【精品】2019高考数学二轮复习专题四解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线学案.pdf

《【精品】2019高考数学二轮复习专题四解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线学案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【精品】2019高考数学二轮复习专题四解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线学案.pdf（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1第 2 讲椭圆、双曲线、抛物线 考情考向分析 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2ab0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，AF1B的周长为43，且直线AM与AN的斜率之积为23，则C的方程为()A.x212y281 B.x212y241 2C.x23y221 D.x23y21 答案C 解析由AF1B的

2、周长为43，可知|AF1|AF2|BF1|BF2|4a43，解得a3，则M()3，0，N(3，0)设点A(x0，y0)(x03)，由直线AM与AN的斜率之积为23，可得y0 x03y0 x0323，即y2023(x203)，又x203y20b21，所以y20b21x203，由解得b22.所以C的方程为x23y221.(2)已知以圆C：(x1)2y24 的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x28y上任意一点，BM与直线y 2 垂直，垂足为M，则|BM|AB|的最大值为()A1 B 2 C 1 D 8 答案A 解析因为圆C：(x1)2y24 的圆心为C(1,0)，所

3、以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y24x，由y24x，x12y24，解得A(1,2)抛物线C2：x28y的焦点为F(0,2)，准线方程为y 2，即有|BM|AB|BF|AB|AF|1，当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值为1.思维升华(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定3跟踪演练1(1)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()3，4，则

4、双曲线的方程为()A.x216y291 B.x23y241 C.x24y231 D.x29y2161 答案D 解析点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上，c5，可得a2b225.又点(3,4)在双曲线的渐近线ybax上，ba43.由联立，解得a3，b4，可得双曲线的方程为x29y2161.(2)(2018 宁波模拟)已知双曲线C的渐近线方程是y22x，右焦点F(3,0)，则双曲线C的方程为 _，又若点N(0,6)，M是双曲线C的左支上一点，则FMN周长的最小值为_答案x2y28 1 652 解析因为点F(3,0)为双曲线的右焦点，则不妨设双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，所以双

5、曲线的渐近线方程为ybax22x，即ba22，又因为a2b232，联立，解得a1，b22，所以双曲线的方程为x2y281，设双曲线的左焦点为F，则FMN的周长为|NF|MN|MF|NF|MN|2a|MF|NF|2a|NF|2|NF|2a65 2，当且仅当点M为直线NF与双曲线的左支的交点时，等号成立，所以FMN的周长的最小值为652.热点二圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系4(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为eca1ba2.(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为eca1ba2.2双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为ybax.注意离心率e与渐近线的斜率的

6、关系例 2(1)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若AF1F2的面积是BF1F2面积的三倍，cosAF2B35，则椭圆E的离心率为()A.12 B.23 C.32 D.22答案D 解析设|F1B|k()k0，依题意可得|AF1|3k，|AB|4k，|AF2|2a3k，|BF2|2ak.cosAF2B35，在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cos AF2B，(4k)2(2a3k)2(2ak)265(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k 0，a3

7、k，|AF2|AF1|3k，|BF2|5k，|BF2|2|AF2|2|AB|2，AF1AF2，AF1F2是等腰直角三角形c22a，椭圆的离心率eca22.(2)已知双曲线M：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F22c.若双曲线M的右支上存在点P，使asin PF1F23csin PF2F1，则双曲线M的离心率的取值范围为()A.1，273B.1，273C(1,2)D.(1，2答案A 5解析根据正弦定理可知sin PF1F2sin PF2F1|PF2|PF1|，所以|PF2|PF1|a3c，即|PF2|a3c|PF1|，|PF1|PF22a，所以 1a3c|PF

8、12a，解得|PF16ac3ca，而|PF1ac，即6ac3caac，整理得 3e24e10，解得273e1，所以 1e0，b0)的一条渐近线截椭圆x24y21 所得弦长为433，则此双曲线的离心率等于()A.2 B.3 C.62 D.6 答案B 解析双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为ybax，由椭圆的对称性不妨取渐近线为ybax，设渐近线与椭圆的交点为x0，bax0，则有x20bax022332，x204bax021，解得b2a2 2，则c2a2b23a2，则此双曲线的离心率eca3，故选 B.(2)已知双曲线C：x2a2y2b2 1(a0，b0)的焦距为2c，直线l过点23a，0 且

9、与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|423c，则双曲线C的渐近线方程为()6Ay2xBy3xCy2xDy4x答案B 解析方法一由题意可设渐近线方程为ybax，则直线l的斜率klab，直线l的方程为yabx23a，整理可得axby23a20.焦点(c,0)到直线l的距离dac23a2a2b2ac23a2c，则弦长为2c2d22c2ac23a22c2423c，整理可得c49a2c212a3c4a40，即e49e212e40，分解因式得()e1()e2()e23e2 0.又双曲线的离心率e1，则eca2，所以bac2a2a2ca21

10、3，所以双曲线C的渐近线方程为y3x.方法二圆心到直线l的距离为c2223c2c3，ac23a2cc3，c23ac2a20，c2a，b3a，渐近线方程为y3x.热点三直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数7例 3(2018浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，其右顶点A到上顶点的距

11、离为7，过点A的直线l：yk(xa)(k0)与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上一点(1)求椭圆E的标准方程；(2)若ABC是等边三角形，求直线l的方程解(1)由题意可知，椭圆E的离心率eca12，a2b27，a2b2c2，所以a24，b23，所以椭圆E的标准方程为x24y231.(2)设AB的中点为M(x0，y0)，连接CM，则由ABC为等边三角形可知MCAB，且|MC|32|AB|.联立yk x2，x24y231，可得(4k23)x216k2x16k2 120.设B(x1，y1)，则 2x116k2124k23，所以x18k264k23，x0 x1228k24k23，将x0代入yk(x 2)

12、，得y06k4k23，所以M8k24k23，6k4k23，|AB|1k2|x1 2|1k2124k23，|MC|11k2|x0|11k28k24k23.由|MC|32|AB|，得11k28k24k23321k2124k23，8解得|k|334，又因为k0，即mx00.所以点D的纵坐标yDx02mx20643，故|OB|OD|yB|yD|436.真题体验1(2017北京)若双曲线x2y2m 1 的离心率为3，则实数m_.答案2 解析由双曲线的标准方程知，a1，b2m，c1m，故双曲线的离心率eca1m3，1m 3，解得m2.2(2017全国改编)若双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条

13、渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为 _答案2 解析设双曲线的一条渐近线方程为ybax，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22123.10由点到直线的距离公式，得|2b|a2b23，解得b23a2.所以双曲线C的离心率ecac2a21b2a2 2.3(2017全国改编)过抛物线C：y2 4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为 _答案23 解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x 1.由直线方程的点斜式，可得直线MF的方程为y3(x1)联立方程组y3

14、x1，y24x，解得x13，y233或x3，y23.点M在x轴的上方，M(3,23)MNl，N(1,23)|NF|112 02324，|MF|MN|3(1)4.MNF是边长为4 的等边三角形点M到直线NF的距离为23.4(2017山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_答案y22x解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，11由x2a2y2b21，x22py，消去x，得a2y22pb2ya2b2 0，y1y22pb2a2.又|AF|BF|4|OF|，y1

15、p2y2p24p2，即y1y2p，2pb2a2p，即b2a212，ba22，双曲线的渐近线方程为y22x.押题预测1已知F1，F2是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且AF213F2B，则该双曲线的离心率为()A.62 B.52 C.3 D 2 押题依据圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点答案A 解析由F2(c,0)到渐近线ybax的距离为dbca2b2b，即|AF2b，则|BF23b.在AF2O中，|OA|a，OF2c，tan F2OAba，tan AOB4ba2ba1ba2

16、，化简可得a22b2，即c2a2b232a2，即eca62，故选 A.122已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，且点1，32在该椭圆上(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AOB的面积为627，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程押题依据椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注解(1)由题意可得eca12，又a2b2c2，所以b234a2.因为椭圆C经过点1，32，所以1a29434a21，解得a24，所以b2 3，故椭圆C的方程为x24y231.(2)由(1)知F1(1,0)，设直

17、线l的方程为xty 1，由xty1，x24y231，消去x，得(4 3t2)y26ty90，显然 0 恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y26t43t2，y1y294 3t2，所以|y1y2|y1y22 4y1y236t243t2 23643t212t2143t2，所以SAOB12|F1O|y1y2|6t2143t2627，化简得 18t4t2170，即(18t217)(t21)0，解得t21 1，t221718(舍去)13又圆O的半径r|0 t0 1|1t211t2，所以r22，故圆O的方程为x2y212.A组专题通关1(2017全国)已知双曲线C：x2a2y2b2 1(a

18、0，b0)的一条渐近线方程为y52x，且与椭圆x212y23 1 有公共焦点，则C的方程为()A.x28y2101 B.x24y251 C.x25y241 D.x24y231 答案B 解析由y52x，可得ba52.由椭圆x212y231 的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为x24y251.故选 B.2(2018嘉兴市、丽水市教学测试)若双曲线C：x2y2 1 的右顶点为A，过点A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且PA2AQ，则直线l的斜率为()A13B23C2 D3答案D 解析由题意得双曲线的渐近线方程为xy0，点A的坐标为(1,0

19、)当直线l的斜率不存在或斜率为1或 0 时，显然不符合题意；当直线l的斜率存在且不等于1和 0 时，设直线l的方程为yk(x 1)，分别与双曲线的两条渐近线联立，解得yPkk 1，yQk1k或14yPk1k，yQkk1，则由PA 2AQ，得yP 2yQ，即kk12k1k或k1k2kk1，解得k3 或k 3，故选 D.3(2018全国)已知双曲线C：x23y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|等于()A.32 B 3 C 23 D 4 答案B 解析由已知得双曲线的两条渐近线方程为y13x.设两渐近线的夹角为2，则有 t

20、an 1333，所以 30.所以MON260.又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MNON，如图所示在 RtONF中，|OF|2，则|ON|3.则在 RtOMN中，|MN|ON|tan 2 3tan 60 3.故选 B.4(2018浙江省衢州二中模拟)设椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点为F(2,0)，点A(2,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|PF|8，则椭圆E的离心率的取值范围是()15A.49，47B.49，47C.29，27D.29，27答案A 解析设椭圆的左焦点为F2(2,0)，则|PA|AF2|PF2|PA|AF2|，即|PA|1|PF

21、2|PA|1，当且仅当P，A，F2三点共线时，等号成立，则 2a|PF|PF2|7,9，则椭圆的离心率eca49，47，故选 A.5抛物线C：y28x的焦点F的坐标为 _，若点P(3，m)在抛物线C上，则线段PF的长度为 _答案(2,0)32 解析抛物线y28x的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的准线方程为x 2，因为点P(3，m)在抛物线上，所以PF的长度等于点P(3，m)到抛物线的准线的距离，即|PF|32.6(2018北京)已知椭圆M：x2a2y2b21(ab0)，双曲线N：x2m2y2n21.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心

22、率为_；双曲线N的离心率为 _答案31 2 解析方法一双曲线N的渐近线方程为ynmx，则nmtan 60 3，双曲线N的离心率e1满足e211n2m24，e12.由y3x，x2a2y2b21，得x2a2b23a2b2.如图，设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|2xc，4x2c2.4a2b23a2b2a2b2，得 3a46a2b2b40，36b2a2b2a220，解得b2a2233.椭圆M的离心率e2满足e221b2a2423.e231.16方法二双曲线N的渐近线方程为ynmx，则nmtan 60 3.又c1m2n22m，双曲线N的离心率为c1m2.如图，连接EC，由题意知，F，C为椭

23、圆M的两焦点，设正六边形的边长为1，则|FC|2c22，即c21.又E为椭圆M上一点，则|EF|EC|2a，即 132a，a132.椭圆M的离心率为c2a21331.7已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆x2pxy234p20 交于C，D两点，若|AB|3|CD|，则直线l的斜率为 _答案22解析由题意得Fp2，0，由x2pxy234p20，配方得xp22y2p2，所以直线l过圆心p2，0，可得|CD|2p，若直线l的斜率不存在，则l：xp2，|AB|2p，|CD|2p，不符合题意，直线l的斜率存在可设直线l的方程为yk xp2，A(

24、x1，y1)，B(x2，y2)，联立yk xp2，y22px，化为x2p2pk2xp240，17所以x1x2p2pk2，所以|AB|x1x2p 2p2pk2，由|AB|3|CD|，所以 2p2pk26p，可得k212，所以k22.8已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是_答案32，1解析不妨设椭圆C的方程为x2a2y2b21(ab0)，P(x，y)，A(x1，y1)，则B()x1，y1，所以x2a2y2b21，x21a2y21b21，两式相减得x2x21a2y2y21b2，所以y2y21x2x21b2a2

25、，所以直线PA，PB斜率的绝对值之和为yy1xx1yy1xx12y2y21x2x212ba，由题意得2ba1，所以a24b24a24c2，即 3a24c2，所以e234，又因为0e1，所以32e0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yk x1，y24x得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2.由题意知4k24k28，解得k 1(舍去)或k1.

26、因此l的方程为xy1 0.18(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0 x05，x012x0y012216，解得x03，y02或x011，y0 6.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.10(2018天津)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为(b,0)，且|FB|AB|62.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若|AQ|PQ|524sin

27、 AOQ(O为原点)，求k的值解(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有c2a259，又由a2b2c2，可得 2a 3b.由已知可得|FB|a，|AB|2b，由|FB|AB|62，可得ab6，从而a3，b 2.所以椭圆的方程为x29y241.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)由已知有y1y20，故|PQ|sin AOQy1y2.又因为|AQ|y2sin OAB，而OAB4，所以|AQ|2y2.由|AQ|PQ|524sin AOQ，可得 5y19y2.由方程组ykx，x29y241，消去x，可得y16k9k24.由题意求得直线AB的方程为xy20，19由方程组ykx，xy

28、20，消去x，可得y22kk1.由 5y19y2，可得 5(k1)39k24，两边平方，整理得 56k250k110，解得k12或k1128.所以k的值为12或1128.B组能力提高112000 多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线 已知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为 2，那么不过顶点P的平面与PH夹角2a 时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a 时，截口曲线为抛物线；与PH夹角 a0时，截口曲线为双曲线如图，底面内的直线AMAB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴那么当C在线段PB上运动时，截口

29、曲线的短轴端点的轨迹为()A圆的一部分B椭圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分答案D 解析如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.12已知直线MN过椭圆x22y21 的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则|PQ|2|MN_.答案22 解析方法一特殊化，设MNx轴，则|MN2b2a222，|PQ24,|PQ2|MN4222.20方

30、法二由题意知F(1,0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|2b2a2，|PQ|2b2，则|PQ|2|MN|22；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，则MN方程为yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程yk x 1，x22y21，整理得(2k2 1)x24k2x2k2 20.由根与系数的关系，得x1x24k22k21，x1x22k222k21，则|MN|1k2x1x224x1x222k212k2 1.直线PQ的方程为ykx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则ykx，x22y21，解得x2212k2，y22k212k2，则|OP|2x2y22 1k212k2，又|

31、PQ|2|OP|，所以|PQ|24|OP|28 1k212k2，|PQ|2|MN|22.13(2018浙江省杭州二中月考)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为 1 的直线与x2y21 相切，点P是椭圆上的点，G，I分别是F1PF2的重心与内心，且GIF1F2，则椭圆的方程为_答案x28y26 1 解析过椭圆的左焦点F1且斜率为1 的直线的方程为xyc0，因为其与圆x2y21 相切，所以c12 121，解得c2.设点P的坐标为(x0，y0)，则F1PF2的重心G的坐标为cx0 c3，y03，即Gx03，y03，又因为GIF1F2，所以GI平行于x轴，

32、则F1PF2的内心I的纵坐标为y03，则F1PF2的内切圆的半径为|y0|3，则F1PF2的面积为12|y0|3(|F1F2|PF1|PF2|)12|y0|F1F2|，即12|y0|3(2c2a)12|y0|2c，化简得a2c22，21则b2a2c2 6，所以椭圆的方程为x28y261.14(2018浙江)已知点P(0,1)，椭圆x24y2m(m1)上两点A，B满足AP 2PB，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大答案5 解析方法一如图，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由于椭圆具有对称性，不妨设点B在第一象限，则xB0，yB0.P(0,1)，AP2PB，(xA,1yA)2(xB，yB 1)

33、xA2xB，即xA 2xB.设直线AB：ykx1(k0)将ykx1 代入x24y2m，得(1 4k2)x2 8kx44m0.(*)xAxBxB8k14k2，xB8k14k281k4k821k4k2，当且仅当1k4k，即k12时，xB取到最大值2，此时方程(*)化为x22x22m0，xAxB 2x2B 8，即 22m 8，解得m5.当点B在其他象限时，同理可解方法二设直线AB：ykx1(k0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)由P(0,1)，AP2PB，得xA 2xB.22由ykx1，x24y2m，得(1 4k2)x2 8kx44m0，xAxBxB8k4k21，xAxB 2x2B44m4k21.消去xB，得m132k24k21.|xB|8|k|4k2184|k|1|k|2，当且仅当|k|12时，|xB|max2，此时m5.