刚体运动PPT讲稿.ppt

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1、刚体运动1第1页，共40页，编辑于2022年，星期五 刚体的运动形式刚体的运动形式刚体运动刚体运动平平动动转转动动（质点A既随质心平动又绕质心转动）2第2页，共40页，编辑于2022年，星期五三、刚体转动的角速度和角加速度三、刚体转动的角速度和角加速度角速度的方向由右手定则确定。角速度的方向由右手定则确定。角加速度角加速度 刚体在刚体在 t时间内时间内角速度的增量角速度的增量 与与 t 之比的极之比的极限限单位：单位：Pd rzx 角速度角速度 刚体在刚体在d dt 时间内时间内的角位移的角位移d d 与与d dt 之比。之比。3第3页，共40页，编辑于2022年，星期五 、本来是矢量，由于在

2、定轴转动中轴的方位不变，本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。在刚体作在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：匀加速转动时，相应公式如下：四、匀变速转动公式（四、匀变速转动公式（=衡量）衡量）1 0 01 0 04第4页，共40页，编辑于2022年，星期五五、刚体运动学中角量和线量的关系五、刚体运动学中角量和线量的关系由定义得由定义得：例例1：设圆柱型电机转子由静止经：设圆柱型电机转子由静止经300 s后达到后达到 18000 r/min，已知转子的角加速度已知转子的角加速度 与时间成正比，求与时间成正比，求转

3、子在这段时间内转过的圈数。转子在这段时间内转过的圈数。解解：因角加速度：因角加速度 随时间而增大，设：随时间而增大，设：=ctct5第5页，共40页，编辑于2022年，星期五对上式两边积分对上式两边积分由条件知由条件知所以所以由角速度定义由角速度定义得到：得到：转子转数：转子转数：6第6页，共40页，编辑于2022年，星期五 在刚体转动中在刚体转动中,如果转轴固定不动如果转轴固定不动,称为称为定轴定轴转动转动。过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称。过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称为为转动平面转动平面。刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角速度和角加

4、速度速度和角加速度,在相同的时间内有相等的角位在相同的时间内有相等的角位移。但是位移、速度和加速度却不相等。移。但是位移、速度和加速度却不相等。一般情况下一般情况下,角速度和角加速度是矢量角速度和角加速度是矢量,但在定但在定轴转动中它们的方向沿着转轴轴转动中它们的方向沿着转轴,可以用带正负号可以用带正负号的标量来表示。的标量来表示。4 刚体的定轴转动刚体的定轴转动7第7页，共40页，编辑于2022年，星期五 设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴Oz以角速度以角速度 转动转动,各体元的质量各体元的质量分别为分别为 m1,m2,mn,各体元到转轴各体元到转轴Oz的距的距离依次是离依次是r1,r2,rn。n

5、 个体元绕个体元绕Oz轴作圆周运轴作圆周运动的动能的总和为：动的动能的总和为：一、刚体的转动动能一、刚体的转动动能8第8页，共40页，编辑于2022年，星期五式中式中 称为刚体对转轴的称为刚体对转轴的转动惯量转动惯量。代入动能公式中代入动能公式中,得到刚体转动动能的一般表达式得到刚体转动动能的一般表达式 刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似性刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似性的。的。用用J 表示：表示：9第9页，共40页，编辑于2022年，星期五 二、刚体的转动惯量二、刚体的转动惯量(Moment of inertia)从转动动能公式看到从转动动能公式看到,刚体的转动惯量刚

6、体的转动惯量J与质点的质量与质点的质量 m 相对应相对应。在质点运动中。在质点运动中,质点的质量是质点惯性质点的质量是质点惯性的量度的量度。在刚体转动中。在刚体转动中,刚体的刚体的转动惯量是刚体转转动惯量是刚体转动惯性的量度动惯性的量度。若刚体的质量连续分布若刚体的质量连续分布,转动惯量中的求和号转动惯量中的求和号用积分号代替用积分号代替 与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：刚体的质量、刚体的质量、转轴的位置、转轴的位置、刚体的形状。刚体的形状。10第10页，共40页，编辑于2022年，星期五几几种种常常见见形形状状的的刚刚体体的的转转动动惯惯量量11第11页，共40页，编辑于2022

7、年，星期五12第12页，共40页，编辑于2022年，星期五 例例 1：一根质量为一根质量为m=1.0 kg、长为长为l=1.0 m 的均匀的均匀细棒细棒,绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度 =63 rad s-1 旋转旋转,求转动动能。求转动动能。解解：先求细棒对转轴的：先求细棒对转轴的转动惯量转动惯量J,然后求转动动然后求转动动能能Ek。将棒的中点取为坐标原将棒的中点取为坐标原点点,建立坐标系建立坐标系Oxy,取取y 轴轴为转轴为转轴,如图所示。在距离转轴为如图所示。在距离转轴为x 处取棒元处取棒元dx,其质量为其质量为xdxxyo13第13页，

8、共40页，编辑于2022年，星期五根据式根据式(5-4),(5-4),应有应有 棒的转动动能为棒的转动动能为 14第14页，共40页，编辑于2022年，星期五三、两个定理三、两个定理 1.平行轴定理平行轴定理式中式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量为刚体对通过质心的轴的转动惯量,m是刚是刚体的质量，体的质量，d是两平行轴之间的距离是两平行轴之间的距离。2.垂直轴定理垂直轴定理 若若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面,xy 平平面与板面重合面与板面重合,则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯量有如下关系量有如下关系 15第15页

9、，共40页，编辑于2022年，星期五 解解：两平行轴的距离：两平行轴的距离 ,代入平行轴定理，代入平行轴定理，得得 例例2：在上一例题中：在上一例题中,对于均匀细棒对于均匀细棒,我们已求得我们已求得对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为 求对通过棒端并与棒垂直的轴的求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。16第16页，共40页，编辑于2022年，星期五Roxy 例例 3：求质量为：求质量为m、半径为半径为R 的均质薄圆盘对通的均质薄圆盘对通过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。解解：盘的质量分布均匀：盘的质量分布均匀,盘的质量面密度为盘的

10、质量面密度为 取半径为取半径为r、宽为宽为 dr的圆环如的圆环如图所示，其质量为图所示，其质量为 圆盘对圆盘对Oz轴轴(过过O点垂直于纸面点垂直于纸面)的转动惯量为的转动惯量为rdr17第17页，共40页，编辑于2022年，星期五 根据垂直轴定理根据垂直轴定理 由于对称性由于对称性,所以所以解得解得18第18页，共40页，编辑于2022年，星期五 四、力矩作的功四、力矩作的功 在刚体转动中在刚体转动中,如果力矩的作用使刚体发生了角位如果力矩的作用使刚体发生了角位移移,那么该力矩也作了功那么该力矩也作了功。因为因为dsi=ri d,并且并且cosi=sini,所以所以 假设作用于以假设作用于以z

11、 轴为转轴的刚体上的多个外力分别轴为转轴的刚体上的多个外力分别是是 在刚体转动中在刚体转动中,外力外力 所作的元功为所作的元功为19第19页，共40页，编辑于2022年，星期五式中式中Mzi 是外力是外力Fi 对转轴对转轴Oz的力矩。的力矩。在整个刚体转过在整个刚体转过d 角的过程中，角的过程中，n个外力所作的个外力所作的总功为总功为 式中式中 是作用于刚体的所有外力对是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力轴的力矩的代数和矩的代数和,也就是作用于刚体的外力对转轴的合外也就是作用于刚体的外力对转轴的合外力矩力矩Mz。20第20页，共40页，编辑于2022年，星期五 如果刚体在力矩如果刚体在力矩Mz

12、的作用下绕固定轴从位置的作用下绕固定轴从位置 1转转到到 2,在此过程中力矩所作的功为在此过程中力矩所作的功为力矩的瞬时功率可以表示为力矩的瞬时功率可以表示为 式中式中 是刚体绕转轴的角速度。是刚体绕转轴的角速度。21第21页，共40页，编辑于2022年，星期五五、动能定理五、动能定理(theorem of kinetic energy)根据功能原理根据功能原理,外力和非保守内力对系统作的总功等于外力和非保守内力对系统作的总功等于系统机械能的增量。对于刚体一切内力所作的功都为零。系统机械能的增量。对于刚体一切内力所作的功都为零。对定轴转动的刚体对定轴转动的刚体,外力的功即为外力矩所作的功外力的

13、功即为外力矩所作的功;系系统的机械能为刚体的转动动能。统的机械能为刚体的转动动能。将转动动能的具体形式代入上式并积分将转动动能的具体形式代入上式并积分,得得22第22页，共40页，编辑于2022年，星期五 定轴转动的刚体定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转动外力矩作的功等于刚体转动动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理动能定理。六、转动定理六、转动定理(Theorem of rotation)将力矩作功和转动动能的具体形式代入式子将力矩作功和转动动能的具体形式代入式子 得得23第23页，共40页，编辑于2022年，星期五 在定轴转动中在定轴转动中,刚体相

14、对于某转轴的转动惯量刚体相对于某转轴的转动惯量与角加速度的乘积与角加速度的乘积,等于作用于刚体的外力相对等于作用于刚体的外力相对同一转轴的合力矩。同一转轴的合力矩。转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似的的,合外力矩与合外力相对应合外力矩与合外力相对应,转动惯量与质量相转动惯量与质量相对应对应,角加速度与加速度相对应。角加速度与加速度相对应。m反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性。反映刚体的转动惯性。或者写为或者写为 上式就是上式就是转动定理的数学表达式转动定理的数学表达式。24第24页，共40页，编辑于2022年，星期五将转

15、动定理将转动定理 Mz=J 写成下面的形式写成下面的形式:实验表明实验表明,此式更具普遍性。此式更具普遍性。由上式得到由上式得到 刚体对转轴的角动量定理刚体对转轴的角动量定理 作定轴转动的刚体对转作定轴转动的刚体对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一转轴轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于同一转轴所受外力的合力矩。所受外力的合力矩。25第25页，共40页，编辑于2022年，星期五角动量定理也角动量定理也可以写为可以写为 Mz d t 称为称为冲量矩冲量矩,等于力矩与力矩作用于刚体的等于力矩与力矩作用于刚体的时间的乘积。时间的乘积。可见，作定轴转动的刚体所受冲量矩等于刚体可见，作定轴转

16、动的刚体所受冲量矩等于刚体对同一转轴的角动量的增量。对同一转轴的角动量的增量。对上式积分得到角动量定理的对上式积分得到角动量定理的积分形式积分形式 26第26页，共40页，编辑于2022年，星期五 刚体对转轴的角动量守恒定律刚体对转轴的角动量守恒定律 当定轴转动的当定轴转动的刚体所受外力对转轴的合力矩为零时刚体所受外力对转轴的合力矩为零时,刚体对同一刚体对同一转轴的角动量不随时间变化。转轴的角动量不随时间变化。刚体组绕同一转轴作定轴转动时刚体组绕同一转轴作定轴转动时,系统对转轴的系统对转轴的角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯量和角速度的大小

17、均保持不变；另一种是转动惯量量和角速度的大小均保持不变；另一种是转动惯量改变改变,角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变。不变。或或 恒量恒量 在定轴转动中在定轴转动中,如果如果 Mz=0,则则 七、刚体对转轴的角动量守恒定律七、刚体对转轴的角动量守恒定律 27第27页，共40页，编辑于2022年，星期五 刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的，如人，如人手持哑铃的转动手持哑铃的转动,芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作快速旋转动作,都利用了对转轴的角动量守恒定律。都利用了对

18、转轴的角动量守恒定律。28第28页，共40页，编辑于2022年，星期五 (1)从开始制动到停止从开始制动到停止,飞轮转过的角度；飞轮转过的角度；(2)闸瓦对飞轮施加的闸瓦对飞轮施加的摩擦力矩所作的功。摩擦力矩所作的功。解解：为了求得飞轮从制：为了求得飞轮从制动到停止所转过的角度动到停止所转过的角度 和摩擦力矩所作的功和摩擦力矩所作的功A,必须先求得摩擦力必须先求得摩擦力、摩擦力矩摩擦力矩和飞轮的角加速度。和飞轮的角加速度。例例4：一个转动惯量为：一个转动惯量为2.5 kg m2、直径为直径为60cm 的飞轮，正以的飞轮，正以130 rad s 1 的角速度旋转。现用闸瓦的角速度旋转。现用闸瓦将

19、其制动将其制动,如果闸瓦对飞轮的正压力为如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N,闸瓦闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：。求：d飞轮飞轮闸瓦闸瓦29第29页，共40页，编辑于2022年，星期五 闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与正压力的乘积正压力的乘积 方向如图所示。摩擦力相对方向如图所示。摩擦力相对z 轴的力矩就是摩擦轴的力矩就是摩擦力矩力矩,所以所以 摩擦力矩的方向沿摩擦力矩的方向沿z轴的负方向轴的负方向,故取负值。根据故取负值。根据转动定理转动定理,可以求得飞轮受到摩擦力矩作用时的角可以求得飞轮受到摩擦力矩作用时的

20、角加速度，为加速度，为30第30页，共40页，编辑于2022年，星期五 (1)对于匀变速转动对于匀变速转动,从开始制动到停止从开始制动到停止,飞轮转过飞轮转过的角度的角度 可由下式求得可由下式求得:所以所以(2)摩擦力矩所作的功摩擦力矩所作的功 31第31页，共40页，编辑于2022年，星期五m2m1 例例 5：质量为：质量为 m1 的物体置于完全光滑的水平桌面的物体置于完全光滑的水平桌面上上,用一根不可伸长的细绳拉着用一根不可伸长的细绳拉着,细绳跨过固定于细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为 m2 的的物体物体,如图所示。已知滑轮是一

21、个质量为如图所示。已知滑轮是一个质量为 M,半径为半径为r 的圆盘的圆盘,轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与 m1 之间之间的绳子的张力的绳子的张力 、滑轮与滑轮与 m2 之间的绳子的张力之间的绳子的张力 以以及物体运动的加速度及物体运动的加速度 。32第32页，共40页，编辑于2022年，星期五 解解：物体：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。和滑轮的受力情况如图所示。列方程列方程 T1=m1 a （1）m2 g T2=m2 a （2）对于滑轮对于滑轮（3）辅助方程辅助方程 r=a （4）解以上四个联立方程式解以上四个联立方程式,可得可得）33第33页，共40页

22、，编辑于2022年，星期五 此题还可以用能量的方法求解。在物体此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落下落了高度了高度h时时,可以列出下面的能量关系可以列出下面的能量关系（5）34第34页，共40页，编辑于2022年，星期五式中式中v是当是当m2下落了高度下落了高度 h 时两个物体的运动速率时两个物体的运动速率,是此时滑轮的角速度。是此时滑轮的角速度。因为因为 ,所以得所以得由此解得由此解得（6）35第35页，共40页，编辑于2022年，星期五将将 v 2=2 a h 代入代入(6)式式,可以求得两个物体的加速度可以求得两个物体的加速度 根据根据 ,立即可以求得张力立即可以求得张力T136第

23、36页，共40页，编辑于2022年，星期五根据根据 或或可以立即算出张力可以立即算出张力T2 以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法,都都应该理解和掌握。应该理解和掌握。37第37页，共40页，编辑于2022年，星期五 例例6:一根长为一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，一端有的均匀细直棒，一端有一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求由此下摆初棒静止在水平位置，求由此下摆 角时的角加速角时的角加速度和角速度。度和角速度。解解:棒下摆为加速过程，棒下摆为加速过程，外力矩为重力对

24、外力矩为重力对O的力矩。的力矩。重力作用在棒的重心重力作用在棒的重心 ,当当棒处在下摆棒处在下摆 角时角时，重力重力矩为：矩为：l/2xO）P38第38页，共40页，编辑于2022年，星期五棒处于棒处于角时的角加速度为：角时的角加速度为：由角加速度的定义由角加速度的定义 重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。因为棒绕轴心所产生的力矩一样。因为棒绕轴O的转动惯量为：的转动惯量为：l/2xO）P39第39页，共40页，编辑于2022年，星期五作如下变换作如下变换将上式两边积分将上式两边积分角速度为角速度为40第40页，共40页，编辑于2022年，星期五