(精品)3第三章 刚体的定轴转动.ppt

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1、第三章第三章刚体的定轴转动刚体的定轴转动3-0 3-0 第三章教学基本要求第三章教学基本要求3-1 3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律刚体定轴转动的动能定理和转动定律3-2 3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动教学基本要求教学基本要求一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念.二二、掌掌握握力力对对固固定定转转轴轴的的力力矩矩的的计计算算方方法法，了了解解转转动动惯惯量量的的概概 念念 (72(72学时不要求用积分计算转动惯量学时不要

2、求用积分计算转动惯量).).三三、理理解解刚刚体体定定轴轴转转动动的的动动能能定定理理和和刚刚体体服服从从质质点点组组的的功功能能转转换关系换关系.四、理解刚体定轴转动定律四、理解刚体定轴转动定律.五、理解角动量的概念五、理解角动量的概念,理解刚体定轴转动的角动量守恒定律理解刚体定轴转动的角动量守恒定律.七七、能能综综合合应应用用转转动动定定律律和和牛牛顿顿运运动动定定律律及及质质点点、刚刚体体定定轴轴转转动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题.六六、会会计计算算力力矩矩的的功功 (72(72学学时时只只限限于于恒恒定定力力矩矩的的功功)、

3、定定轴轴转转动动刚体的转动动能和对轴的角动量刚体的转动动能和对轴的角动量.八八、能能综综合合应应用用守守恒恒定定律律求求解解质质点点刚刚体体系系统统的的简简单单动动力力学学问问题题.明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.3-1 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理和转动定律和转动定律预习要点预习要点1.注意描述刚体定轴转动的运动学方法注意描述刚体定轴转动的运动学方法.2.阅读附录阅读附录1中矢量乘法中矢量乘法.力对转轴的力矩如何计算力对转轴的力矩如何计算?3.领会刚体定轴转动的动能定理的意义领会刚体定轴转动的动

4、能定理的意义.注意区分平注意区分平动动能和转动动能的计算式动动能和转动动能的计算式.注意力矩的功的计算注意力矩的功的计算方法方法.4.转动惯量的定义是什么转动惯量的定义是什么?转动惯量与哪些因素有关转动惯量与哪些因素有关?5.刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何?注意注意它的应用方法它的应用方法.一、刚体及刚体定轴转动一、刚体及刚体定轴转动 刚刚体体：在在外外力力作作用用下下，形形状状和和大大小小都都不不发发生生变变化化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）.刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：

5、平动、转动.平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同.转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动.转动分定轴转动和非定轴转动转动分定轴转动和非定轴转动.转轴不动转轴不动,刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；垂直于转轴的平面叫转动平面垂直于转轴的平面叫转动平面.二、描述刚体定轴转动的物理量二、描述刚体定轴转动的物理量角位移角位移 角坐标角坐标角速度角速度角加速度角加速度O 定轴定轴(Oz轴轴)条件下，由条件下，由Oz轴正向俯视，逆时针转轴正向俯视，逆时针转向的向的 取正，顺时针取负取

6、正，顺时针取负.三、刚体定轴转动的力矩和力矩的功三、刚体定轴转动的力矩和力矩的功P*O 刚刚体体绕绕Oz轴轴旋旋转转,O为为轴轴与与转转动动平平面面的的交交点点，力力 作作用用在在刚刚体体上上点点 P,且且在在转转动动平平面面内内,为为由由点点O 到到力力的的作作用用点点 P 的位矢的位矢.对转轴对转轴z的力矩的力矩 1.力矩力矩 力矩为矢量，一般取逆时针为正，顺时针为负力矩为矢量，一般取逆时针为正，顺时针为负d:(力臂：力的作用线与转轴之间的垂直距离力臂：力的作用线与转轴之间的垂直距离)力矩从力矩从 到到 做的功做的功2.力矩作功力矩作功 四、刚体定轴转动的转动动能和转动惯量四、刚体定轴转动

7、的转动动能和转动惯量1.1.转动动能转动动能刚体内部质量为刚体内部质量为 的质量元的速度为的质量元的速度为 动能为动能为刚体定轴转动的总能量（转动动能）刚体定轴转动的总能量（转动动能）定义定义转动惯量转动惯量相当于描写转动惯性的物理量相当于描写转动惯性的物理量.2.2.转动惯量转动惯量单位：单位：kg m2（千克（千克米米2）.刚体定轴转动动能计算式：刚体定轴转动动能计算式：对质量连续分布的刚体，任取质量元对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴其到轴的距离为的距离为r，则则转动惯量转动惯量与平动动能与平动动能比较转动动能比较转动动能 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离

8、转轴 OO 为为 处的处的质量元质量元 求求质量为质量为m、长为长为l的的均匀细长棒，对通过棒中心均匀细长棒，对通过棒中心和和过端点过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量并与棒垂直的两轴的转动惯量.OOOO如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒 刚体的转动惯量与刚体的刚体的转动惯量与刚体的质量质量m、刚体的刚体的质量分布质量分布和和转轴的位置转轴的位置有关有关.3.3.转动惯量的计算举例转动惯量的计算举例4.部分均匀刚体的转动惯量部分均匀刚体的转动惯量 薄圆盘转轴通过薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直中心与盘面垂直2r球体转轴沿直径球体转轴沿直径l 细棒转轴通过细棒转轴通过中心与棒垂直中心与棒垂直l 细

9、棒转轴通过细棒转轴通过端点与棒垂直端点与棒垂直五、刚体定轴转动的动能定理五、刚体定轴转动的动能定理 刚刚体体是是其其内内任任两两质质点点间间距距离离不不变变的的质质点点组组，刚刚体体做做定定轴轴转转动动时时，质质点点间间无无相相对对位位移移，所所以以质质点点间间内内力力不不作作功功，外外力力功功为为其其力力矩矩的的功功；并并且且刚刚体体无无移移动动，动动能的变化只有定轴转动动能的变化能的变化只有定轴转动动能的变化.由质点组动能定理由质点组动能定理 合合外外力力矩矩对对绕绕定定轴轴转转动动的的刚刚体体所所作作的的功功等等于于刚刚体体转动动能的转动动能的增量增量.得刚体定轴转动的动能定理得刚体定轴

10、转动的动能定理注意注意:2.刚体的定轴转动的动能应用刚体的定轴转动的动能应用 计算计算.1.如如果果刚刚体体在在运运动动过过程程中中还还有有势势能能的的变变化化，可可用用质质点点组组的的功功能能原原理理和和机机械械能能转转换换与与守守恒恒定定律律讨讨论论.总总之之，刚刚体体作作为为特特殊殊的的质质点点组组，它它服服从从质质点点组组的的功功能能转转换换关关系系.六、刚体定轴转动的转动定律六、刚体定轴转动的转动定律由动能定理：由动能定理：取取微分形式：微分形式：两边除两边除dt由于由于故得故得 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，：刚体作定轴转动时，合外力合外力矩矩等于刚体的转动惯

11、量与角加速度的等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积乘积.由刚体定轴转动定律由刚体定轴转动定律 可知，若可知，若M为恒力为恒力矩，则角加速度为恒定值，刚体作匀变速定轴转矩，则角加速度为恒定值，刚体作匀变速定轴转动运动。相应运动计算方程可仿照匀变速直线运动运动。相应运动计算方程可仿照匀变速直线运动公式推导得出动公式推导得出：刚体匀变速定轴转动公式刚体匀变速定轴转动公式 均匀细棒均匀细棒OA可绕其一端可绕其一端O而与棒垂直的水平固定轴转动，而与棒垂直的水平固定轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下列说法哪一个正确？

12、置的过程中，下列说法哪一个正确？(A)角速度由小到大，角加速度由大到小角速度由小到大，角加速度由大到小（B）角速度由小到大，角加速度由小到大）角速度由小到大，角加速度由小到大（C）角速度由大到小，角加速度由大到小）角速度由大到小，角加速度由大到小（D）角速度由大到小，角加速度由小到大）角速度由大到小，角加速度由小到大OA 1、一个能绕固定轴转动的轮子，除受到恒定摩擦力矩一个能绕固定轴转动的轮子，除受到恒定摩擦力矩MR外，还受到恒定力矩外，还受到恒定力矩M 的作用，若的作用，若M=20N*m,轮子对轮子对固定轴的转动惯量为固定轴的转动惯量为J=15kg*m2，在，在t=10s内，轮子的角内，轮子

13、的角速度由速度由0增大到增大到10rad/s，则，则MR=？2、转动惯量为、转动惯量为J=200千克二次方秒的飞轮，在外力矩和轴千克二次方秒的飞轮，在外力矩和轴承摩擦力矩作用下匀速转动，转速为承摩擦力矩作用下匀速转动，转速为n=180转每分。当外转每分。当外力矩停止作用后，经过力矩停止作用后，经过t=120秒后飞轮停止转动。设轴承秒后飞轮停止转动。设轴承摩擦力矩不变，求摩擦力矩大小。摩擦力矩不变，求摩擦力矩大小。七、牛顿定律和转动定律的综合应用七、牛顿定律和转动定律的综合应用 如如果果在在一一个个物物体体系系中中，有有的的物物体体作作平平动动，有有的的物物体体作作定定轴轴转转动动，处处理理此此

14、问问题题仍仍然然可可以以应应用用隔隔离离法法.但但应应分分清清哪哪些些物物体体作作平平动动，哪哪些些物物体体作作转转动动.把把平平动动物物体体隔隔离离出出来来，按按牛牛顿顿第第二二定定律律写写出出其其动动力力学学方方程程；把把定定轴轴转转动动物物体体隔隔离离出出来来，按按转转动动定定律律写写出出其其动动力力学学方方程程.有有时时还还需需要要利利用用质质点点及及刚刚体体定定轴轴转转动动的的运运动学公式补充方程，然后对这些方程综合求解动学公式补充方程，然后对这些方程综合求解.例例:一一轻轻绳绳跨跨过过一一轴轴承承光光滑滑的的定定滑滑轮轮，绳绳的的两两端端分分别别悬悬有有质质量量为为m1和和m2的的

15、物物体体，滑滑轮轮可可视视为为均均质质圆圆盘盘，质质量量为为m，半半径径为为r，绳绳子子不不可可伸伸长长而而且且与与滑滑轮轮之之间间无无相相对对滑滑动动.求求物物体体加加速速度度、滑滑轮轮转转动动的的角角加加速速度度和和绳绳子子的的张张力力.受力图如下，受力图如下，设设rmm1m2解解:得解得解1、一个滑轮，质量为、一个滑轮，质量为m，半径为，半径为r，转轴在水平位置且没，转轴在水平位置且没有摩擦力，混沦上绕有细绳，若用有摩擦力，混沦上绕有细绳，若用10千克力拉细绳或在绳千克力拉细绳或在绳上吊一个上吊一个10千克的重物，滑轮就会转动起来，分析两种情千克的重物，滑轮就会转动起来，分析两种情况下，

16、（况下，（1）、滑轮的角速度是否相同）、滑轮的角速度是否相同?（2）、绳中的张力）、绳中的张力是否相同？是否相同？1）系统对轴的转动惯量）系统对轴的转动惯量J是杆的转动是杆的转动惯量惯量J1与小球的转动惯量与小球的转动惯量J2之和之和.例例:一一根根质质量量均均匀匀分分布布的的细细杆杆，一一端端连连接接一一个个大大小小可可以以不不计计的的小小球球，另另一一端端可可绕绕水水平平转转轴轴转转动动.某某瞬瞬时时细细杆杆在在竖竖直直面面内内绕绕轴轴转转动动的的角角速速度度为为 ，杆杆与与竖竖直直轴轴的的夹夹角角为为 .设杆的质量为设杆的质量为 、杆长为、杆长为 l，小球的质量为小球的质量为 .1）系统

17、对轴的转动惯量；）系统对轴的转动惯量；2）在图示位置系统的转动动能；）在图示位置系统的转动动能；3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩）在图示位置系统所受重力对轴的力矩.解解:l2）系统的转动动能为：）系统的转动动能为：3）系统所受重力有杆的重力和小球的重力）系统所受重力有杆的重力和小球的重力.则系统所受重力对轴的力矩的大小为：则系统所受重力对轴的力矩的大小为：l3-2 定轴转动的动量矩定理和定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律动量矩守恒定律预习要点预习要点1.认识质点对定点的动量矩的定义，认识质点对定点的动量矩的定义，刚体对转轴的动刚体对转轴的动量矩如何计算量矩如何计算?2.刚体定轴转动的动量

18、矩定理的内容及数学表达式是刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是怎样的怎样的?3.动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?一、动量矩一、动量矩1.质点的质点的动量矩动量矩动量矩动量矩 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原，质点相对于原点的动量距点的动量距大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.单位单位 或或方向垂直于方向垂直于 和和 组成的平面组成的平面 质点对定点质点对定点O的动量矩的动量矩 在某坐标轴在某坐标轴Oz上的投上的投影影 称为该

19、质点对轴称为该质点对轴Oz的动量矩的动量矩.质点作圆运动时，质点作圆运动时，其对过圆心其对过圆心O且运动平面垂直的轴且运动平面垂直的轴Oz的动量矩：的动量矩：或或又又故得故得 取正号取正号LZ与与Oz同向，负号反向，实际计算时，可根据同向，负号反向，实际计算时，可根据 方向或方向或V方向选动量矩方向选动量矩L逆时针方向为正，顺时针为负。逆时针方向为正，顺时针为负。（动量矩竖直向上）（动量矩竖直向上）（动量矩竖直向下）（动量矩竖直向下）mvromv2.刚体的刚体的动量矩动量矩动量矩动量矩O 刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直的平面刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直的平面内作圆周运

20、动，内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动刚体对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动量矩之和量矩之和.即即L为正，其方向沿为正，其方向沿Oz正向，反之沿正向，反之沿Oz负向负向.对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和.注意：实际计算时，可根据注意：实际计算时，可根据 方向选动量矩方向选动量矩L逆时针方逆时针方向为正，顺时针为负。向为正，顺时针为负。二、刚体定轴转动时的动量矩定理二、刚体定轴转动时的动量矩定理刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.将上式变形后积分将上式变形后积分动量矩定

21、理动量矩定理:作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的增量的增量.由刚体定轴转动定律由刚体定轴转动定律表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累,称为称为冲量矩冲量矩.（刚体动量矩定律）（刚体动量矩定律）动量矩守恒定律动量矩守恒定律:当刚体转动系统受到的当刚体转动系统受到的合外力矩为合外力矩为零零时，系统的动量矩守恒时，系统的动量矩守恒.三、动量矩守恒定律三、动量矩守恒定律若若 ，花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水注意注意1.1.对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受的合外力

22、矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量矩始终保持不变矩始终保持不变.2.2.动量矩守恒定律与动量守恒定律一样动量矩守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界也是自然界的一条普遍规律的一条普遍规律.则则常量常量.1、一圆盘可绕着通过其中心并且与盘面垂直的光滑铅、一圆盘可绕着通过其中心并且与盘面垂直的光滑铅直轴转动。设盘原来静止，盘上站着一人，当人沿着直轴转动。设盘原来静止，盘上站着一人，当人沿着某一圆周走动时，试问以人和盘作为系统，其动量矩某一圆周走动时，试问以人和盘作为系统，其动量矩是否守恒？单就圆盘来说，其动量矩是否守恒？是否守恒？单就圆盘来说，其动

23、量矩是否守恒？2、一圆盘绕着垂直于盘面的水平光滑固定轴、一圆盘绕着垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，转动，有两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条有两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，同时射入圆盘并留在盘内，则子弹射直线上的子弹，同时射入圆盘并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度入后的瞬间，圆盘的角速度（A）增大）增大 （B）不变）不变（C）减小）减小 （D）不能确定）不能确定OMmm3、质量均匀的细杆长为、质量均匀的细杆长为2L，质量为，质量为M，起初以角速度，起初以角速度 绕过中点绕过中点与杆垂直的竖直轴在水平面内转动。杆上穿有两个质量都是与杆垂直的竖直轴

24、在水平面内转动。杆上穿有两个质量都是m的小球的小球（视作质点），它们由静止与杆的中点滑到杆的两端。问此时杆的（视作质点），它们由静止与杆的中点滑到杆的两端。问此时杆的角速度多大？角速度多大？解：对小球和杆组成的系统。因为小球和杆所受重力平行于转轴，解：对小球和杆组成的系统。因为小球和杆所受重力平行于转轴，对转动无贡献，杆和小球之间摩擦力属于内力，且力作用线通过对转动无贡献，杆和小球之间摩擦力属于内力，且力作用线通过转轴，力臂为转轴，力臂为0，系统不受外力矩作用，动量矩守恒。，系统不受外力矩作用，动量矩守恒。两式联解可得两式联解可得（1 1）解：解：杆杆和和球球在在竖竖直直方方向向所所受受重重力

25、力和和支支持持力力与与轴轴平平行行，对对轴轴无无力力矩矩；桌桌面面及及轴轴皆皆光光滑滑，无无摩摩擦擦力力矩矩；轴轴对对杆杆的的反反作作用用力力过过轴轴也也无无力力矩矩.因因此此，球球与与杆杆在在碰碰撞撞过过程程中中，所所受受外外力力矩矩为为零零，在在水水平平面面上上，碰碰撞撞过过程程中中系系统统角角动动量守恒量守恒.即：即：例例：在在光光滑滑水水平平桌桌面面上上放放置置一一个个静静止止的的质质量量为为m、长长为为2l、可可绕绕过过与与杆杆垂垂直直的的光光滑滑轴轴中中心心转转动动的的细细杆杆.有有一一质质量量为为m的的小小球球以以与与杆杆垂垂直直的的速速度度 与与杆杆的的一一端端发发生生完完全全弹弹性性碰碰撞撞，求求小小球的反弹速度球的反弹速度 及杆的转动角速度及杆的转动角速度.弹性碰撞动能守恒弹性碰撞动能守恒（2 2）其中其中联立联立(1)、(2)式求解式求解