第十一章动能定理.ppt

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1、第十一章第十一章 动能定理动能定理山东科技职业学院 机电学院第一节第一节 力的功力的功一、常力在质心运动中的功一、常力在质心运动中的功PKPKlK力力 FK 沿路径作的总功为：沿路径作的总功为：力系作的总功为：力系作的总功为：二、变力在曲线运动中的功二、变力在曲线运动中的功山东科技职业学院 机电学院讨论：讨论：由于刚体内任意两点间的位置始终保持不变，故内力功为零；由于刚体内任意两点间的位置始终保持不变，故内力功为零；由于理想约束力的方向与刚体运动方向垂直，故理想约束力作功为零；由于理想约束力的方向与刚体运动方向垂直，故理想约束力作功为零；主动力作功：主动力作功：力系向质心简化的主矢力系向质心简

2、化的主矢 为质心为质心 C 相对参考点相对参考点 O 的矢径的矢径力系向质心简化的主矩力系向质心简化的主矩山东科技职业学院 机电学院假设质心的路径为假设质心的路径为 l，则，则2、几种常见的力的功、几种常见的力的功（1）重力功）重力功m重力功与质心的高度差成正比，与质心通重力功与质心的高度差成正比，与质心通过的路径无关过的路径无关（2）线弹簧力的功）线弹簧力的功OP0Pl弹簧原长：弹簧原长：弹簧变形：弹簧变形：弹簧刚度系数：弹簧刚度系数：k这里，负号说明力这里，负号说明力 F 方向指向方向指向 O山东科技职业学院 机电学院于是，线弹簧力于是，线弹簧力做的功为：做的功为：最后可得：最后可得：也与

3、通过的路径无关也与通过的路径无关（3）阻力（摩擦力）的功）阻力（摩擦力）的功设物体运动中的阻力（摩擦力）设物体运动中的阻力（摩擦力）F 与物体运动速度的方向与物体运动速度的方向相反，大小为运动速度的模的函数，即相反，大小为运动速度的模的函数，即山东科技职业学院 机电学院 阻力为干摩擦力时：阻力为干摩擦力时：与滑移距离成正比与滑移距离成正比 阻力为粘性摩擦力时：阻力为粘性摩擦力时：同样与路径无关同样与路径无关山东科技职业学院 机电学院（三）势力与势力场（三）势力与势力场 1、力场、力场空间某区域内任意位置处，存在大小、方向均为单空间某区域内任意位置处，存在大小、方向均为单值的力，该区域称为力场值

4、的力，该区域称为力场例如万有引力与线弹性力都仅与空间位置有关，故对应的力场分别称例如万有引力与线弹性力都仅与空间位置有关，故对应的力场分别称为万有引力场和线弹性力场为万有引力场和线弹性力场2、势力、势力场、势力、势力场根据力场的定义，根据力场的定义，如果恰好存在：如果恰好存在：势力势力U 勢函数（勢）勢函数（勢）山东科技职业学院 机电学院定义：定义：势函数的全微分形式为：势函数的全微分形式为：3、势力场中力的功、势力场中力的功一质点在势力场中沿路径一质点在势力场中沿路径 l 运动，力场对其的作用力所做运动，力场对其的作用力所做的功为：的功为：可见，功与路径（过程）无关，仅取决于终值与初值之差，

5、可见，功与路径（过程）无关，仅取决于终值与初值之差，说明了势力场的绝对大小已不太重要。说明了势力场的绝对大小已不太重要。若力场中存在某一点，有：若力场中存在某一点，有：上式表明，质点在势力场中某位置的势能，等于质点由零上式表明，质点在势力场中某位置的势能，等于质点由零势能移动至该位置时势力所做功的负值。势能移动至该位置时势力所做功的负值。山东科技职业学院 机电学院C1C2C3 4、等势面、等势面势力场中，当势力场中，当这样的点所构成的面称为等势面这样的点所构成的面称为等势面C=0 称为零势面称为零势面势力沿等势面的法线方向（势力沿等势面的法线方向（梯度梯度定义）定义）质点沿等势面移动时，势力不

6、做功质点沿等势面移动时，势力不做功 5、重力场、重力场由重力功可以推得，重力场的势函数为：由重力功可以推得，重力场的势函数为：等势面垂直于等势面垂直于若零势面选在基点（坐标原点），则若零势面选在基点（坐标原点），则 C=0，此时，此时，6、线弹簧力场、线弹簧力场等势面为以基点为圆心的球面等势面为以基点为圆心的球面山东科技职业学院 机电学院第二节第二节 动能动能1、质点系的动能、质点系的动能坐标阵：坐标阵：2、平移运动刚体的动能、平移运动刚体的动能作平移运动刚体的特点是：刚体上作平移运动刚体的特点是：刚体上所有点的速度均大小相所有点的速度均大小相等、方向相同，都等于其质心的速度等、方向相同，都等

7、于其质心的速度 故其故其动能动能：m 为整个刚体的质量，为整个刚体的质量，C 为质心为质心山东科技职业学院 机电学院 3、平面一般运动的情况、平面一般运动的情况 刚体作刚体作定轴转动定轴转动的动能的动能OPK设刚体绕设刚体绕 Z 轴转动，轴转动，角速度角速度为为则点则点 PK 的的速度速度为为于是，整个刚体的动能为：于是，整个刚体的动能为：另记为：另记为：大大小小山东科技职业学院 机电学院 刚体做一般平面运动刚体做一般平面运动设刚体设刚体质心的速度质心的速度为为刚体刚体角速度角速度为为则刚体上则刚体上PK 点的速度为：点的速度为：于是于是整个刚体的动能整个刚体的动能山东科技职业学院 机电学院第

8、一项：第一项：刚体的刚体的平移动能平移动能第二项：第二项：刚体刚体绕质心转动动能绕质心转动动能第三项：第三项：柯尼希定理柯尼希定理山东科技职业学院 机电学院例例11-1 计算下列图示各个机构任意瞬时的动能。计算下列图示各个机构任意瞬时的动能。（1）坦克履带单位长度质量为）坦克履带单位长度质量为，每个轮子可看成匀质圆盘，每个轮子可看成匀质圆盘，质量为质量为m，两轮轴间的距离为两轮轴间的距离为R，坦克前进的速度为坦克前进的速度为v。vABCD该系统的动能包括以下几个部分：该系统的动能包括以下几个部分：#轮子的动能（平面运动）轮子的动能（平面运动）#履带履带AB段相对地面无滑动，速度为零段相对地面无

9、滑动，速度为零#履带履带CD段作平动，速度段作平动，速度=2 v为什麽？为什麽？#履带履带AC 和和 BD 两个半圆弧段做平面运动两个半圆弧段做平面运动其中其中系统总动能系统总动能山东科技职业学院 机电学院（2）一均质杆一均质杆OA，质量为质量为 m，长为长为 L，与铅垂轴夹角为与铅垂轴夹角为，以等角速度以等角速度 绕铅垂轴转动绕铅垂轴转动均质杆上各点的速度并不一样均质杆上各点的速度并不一样OAxdxx 点的速度为：点的速度为：dx 为段的动能为：为段的动能为：其中其中杆的总动能为：杆的总动能为：山东科技职业学院 机电学院（3）均质均质 L 型刚性杆，质量为型刚性杆，质量为m，在铅垂面内以等角

10、速度在铅垂面内以等角速度 绕绕 O 轴转动。轴转动。OABll分两段计算，每段都是作定轴转动分两段计算，每段都是作定轴转动OA 段：段：AB 段：段：J2=?可否利用移轴公式？可否利用移轴公式？先计算对中点的惯性矩再移轴先计算对中点的惯性矩再移轴C山东科技职业学院 机电学院（4）质量为质量为 m1 的滑块，沿水平直线运动，通过铰链的滑块，沿水平直线运动，通过铰链A，用用长为长为 l、质量为质量为 m2 的刚性杆固结一垂球的刚性杆固结一垂球B，球质量为球质量为 m3，设设图示瞬时，滑块速度为图示瞬时，滑块速度为 v，杆绕杆绕 A 点的角速度为点的角速度为。ABv运动分析：运动分析：#滑块作平动滑

11、块作平动#刚性杆作平面运动刚性杆作平面运动#球作瞬时平动球作瞬时平动速度为速度为 v质心速度由速度合成得到质心速度由速度合成得到角速度为角速度为 C其速度同样由速度合成得到其速度同样由速度合成得到山东科技职业学院 机电学院#滑块动能滑块动能#刚性杆动能刚性杆动能#球的动能球的动能系统总动能系统总动能山东科技职业学院 机电学院第三节第三节 动能定理动能定理在动量定理的讨论中，质点在动量定理的讨论中，质点 PK 的运动牛顿定律记为：的运动牛顿定律记为：上式可改写为：上式可改写为：对整个系统求和对整个系统求和（*）山东科技职业学院 机电学院（*）由系统动能的定义由系统动能的定义*式左边项为：式左边项

12、为：*右边项为：右边项为：于是，于是，*式改写为：式改写为：其积分式为：其积分式为：动能定理动能定理动能的改变等于作用于质点系上所有外力功与内力功之和动能的改变等于作用于质点系上所有外力功与内力功之和山东科技职业学院 机电学院对于刚体，由于质点间相互作用力抵消，即刚体的内力功为零对于刚体，由于质点间相互作用力抵消，即刚体的内力功为零 在势力场中，由于在势力场中，由于刚体刚体在势力场中，在势力场中，机械能守恒机械能守恒 动能定理动能定理或或机械能守恒定律机械能守恒定律建立了系统所受建立了系统所受力力（力矩力矩）与系统运动）与系统运动速度速度（角速度角速度）间的关系，）间的关系，在处理系统动力学问

13、题瞬时分析时，将起重要作在处理系统动力学问题瞬时分析时，将起重要作用。用。山东科技职业学院 机电学院例例11-2 长为长为 l、质量为质量为 m 的均质杆的均质杆AB，由静止开始沿墙由静止开始沿墙面和地面作无摩擦的滑动，试求杆面和地面作无摩擦的滑动，试求杆AB 的角速度。的角速度。建立参考基和连体基建立参考基和连体基根据刚体的动能定理根据刚体的动能定理系统外力系统外力mgAB只有重力做功只有重力做功运动分析运动分析速度瞬心在速度瞬心在S点点S均质杆绕均质杆绕 S 点作瞬时定轴转动点作瞬时定轴转动转动动能为转动动能为对瞬心的转动惯量可以利用移轴公式得到对瞬心的转动惯量可以利用移轴公式得到山东科技

14、职业学院 机电学院0重力做功为重力做功为mg杆的动能杆的动能由由T=W山东科技职业学院 机电学院例例11-3 均质连杆均质连杆AB，质量为质量为 m1=4kg，长为长为 600mm；均质圆均质圆盘质量为盘质量为 m2=6kg，半径半径 r=100mm，弹簧刚性系数为弹簧刚性系数为 k=2N/m，若若不计套筒不计套筒A和弹簧的质量和弹簧的质量，连杆在图示位置被无，连杆在图示位置被无 初速释放后，初速释放后，A 端沿光滑杆落下，圆盘作纯滚动。求端沿光滑杆落下，圆盘作纯滚动。求（1）杆）杆AB 落到水平位置而接触弹簧时圆盘及杆的角速度；（落到水平位置而接触弹簧时圆盘及杆的角速度；（2）弹）弹簧的最大

15、压缩量。簧的最大压缩量。ABC30m1g我们可以将问题分为两个阶段我们可以将问题分为两个阶段1、套筒下落到接触弹簧、套筒下落到接触弹簧2、接触弹簧后到静止、接触弹簧后到静止山东科技职业学院 机电学院第一阶段第一阶段只有杆只有杆AB的重力做功的重力做功系统的动能系统的动能初始静止初始静止ABC30m1g套筒与弹簧接触时套筒与弹簧接触时B套筒速度垂直向下，圆套筒速度垂直向下，圆盘质心速度水平向右盘质心速度水平向右B 为瞬心为瞬心圆盘角速度为零圆盘角速度为零AB 杆绕杆绕B 作瞬时定轴转动作瞬时定轴转动由由动能定理动能定理B山东科技职业学院 机电学院ABC30m1g第二阶段第二阶段杆杆AB 的重力和弹簧力同时做功的重力和弹簧力同时做功假设套筒静止时弹簧的压缩量为假设套筒静止时弹簧的压缩量为 此时系统动能此时系统动能外力做功外力做功由动能定理由动能定理第一阶段已知第一阶段已知山东科技职业学院 机电学院本章到此结束，同学们再见！山东科技职业学院 机电学院