Q(x)(l2plq

3、)Q(x)Pm(x)(1)如果l 不是特征方程 r2prq0 的根，则l2plq0要使上式成立，Q(x)应设为m 次多项式：Q m(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm，通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1，bm，并得所求特解 y*Qm(x)elx 设方程ypyqyPm(x)elx的特解形式为y*Q(x)elx，则得等式Q(x)(2lp)Q(x)(l2plq)Q(x)Pm(x)(1)如果l 不是特征方程 r2prq0 的根，则y*Qm(x)elx (2)如果l 是特征方程 r2prq0 的单根，则l2plq0，但2lp0，要使等式Q(x)(2lp)Q(x)(l2plq)Q(x)Pm(

4、x)成立，Q(x)应设为m1 次多项式：Q(x)xQm(x)，Q m(x)b0 xm b1xm1 bm1xbm，通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1，bm，并得所求特解 y*xQm(x)elx 设方程ypyqyPm(x)elx的特解形式为y*Q(x)elx，则得等式Q(x)(2lp)Q(x)(l2plq)Q(x)Pm(x)(1)如果l 不是特征方程 r2prq0 的根，则y*Qm(x)elx (2)如果l 是特征方程 r2prq0 的单根，则y*xQm(x)elx (3)如果l 是特征方程 r2prq0 的重根，则l2plq 0，2lp0，要使等式Q(x)(2lp)Q(x)(l2plq

5、)Q(x)Pm(x)成立，Q(x)应设为m2 次多项式：Q(x)x2Qm(x)，Q m(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm，通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1，bm，并得所求特解 y*x2Q m(x)elx 设方程ypyqyPm(x)elx的特解形式为y*Q(x)elx，则得等式Q(x)(2lp)Q(x)(l2plq)Q(x)Pm(x)(1)如果l 不是特征方程 r2prq0 的根，则y*Qm(x)elx (2)如果l 是特征方程 r2prq0 的单根，则y*xQm(x)elx (3)如果l 是特征方程 r2prq0 的重根，则 y*x2Q m(x)elx 二阶常系数非齐次线性微

6、分方程 ypyqy Pm(x)elx有形如y*xk Qm(x)elx的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式，而k 按l 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2特解形式：解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且f(x)是Pm(x)elx 型(其中Pm(x)3x1，l0)例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 与所给方程对应的齐次方程为y2y3y0，它的特征方程为r22r 30 把它代入所给方程，得3b0 x2b03b13x1，比较两端x同次幂的系数，得 由于l0不是特征方程的根，所以应设特解为y*b0 xb1 得所给方程的一个特解为 解 这里f(x

7、)是Pm(x)elx 型(其中Pm(x)x，l2)例2 求微分方程y5y6yxe2x 的通解 所给方程对应的齐次方程为y5y6y0，特征方程为：r25r 60，特征方程的根为：r12，r23齐次方程的通解为：YC1e2xC2e3x 把它代入所给方程，得2b0 x2b0b1x 比较两端 x 同次幂的系数，得 求得所给方程的一个特解为 由于l 2 是特征方程的单 根，所以应设方程的特解为y*x(b0 xb1)e 2x 从而所给方程的通解为 二、二、f(x)=el lx Pl(x)cos w w x+Pn(x)sin w w x 型型 我们有如下结论：如果f(x)elx Pl(x)cos w xPn

8、(x)sin w x，则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)的特解可设为y*xk el xR(1)m(x)cos w xR(2)m(x)sin w x，其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式，mmaxl，n，而k 按liw(或liw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1特解形式：例3 求微分方程yyxcos 2x的一个特解 解 f(x)是elx Pl(x)cos w xPn(x)sin w x 型的，其中l0，w2，Pl(x)x，Pn(x)0 与所给方程对应的齐次方程为 yy0，它的特征方程为 r210liw2i 不是特征方程的根，所以应设特解为于是求得一个特解

9、为y*(axb)cos 2x(cxd)sin 2x把它代入所给方程，得(3ax3b4c)cos 2x(3cx3d4a)sin 2xxcos 2x比较两端同类项的系数，得y*xk el xR(1)m(x)cos w xR(2)m(x)sin w x，例 4方程 y+4y=x+1+sinx 的通解.解自由项 f(x)=x+1+sinx可以看成 f1(x)=x+1 和 f2(x)=sin x 之和，y+4y=x+1，y+4y=sin x.和(1)(2)易求得方程(1)的特解为方程（2）的特解为的特解.所以分别求方程所以原方程的特解为原方程所对应的线性齐次方程为 y+4y=0，其通解为Y=C1cos 2x+C2sin 2x，故原方程的通解为