热力学统计.ppt

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1、主讲教师：程培红主讲教师：程培红短号：短号：669959 669959 长号：长号：1348648995913486489959Email:Email:理论物理导论理论物理导论I理论物理导论理论物理导论II 固体物理固体物理 理论物理导论理论物理导论I统计物理、量子力学统计物理、量子力学半导体物理半导体物理无线电电子技术、计算技术、自动控制技术无线电电子技术、计算技术、自动控制技术.集成电路集成电路微电子微电子光电子光电子光电光电显示显示太阳能太阳能光伏光伏半导体半导体照明照明光传感光传感光纤光纤通讯通讯光电子领域光电子领域理论物理导论理论物理导论I统计物理基础统计物理基础 6课时课时量子力学

2、量子力学 54-58课时课时经典物理学经典物理学宏观物理的机械运动：宏观物理的机械运动：牛顿牛顿力学电磁现象：电磁现象：麦克斯韦麦克斯韦方程光现象：光现象：光的波动理论热现象：热现象：热力学与统计物理学热力学与统计物理学 从广义上来说，统计物理学是从物质微观结构和相互从广义上来说，统计物理学是从物质微观结构和相互作用的认识出发，采用概率统计的方法来说明或预言由大作用的认识出发，采用概率统计的方法来说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理性质量粒子组成的宏观物体的物理性质。分子动理论的主要特点是分子动理论的主要特点是考虑到分子与分子间、分子考虑到分子与分子间、分子与器壁间频繁的碰撞，考虑到分子间

3、有相互作用力，利用与器壁间频繁的碰撞，考虑到分子间有相互作用力，利用力学定律和概率论来讨论分子运动分子碰撞的详情。力学定律和概率论来讨论分子运动分子碰撞的详情。它可它可描述气体由非平衡态转入平衡态的过程。描述气体由非平衡态转入平衡态的过程。气体动理论在处理复杂的非平衡态系统时，都要加上气体动理论在处理复杂的非平衡态系统时，都要加上一些近似假设。一些近似假设。由于微观模型细致程度不同，理论的近似由于微观模型细致程度不同，理论的近似程度也就不同，对于同一问题可给出不同深度的解释。微程度也就不同，对于同一问题可给出不同深度的解释。微观模型考虑得越细致，越接近真实，数学处理也越复杂。观模型考虑得越细致

4、，越接近真实，数学处理也越复杂。统计物理统计物理学包括：气体动理论、统计力学、涨落现象理论。学包括：气体动理论、统计力学、涨落现象理论。对于初学者，对于初学者，在某些问题（特别是一些非平衡态问题）在某些问题（特别是一些非平衡态问题）中可暂不去追究理论的十分严密与结果的十分精确。中可暂不去追究理论的十分严密与结果的十分精确。重点重点应掌握基本物理概念。应掌握基本物理概念。统计热力学有两个基本出发点：统计热力学有两个基本出发点：一是：宏观物质由大量的粒子构成；一是：宏观物质由大量的粒子构成；二是：热现象是大量粒子运动的整体表现。二是：热现象是大量粒子运动的整体表现。粒子：泛指分子、离子、电子、光子

5、等微观粒子粒子：泛指分子、离子、电子、光子等微观粒子宏观物质与微观粒子的本质性差别：宏观物质与微观粒子的本质性差别：有无温度有无温度宏观物质具有温度，不同温度的物质间有热传递宏观物质具有温度，不同温度的物质间有热传递与温度有关的宏观现象与温度有关的宏观现象热现象热现象微观粒子没有温度的概念，粒子通过相互碰撞实微观粒子没有温度的概念，粒子通过相互碰撞实现能量传递，这是一种现能量传递，这是一种力学现象力学现象 由于热现象是大量微观粒子运动的整体表现，由于热现象是大量微观粒子运动的整体表现，所以，与热现象有关的宏观性质可通过对相应的所以，与热现象有关的宏观性质可通过对相应的微观粒子运动规律的研究结果

6、进行统计平均获得微观粒子运动规律的研究结果进行统计平均获得18751875年，克劳修斯提出：气体分子均方速度、年，克劳修斯提出：气体分子均方速度、平均自由程和分子碰撞数等重要概念；平均自由程和分子碰撞数等重要概念；18601860年，麦克斯韦导出分子速度分布定律；年，麦克斯韦导出分子速度分布定律；18681868年，玻尔兹曼将重力场引入分子速度分布年，玻尔兹曼将重力场引入分子速度分布定律，得到熵的统计意义，形成定律，得到熵的统计意义，形成麦克斯韦麦克斯韦-玻尔玻尔兹曼统计法兹曼统计法，这是建立在经典力学基础上的，亦，这是建立在经典力学基础上的，亦称称经典统计经典统计；主要用于分子间无相互作用的

7、体系；主要用于分子间无相互作用的体系如低压气体，稀溶液的溶质等；如低压气体，稀溶液的溶质等；发展简史：发展简史：气体分子运动学说为起点气体分子运动学说为起点 2020世纪初，诞生了量子力学，微观粒子的运动世纪初，诞生了量子力学，微观粒子的运动用波函数或量子态描述，开始形成量子统计法用波函数或量子态描述，开始形成量子统计法19001900年，普朗克用经典统计法推导黑体辐射方程年，普朗克用经典统计法推导黑体辐射方程时，对谐振子的能量采用量子化处理获得成功；时，对谐振子的能量采用量子化处理获得成功；19051905年，爱因斯坦提出光子学说，年，爱因斯坦提出光子学说，19241924年，玻色年，玻色将

8、黑体视为光子气体重导普朗克的辐射方程也获将黑体视为光子气体重导普朗克的辐射方程也获得成功，在此基础上，爱因斯坦将其进一步推广得成功，在此基础上，爱因斯坦将其进一步推广发展成为发展成为玻色玻色-爱因斯坦量子统计法爱因斯坦量子统计法1926年，费米发现，涉及到电子、质子和中子年，费米发现，涉及到电子、质子和中子等的某些物质体系，不能应用玻色等的某些物质体系，不能应用玻色-爱因斯坦统爱因斯坦统计，其量子态受到泡利不相容原理制约，费米和计，其量子态受到泡利不相容原理制约，费米和狄拉克提出另一种量子统计法狄拉克提出另一种量子统计法费米费米-狄拉克狄拉克统计统计。经典统计和量子统计都是根据概率论，以微观粒

9、经典统计和量子统计都是根据概率论，以微观粒子为统计单位进行统计计算，两者的不同在于所子为统计单位进行统计计算，两者的不同在于所选用的粒子运动（力学）模型不同。选用的粒子运动（力学）模型不同。统计热力学中体系的分类统计热力学中体系的分类1.独立子系与相倚子系：独立子系与相倚子系：2.近独立粒子体系：粒子间除可以产生弹性近独立粒子体系：粒子间除可以产生弹性碰撞碰撞3.外，没有任何相互作用。如理想气体外，没有任何相互作用。如理想气体4.相倚粒子体系：粒子间存在不可忽视的相相倚粒子体系：粒子间存在不可忽视的相互作互作5.用。如实际气体用。如实际气体2.定域子系与离域子系：定域子系与离域子系：定域粒子体

10、系：粒子只能在空间某个固定的位定域粒子体系：粒子只能在空间某个固定的位 置的附近作小范围运动。如晶体置的附近作小范围运动。如晶体 离域粒子体系：粒子可以在整个空间运动，且离域粒子体系：粒子可以在整个空间运动，且 没有确定的平衡点。如理想气体为离域独立子没有确定的平衡点。如理想气体为离域独立子 体系，而实际气体为离域相倚子体系。体系，而实际气体为离域相倚子体系。3.玻色子体系和费米子体系玻色子体系和费米子体系 玻色子：不受泡利原理限制的量子气体（光玻色子：不受泡利原理限制的量子气体（光 子及含电子、中子和质子的总数为偶数的分子子及含电子、中子和质子的总数为偶数的分子 或原子）或原子）费米子：受泡

11、利原理限制的量子气体费米子：受泡利原理限制的量子气体统计热力学的基本假设和统计热力学的基本假设和 热力学平衡体系的统计规律性热力学平衡体系的统计规律性 基本假设：基本假设：1.确定的宏观状态对应着确定的宏观状态对应着数目巨大数目巨大的微观状态的微观状态 且各微观状态按一定的几率出现；且各微观状态按一定的几率出现；注意：虽然数目巨大，但是有限的，因为，只注意：虽然数目巨大，但是有限的，因为，只有那些符合宏观状态条件限制的才可能出现。有那些符合宏观状态条件限制的才可能出现。微观状态的变化具有统计性，故出现的概率一定微观状态的变化具有统计性，故出现的概率一定2.2.宏观力学量是各微观状态相应微观量的

12、宏观力学量是各微观状态相应微观量的统计统计 平均平均值。值。力学量力学量非力学量非力学量宏观宏观性质性质能在分子水平上找到相应微能在分子水平上找到相应微观量的性质。能量、密度等观量的性质。能量、密度等没有明显对应的微观量。没有明显对应的微观量。温度、熵、自由能等温度、熵、自由能等若力学量（若力学量（B）对应微观状态对应微观状态i，其相应的微观其相应的微观量为量为Bi，则则。表示统计平均，表示统计平均，Pi 是微观是微观状态状态I出现的数学出现的数学概率，概率，。对非力学量，在力学量计算的基础上，与热力对非力学量，在力学量计算的基础上，与热力学结果比较而得。学结果比较而得。由于由于Pi 的多样性

13、，一般的多样性，一般Bi，而是在而是在附近波动附近波动涨落涨落，程度以方差，程度以方差表示：表示：对宏观力学量，对宏观力学量，很小，涨落不明显。很小，涨落不明显。3.3.孤立体系中每一个微观状态出现的孤立体系中每一个微观状态出现的几率相等几率相等。统计力学早在统计力学早在1818世纪中期便已建立，最早所用世纪中期便已建立，最早所用的是经典统计方法。的是经典统计方法。19001900年普朗克提出了量子论，引进了能量量子年普朗克提出了量子论，引进了能量量子化的概念，从而发展成为量子统计力学，由此产生化的概念，从而发展成为量子统计力学，由此产生了玻色爱因斯坦统计和费米狄拉克统计，在经了玻色爱因斯坦统

14、计和费米狄拉克统计，在经典统计发展成为量子统计的过程中，玻尔兹曼作了典统计发展成为量子统计的过程中，玻尔兹曼作了大量的贡献。大量的贡献。统计方法分类统计方法分类总总 结结统计系统的分类统计系统的分类独立子系统与相依子系统独立子系统与相依子系统独立子系统独立子系统相依子系统相依子系统（非独立）（非独立）分类分类项目项目粒子间的相粒子间的相互作用互作用忽略忽略不可忽略不可忽略体系内能体系内能实例实例理想气体理想气体真实气体、液体真实气体、液体定位（定域子）系统与非定位（离域子）系统定位（定域子）系统与非定位（离域子）系统定域子系统定域子系统（可辨粒子系统）（可辨粒子系统）离域子系统离域子系统（全同

15、粒子系统）（全同粒子系统）分类分类项目项目粒子是否可粒子是否可以分辨以分辨可分辩可分辩不可分辩不可分辩实例实例晶体晶体气体、液体气体、液体例如：例如：理想气体就是一个独立的离域子系统。理想气体就是一个独立的离域子系统。本章主要介绍属于经典统计法的麦克斯韦玻本章主要介绍属于经典统计法的麦克斯韦玻尔兹曼统计尔兹曼统计.不同的统计不同的统计系统系统采用不同的统计采用不同的统计方法方法。等同性修正等同性修正不可辩粒子不可辩粒子 （理想气体）（理想气体）经典统计经典统计 （M MB B）可辩粒子系统可辩粒子系统 量子统计量子统计（B BE E）和（和（F FD D）不可辩粒子系统不可辩粒子系统 光子光子

16、（不受（不受PauliPauli禁令约束）禁令约束）电子、中子电子、中子（受受PauliPauli禁令约束）禁令约束）.对单个小球来说，小球对单个小球来说，小球落在哪个槽中是完全偶然的，落在哪个槽中是完全偶然的，但对大量的这种小球，落在但对大量的这种小球，落在各个狭槽内的分布规律则是各个狭槽内的分布规律则是一定的。一定的。1 1 气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律伽尔顿板实验伽尔顿板实验有有一一排排竖竖直直平平板板，上上部部钉钉上上一一排排排排等等间间距距的的铁铁钉钉，下下部部用用隔隔板板隔隔成成等等宽宽的狭槽，板顶装有入口。的狭槽，板顶装有入口。若重复做实验甚至用同一小若重复做实验甚至

17、用同一小球投入漏斗球投入漏斗N N次（次（N N ），），其分布曲线都相同。其分布曲线都相同。统计规律有以下特点统计规律有以下特点:（1）只对大量偶然的事件）只对大量偶然的事件才有意义才有意义.（2）它是不同于个体规律）它是不同于个体规律的整体规律的整体规律(量变到质变量变到质变).统计平均值统计平均值对某一物理量对某一物理量M进行测量进行测量附附:统计规律的基本概念统计规律的基本概念统计规律性统计规律性:(statisticalregularity)大量偶然性从整体上所大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。体现出来的必然性。例例例例:伽尔顿板实验、扔硬币伽尔顿板实验、扔硬币伽尔顿板实验、扔硬

18、币伽尔顿板实验、扔硬币 1-5 麦克斯韦气体分子速率分布定律麦克斯韦气体分子速率分布定律算术平均值为算术平均值为统计平均值统计平均值算术平均值算术平均值出现出现Mi的几率的几率(概率概率)22统计规律的基本概念统计规律的基本概念归一化条件归一化条件:vM的的统计平均值统计平均值:一切可能状态的几率一切可能状态的几率Wi与与相应的相应的M i值乘积的总和。值乘积的总和。一一.分子运动的图景分子运动的图景1.单个分子速度单个分子速度(v)的大小的大小方向瞬息万变方向瞬息万变;2.大量分子某时刻速度大量分子某时刻速度(v)的分布成为必然的分布成为必然;分子速率分布分子速率分布分子速率分布分子速率分布

19、(理想气体平衡态时理想气体平衡态时)23算术平均值为算术平均值为统计平均值统计平均值算术平均值算术平均值出现出现Mi的几率的几率(概率概率)分子速率分布分子速率分布3.单个分子速度单个分子速度(v)的大小的大小长时间分布也成为必然长时间分布也成为必然.这这必然必然是是:(1)在某速率区间的分子数在某速率区间的分子数占占总分子数的比值必然总分子数的比值必然;(2)分子速率取某速率区间分子速率取某速率区间值值的概率必然的概率必然.(3)分子各向运动的分子各向运动的概率概率相相等等.二二.麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律(统计方法统计方法)1.取速率区间取速率区间v24归一化条件归一化条件:vM

20、的的统计平均值统计平均值:一切可能状态的几率一切可能状态的几率Wi与与相应的相应的M i值乘积的总和。值乘积的总和。一一.分子运动的图景分子运动的图景1.单个分子速度单个分子速度(v)的大小的大小方向瞬息万变方向瞬息万变;2.大量分子某时刻速度大量分子某时刻速度(v)的分布成为必然的分布成为必然;分子速率分布分子速率分布分子速率分布分子速率分布(理想气体平衡态时理想气体平衡态时)分子速率分布分子速率分布3.单个分子速度单个分子速度(v)的大小的大小长时间分布也成为必然长时间分布也成为必然.这这必然必然是是:(1)在某速率区间的分子数在某速率区间的分子数占占总分子数的比值必然总分子数的比值必然;

21、(2)分子速率取某速率区间分子速率取某速率区间值值的概率必然的概率必然.(3)分子各向运动的分子各向运动的概率概率相相等等.二二.麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律(统计方法统计方法)1.取速率区间取速率区间v25讨论某速率区间讨论某速率区间v v+v 的分子数占总分子数的比值的分子数占总分子数的比值,或分子速率取某速率区间或分子速率取某速率区间v v+v值值的概率的概率,得出分得出分子数按速率分布的情况子数按速率分布的情况.v越小越小,速率分布情况越速率分布情况越精确精确.Nv/N(v)一一.分子运动的图景分子运动的图景讨论某速率区间讨论某速率区间v v+v 的分子数占总分子数的比值的分子

22、数占总分子数的比值,或分子速率取某速率区间或分子速率取某速率区间v v+v值值的概率的概率,得出分得出分子数按速率分布的分布情况子数按速率分布的分布情况.v越小越小,速率分布情况越速率分布情况越精确精确.Nv/N(v)当当v0,即即v 成为成为dv 时时,得出的分布图就和实际的分得出的分布图就和实际的分布图一致布图一致.2.麦氏速率分布律麦氏速率分布律f(v)dN/N dv比例系数是比例系数是v 的函数的函数.dN/N=f(v)dvf(v)=dN/(Ndv)f(v)表示在速率表示在速率v 附近单位附近单位速率区间的分子数占总分子速率区间的分子数占总分子数的比值数的比值.26=N f(v)dv2

23、.麦氏速率分布律麦氏速率分布律f(v)dN/N dv比例系数是比例系数是v 的函数的函数.dN/N=f(v)dvf(v)=dN/(Ndv)f(v)表示在速率表示在速率v 附近单位附近单位速率区间的分子数占总分子速率区间的分子数占总分子数的比值数的比值.当当v0,即即v 成为成为dv 时时,得出的分布图就和实际的分得出的分布图就和实际的分布图一致布图一致.或：或：分子速率取分子速率取v 附近附近单位速率区间的概率单位速率区间的概率-麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律.3.分子速率分子速率v1 v2的分子数的分子数f(v)vOv1v2dN=Nf(v)dvdvN=dN4.分子速率分子速率取取v1

24、v2的概率的概率P=f(v)dv f(v)dv=1 5.归一化条件归一化条件27分子速率为分子速率为0 的分子数的分子数占总分子数的比值为占总分子数的比值为1,分子速率取分子速率取0 的概率为的概率为1.曲线下的总面积为曲线下的总面积为1.三三.麦氏分布的特点麦氏分布的特点:1.1.1.1.具有速率很小和很大的具有速率很小和很大的具有速率很小和很大的具有速率很小和很大的 分子数少分子数少分子数少分子数少.f(v)曲线有一极大值曲线有一极大值vp-最最概然速率概然速率(最可几速率最可几速率)28=N f(v)dv或：或：分子速率取分子速率取v 附近附近单位速率区间的概率单位速率区间的概率-麦克斯

25、韦速率分布律麦克斯韦速率分布律.3.分子速率分子速率v1 v2的分子数的分子数f(v)vOv1v2dN=Nf(v)dvdvN=dN4.分子速率分子速率取取v1 v2的概率的概率P=f(v)dv f(v)dv=1 5.归一化条件归一化条件2.2.2.2.f f(v v)与与与与T T T T有关有关有关有关.当当T,曲线曲线最大值右移最大值右移.曲线变平坦曲线变平坦.即即:T2T1时时,vp2vp1f(v)vf(vp)vp3 3 3 3.f f(v v)与分子质量有关与分子质量有关与分子质量有关与分子质量有关,当当分子质量增加时分子质量增加时,曲线曲线最大值左移最大值左移.29分子速率为分子速率

26、为0 的分子数的分子数占总分子数的比值为占总分子数的比值为1,分子速率取分子速率取0 的概率为的概率为1.曲线下的总面积为曲线下的总面积为1.三三.麦氏分布的特点麦氏分布的特点:v测分子速率分布的实验测分子速率分布的实验1.1.1.1.具有速率很小和很大的具有速率很小和很大的具有速率很小和很大的具有速率很小和很大的 分子数少分子数少分子数少分子数少.f(v)曲线有一极大值曲线有一极大值vp-最最概然速率概然速率(最可几速率最可几速率)四、分子速率的三个统计值四、分子速率的三个统计值f(v)vvp1vp2T2T1T2f(v)vvp2m2vp1m1m1时时,vp2T1时时,vp2vp12、算术平均

27、速率、算术平均速率f(v)vvp1vp2T2T1T2f(v)vvp2m2vp1m1m1时时,vp2vp131四、分子速率的三个统计值四、分子速率的三个统计值1.最概然速率最概然速率(最可几速率最可几速率)vp在一定温度下在一定温度下,vp附近单位速附近单位速间隔内的相对分子数最多间隔内的相对分子数最多.即即vp对应曲线对应曲线f(v)的极大值的极大值1.最概然速率最概然速率3.方均根速率方均根速率322、算术平均速率、算术平均速率四、分子速率的三个统计值四、分子速率的三个统计值1.最概然速率最概然速率(最可几速率最可几速率)vp在一定温度下在一定温度下,vp附近单位速附近单位速间隔内的相对分子

28、数最多间隔内的相对分子数最多.即即vp对应曲线对应曲线f(v)的极大值的极大值2.算术平均速率算术平均速率f(v)v注意注意，的比较的比较:v2v vpv 3.方均根速率方均根速率都与都与成正比，成正比，与与（或（或)成反比成反比333.方均根速率方均根速率34f(v)v注意注意，的比较的比较:v2v vpv 都与都与成正比，成正比，与与（或（或)成反比成反比设想有设想有N个气体分子，个气体分子，其速率分布函数为其速率分布函数为试求试求:(1)(1)(1)(1)常数常数A；(2)(2)(2)(2)最最可几速率，平均速率和可几速率，平均速率和方均根速率；方均根速率；(3)(3)(3)(3)速率介

29、速率介于于0v0/3之间的分子数；之间的分子数；(4)(4)(4)(4)速率介于速率介于0v0/3之间之间的气体分子的平均速率。的气体分子的平均速率。解：解：解：解：(1)(1)(1)(1)气体分子分布曲线如图气体分子分布曲线如图由由归一化条件归一化条件35设想有设想有N个气体分子，个气体分子，其速率分布函数为其速率分布函数为试求试求:(1)(1)(1)(1)常数常数A；(2)(2)(2)(2)最最可几速率，平均速率和可几速率，平均速率和方均根速率；方均根速率；(3)(3)(3)(3)速率介速率介于于0v0/3之间的分子数；之间的分子数；(4)(4)(4)(4)速率介于速率介于0v0/3之间之

30、间的气体分子的平均速率。的气体分子的平均速率。解：解：解：解：(1)(1)(1)(1)气体分子分布曲线如图气体分子分布曲线如图(2)最可几速率最可几速率得：得：由由例题例题2平均速率平均速率方均速率方均速率36由由归一化条件归一化条件方均根速率方均根速率为为(3)速率速率介于介于0v0/3之间之间的的分子数分子数37(2)最可几速率最可几速率得：得：由由平均速率平均速率方均速率方均速率(4)速率速率介于介于0v0/3之间的之间的气体分子平均速率为气体分子平均速率为38方均根速率方均根速率为为(3)速率速率介于介于0v0/3之间之间的的分子数分子数速率速率速率速率介于介于介于介于v1v2之间的之

31、间的之间的之间的气体分子的平均速率气体分子的平均速率气体分子的平均速率气体分子的平均速率的计算的计算的计算的计算:39(4)速率速率介于介于0v0/3之间的之间的气体分子平均速率为气体分子平均速率为对于对于v的某个函数的某个函数g(v)，一般地，其一般地，其平均值平均值可以可以表示为表示为40速率速率速率速率介于介于介于介于v1v2之间的之间的之间的之间的气体分子的平均速率气体分子的平均速率气体分子的平均速率气体分子的平均速率的计算的计算的计算的计算:请请在放映状态下点在放映状态下点击你击你认为是对的答案认为是对的答案则代表氧的分布函数曲线为则代表氧的分布函数曲线为 （1 1）曲线）曲线 （2

32、 2）曲线）曲线f(v)vo41一一.麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律由麦克斯韦速率分布律由麦克斯韦速率分布律分子的速度分量限制在分子的速度分量限制在概率为：概率为：速度概率密度速度概率密度速度概率密度速度概率密度（气体分子速度分布函数）（气体分子速度分布函数）麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数-与粒子的能量有关与粒子的能量有关42二、玻尔兹曼分布律二、玻尔兹曼分布律若若气体分子处于恒定的气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中外力场（如重力场）中气体分子在空间位气体分子在空间位置不再呈均匀分布置不再呈均匀分布气体分子分布规律如何气体分子分布规律

33、如何玻耳兹曼玻耳兹曼进行了推广进行了推广:在温度为在温度为T的平衡态的平衡态下下,任何系统的微观粒子按任何系统的微观粒子按状态状态(速率速率,坐标坐标)的分布与的分布与粒子的能量粒子的能量E有关有关.E=Ek+Ep即：位置在区间即：位置在区间x x+dx，y y+dy，z z+dz概率为：概率为：速度概率密度速度概率密度速度概率密度速度概率密度（气体分子速度分布函数）（气体分子速度分布函数）麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数-与粒子的能量有关与粒子的能量有关43粒子速率在区间粒子速率在区间:vxvx+dvxvy vy+dvy ，vz vz+dvz的

34、的数目为数目为:二、玻尔兹曼分布律二、玻尔兹曼分布律若若气体分子处于恒定的气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中外力场（如重力场）中气体分子在空间位气体分子在空间位置不再呈均匀分布置不再呈均匀分布气体分子分布规律如何气体分子分布规律如何玻耳兹曼玻耳兹曼进行了推广进行了推广:在温度为在温度为T的平衡态的平衡态下下,任何系统的微观粒子按任何系统的微观粒子按状态状态(速率速率,坐标坐标)的分布与的分布与粒子的能量粒子的能量E有关有关.E=Ek+Ep即：位置在区间即：位置在区间x x+dx，y y+dy，z z+dz玻氏玻氏玻氏玻氏分布律分布律分布律分布律(对对坐标积分就得麦克坐标积分就得麦克斯韦速度

35、分布率斯韦速度分布率)等宽度区间等宽度区间,能量越能量越低的粒子出现的概率越低的粒子出现的概率越大；大；f(x,y,z,vx,vy,vz)=44三三.粒子数密度分布粒子数密度分布若上式对若上式对速度积分速度积分,则在则在体积元体积元dV中的粒子数为中的粒子数为:随着能量升高随着能量升高,粒子出粒子出现的概率按指数率减小。现的概率按指数率减小。粒子速率在区间粒子速率在区间:vxvx+dvxvy vy+dvy ，vz vz+dvz的的数目为数目为:玻氏玻氏玻氏玻氏分布律分布律分布律分布律(对对坐标积分就得麦克坐标积分就得麦克斯韦速度分布率斯韦速度分布率)等宽度区间等宽度区间,能量越能量越低的粒子出

36、现的概率越低的粒子出现的概率越大；大；f(x,y,z,vx,vy,vz)=单位体积内的粒子数为单位体积内的粒子数为45重力场中重力场中:由此可得大气压公式由此可得大气压公式.n0是是Ep=0处的粒子数密度处的粒子数密度四四.粒子在重力场中按粒子在重力场中按高度分布高度分布Ep=mgh利用利用p=nkT取取对数对数变形为变形为三三.粒子数密度分布粒子数密度分布若上式对若上式对速度积分速度积分,则在则在体积元体积元dV中的粒子数为中的粒子数为:随着能量升高随着能量升高,粒子出粒子出现的概率按指数率减小。现的概率按指数率减小。单位体积内的粒子数为单位体积内的粒子数为46上式可算出上式可算出,在常温下

37、在常温下,地表面每升高地表面每升高10米米,大大气压约下降气压约下降133Pa.1、氢原子基态能级、氢原子基态能级E1=-13.6eV,第一激发态能级第一激发态能级E2=-3.4eV，求出在室温求出在室温T=270K时原子处于第一激时原子处于第一激发态与基态的数目比。发态与基态的数目比。重力场中重力场中:由此可得大气压公式由此可得大气压公式.n0是是Ep=0处的粒子数密度处的粒子数密度四四.粒子在重力场中按粒子在重力场中按高度分布高度分布Ep=mgh利用利用p=nkT取取对数对数变形为变形为472、求气体分子速率与最可、求气体分子速率与最可几速率之差不超过几速率之差不超过1%的分的分子数占全部

38、分子的百分率。子数占全部分子的百分率。共共：六个自由度六个自由度;一一.自由度自由度1.定义定义确定物体空间位置确定物体空间位置的独立坐标数的独立坐标数.(1)质点质点在线上运动在线上运动,一个自由度一个自由度;在面上运动在面上运动,两个自由度两个自由度;在空间运动在空间运动,三个自由度三个自由度.(2)刚体刚体定质心位置定质心位置,三个自由度三个自由度;定转轴方位定转轴方位,两个自由度两个自由度;定刚体绕转轴转过角度定刚体绕转轴转过角度,一个自由度一个自由度.2.分子的自由度分子的自由度i决定分子在空间位置所需决定分子在空间位置所需的独立坐标数目的独立坐标数目.平动自由度平动自由度t转动自由

39、度转动自由度r振动自由度振动自由度si=t+r+s高温体现平动高温体现平动,转动和振动转动和振动;常温体现平动转动常温体现平动转动,低温只体现平动低温只体现平动,s=0;r=0.s=0,1.定义定义:分子能量中独立的速分子能量中独立的速度和坐标的平方项数目度和坐标的平方项数目.二二.分子能量自由度分子能量自由度482.单原子分子单原子分子(质点质点)运动能量运动能量:（平动能）（平动能）每一每一独立的速度平方项对独立的速度平方项对应的平均平动动能都相等应的平均平动动能都相等为为自由度自由度 i=3单原子分子单原子分子2.分子的自由度分子的自由度i决定分子在空间位置所需决定分子在空间位置所需的独

40、立坐标数目的独立坐标数目.平动自由度平动自由度t转动自由度转动自由度r振动自由度振动自由度si=t+r+s高温体现平动高温体现平动,转动和振动转动和振动;常温体现平动转动常温体现平动转动,低温只体现平动低温只体现平动,s=0;r=0.s=0,1.定义定义:分子能量中独立的速分子能量中独立的速度和坐标的平方项数目度和坐标的平方项数目.二二.分子能量自由度分子能量自由度49平动自由度平动自由度t=33.双原子分子双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子:(哑铃模型哑铃模型)除质心的平动动能外除质心的平动动能外(三个三个平方项平方项)还有两个转动动能还有两个转动动能项项自由度自由度i=5.双原子分子双

41、原子分子2.单原子分子单原子分子运动能量运动能量:（平动能）（平动能）每一每一独立的速度平方项对独立的速度平方项对应的平均平动动能都相等应的平均平动动能都相等为为自由度自由度 i=3单原子分子单原子分子平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=2模型模型:质点弹簧型质点弹簧型m2m1x除除三三个平个平动动,两个转两个转动外动外,还有还有一维谐振动一维谐振动.振动能量为振动能量为非刚性双原子分子非刚性双原子分子故故平动自由度平动自由度t=33.双原子分子双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子:(哑铃模型哑铃模型)除质心的平动动能外除质心的平动动能外(三个三个平方项平方项)还有两个转动动能

42、还有两个转动动能项项自由度自由度i=5.双原子分子双原子分子51自由度自由度i=7平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=2模型模型:质点弹簧型质点弹簧型m2m1x除除三个三个平动平动,两个两个转动外转动外,还还有一维谐振有一维谐振动动.振动能量为振动能量为非刚性双原子分子非刚性双原子分子故故三原子分子三原子分子平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=34.三三(多多)原子分子原子分子(刚性分子刚性分子)52二二.能量均分定理能量均分定理玻耳兹曼假设玻耳兹曼假设:平衡态下，相应于每一个平衡态下，相应于每一个可能自由度的可能自由度的平均动能都是平均动能都是单单单单原子分子原子

43、分子原子分子原子分子i=3,刚性双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子非非非非刚性双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理如果气体分子有如果气体分子有i个自由度，则分个自由度，则分子的平均动能为子的平均动能为自由度自由度i=74.三三(多多)原子分子原子分子(刚性分子刚性分子)三原子分子三原子分子平动自由度平动自由度t=3转动自由度转动自由度r=353刚性多原子分子刚性多原子分子刚性多原子分子刚性多原子分子54二二.能量均分定理能量均分定理玻耳兹曼假设玻耳兹曼假设:平衡态下，相应于每一个平

44、衡态下，相应于每一个可能自由度的可能自由度的平均动能都是平均动能都是单单单单原子分子原子分子原子分子原子分子i=3,刚性双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子非非非非刚性双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理如果气体分子有如果气体分子有i个自由度，则分个自由度，则分子的平均动能为子的平均动能为温度是气体分温度是气体分子平均平动动子平均平动动能大小的量度能大小的量度气体分子气体分子气体分子气体分子平均速率平均速率平均速率平均速率氮气分子在氮气分子在270C时时的的平均速率为平均速率为476

45、m.s-1.矛盾矛盾?气体分子热运动平均速率气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行高，但气体扩散过程进行得相当慢。得相当慢。克劳修斯指出克劳修斯指出：气体分子：气体分子的速度虽然很大，但前进的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。的路程非常曲折。扩散速率扩散速率(位移量位移量/时间时间)平均速率平均速率(路程路程/时间时间)一个分子连续两次碰撞之一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路程间经历的平均自由路程-56v平均自由程平均自由程平均自由程平均自由程 气体

46、分子自由程气体分子自由程气体分子自由程气体分子自由程(线度线度10-8m)一个分子单位时间里一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫受到平均碰撞次数叫单位时间内分子经历的单位时间内分子经历的平均距离平均距离v则：则：=Zvv平均碰撞频率平均碰撞频率平均碰撞频率平均碰撞频率Z设分子设分子A以相对平均速率以相对平均速率u 运动，其它分子可设为运动，其它分子可设为静止。静止。的路程非常曲折。的路程非常曲折。扩散速率扩散速率(位移量位移量/时间时间)平均速率平均速率(路程路程/时间时间)一个分子连续两次碰撞之一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路程间经历的平均自由路程-57运动方向上，以运动方向上，以d

47、为半径为半径的圆柱体内的分子都将与的圆柱体内的分子都将与分子分子A 碰撞碰撞.ddudAu单位时间内分子单位时间内分子A走走u，相应的圆柱体体积为相应的圆柱体体积为u ，则则 =d258v平均自由程平均自由程平均自由程平均自由程 气体分子自由程气体分子自由程气体分子自由程气体分子自由程(线度线度10-8m)一个分子单位时间里一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫受到平均碰撞次数叫单位时间内分子经历的单位时间内分子经历的平均距离平均距离v则：则：=Zvv平均碰撞频率平均碰撞频率平均碰撞频率平均碰撞频率Z设分子设分子A以相对平均速率以相对平均速率u 运动，其它分子可设为运动，其它分子可设为静止。静止

48、。Z=n u 2.平均自由程平均自由程 =Zv=2 d2 n1=2 d2 PkT对空气分子对空气分子d 3.5 10-10mZ=2 d2 v n-平均平均碰撞频率碰撞频率p=nkT标准状态下标准状态下Z 6.5 109s，6.9 10-8m统计理论统计理论:运动方向上，以运动方向上，以d为半径为半径的圆柱体内的分子都将与的圆柱体内的分子都将与分子分子A 碰撞碰撞.ddudAu单位时间内分子单位时间内分子A走走u，相应的圆柱体体积为相应的圆柱体体积为u ，则则 =d259计算空气分子在标准状计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径率。取分子的有效直

49、径d=3.5 10-10m。已知空气的已知空气的平均分子量为平均分子量为29。已知已知解：解：解：解：60Z=n u 2.平均自由程平均自由程 =Zv=2 d2 n1=2 d2 PkT对空气分子对空气分子d 3.5 10-10mZ=2 d2 v n-平均平均碰撞频率碰撞频率p=nkT标准状态下标准状态下Z 6.5 109s，6.9 10-8m统计理论统计理论:标准状态下的平均速率标准状态下的平均速率标准状态下的平均速率标准状态下的平均速率:空气空气=29 10-3kg/mol61计算空气分子在标准状计算空气分子在标准状态下的平均自由程和碰撞频态下的平均自由程和碰撞频率。取分子的有效直径率。取分子的有效直径d=3.5 10-10m。已知空气的已知空气的平均分子量为平均分子量为29。已知已知解：解：解：解：