【精品】2019高考数学二轮复习专题二立体几何第1讲空间几何体学案.pdf

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1、1第 1 讲空间几何体 考情考向分析 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题热点一三视图与直观图1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等”2由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体例 1(1)(2018 全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬

2、合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A 解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_答案222解析如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为点E，2则在 RtABE中，AB 1，ABE45，BE22.而四边形AECD为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC221.由此可还原原图形如图所示在原图形中，AD 1，AB 2，BC221，且ADBC，ABBC，这块菜地的面积为S12(ADBC)AB12 11222 222.思维升华

3、空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑跟踪演练1(1)(2018 浙江省台州中学模拟)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()3答案D 解析由正视图和俯视图得该几何体可以为一个底面为等腰三角形的三棱锥和一个与三棱锥等高，且底面直径等于三棱锥的底面等腰三角

4、形的底的半圆锥的组合体，则其侧视图可以为D选项中的图形，故选D.(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为()答案C 解析取AA1的中点H，连接GH，则GH为过点E，F，G的平面与正方体的面A1B1BA的交线延长GH，交BA的延长线与点P，连接EP，交AD于点N，则NE为过点E，F，G的平面与正方体的面ABCD的交线同理，延长EF，交D1C1的延长线于点Q，连接GQ，交B1C1于点M，则FM为过点E，F，G的平面与正方体的面BCC1B1的交线所以过点E，F，G的平面截正方体

5、所得的截面为图中的六边形EFMGHN.故可得位于截面以下部分的几何体的侧视图为选项C所示热点二几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧例 2(1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()4A84285 B2442 C8202 D28 答案A 解析由三视图可知，该几何体的下底面是长为4，宽为 2 的矩形，左右两个侧面是底边为2，高为 22的

6、三角形，前后两个侧面是底边为4，高为5的平行四边形，所以该几何体的表面积为S4221222224584285.(2)(2018 杭州质检)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_，表面积是_答案1436(6 13)解析由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为V1443 231213223143，表面积为S144 221222124312122232 22 6()613.思维升华(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和(2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几

7、何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪演练2(1)(2018 宁波期末)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r等于()5A1 B 2 C 4 D 8 答案B 解析由三视图得该几何体为一个半球和一个半圆柱的组合体，且半圆柱的底面和半球体的一半底面重合，则其表面积为124 r2 r2 2r2r122r2r 4r2 5r2 1620，解得r2，故选 B.(2)(2018 绍兴质检)某

8、几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A2 B 3 C 4 D 6 答案A 解析将俯视图的对角线的交点向上拉起，结合正视图与侧视图知，此空间几何体是底面为正方形(边长2)，高为 3 的正四棱锥，则其体积V13Sh13(2)23 2，故选 A.热点三多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截

9、面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图例 3(1)已知正三棱锥SABC的顶点均在球O的球面上，过侧棱SA及球心O的平面截三棱6锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为23，则球O的表面积为()A16B18C24D32答案A 解析设正三棱锥的底面边长为a，外接球的半径为R，因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为a，则AD32a，则AO23AD33a，所以33aR，即a3R，又因为三棱锥的体积为23，所以1334a2R1334()3R2R23，解得R2，所以球的表面积为S4R216.(2)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为()A.254

10、 B.2516 C.1 125 4 D.1 125 16答案D 解析把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为20,24,16的长方体ABCDA1B1C1D1中，7三棱锥BKLJ即为所求的三棱锥，其中KC19，C1LLB112，B1B16，KC1C1LLB1B1B，则KC1LLB1B，KLB90，故可求得三棱锥各面面积分别为SBKL150，SJKL150，SJKB250，SJLB250，故表面积为S表800.三棱锥体积V13SBKLJK1 000，设内切球半径为r，则r3VS表154，故三棱锥内切球体积V球43r31 125 16.思维升华三棱锥PABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形(1)点P

11、可作为长方体上底面的一个顶点，点A，B，C可作为下底面的三个顶点(2)PABC为正四面体，则正四面体的每条棱都可作为正方体的一条面对角线跟踪演练3(1)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，若AB2，BC3，PA4，则该三棱锥的外接球的表面积为()A13 B 20 C 25 D 29答案D 解析把三棱锥PABC放到长方体中，如图所示，所以长方体的体对角线长为22324229，所以三棱锥外接球的半径为292，所以外接球的表面积为4 292229.(2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍，记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则S1S2等于()A12 B 13 C 14

12、D 18答案C 解析如图，8由已知圆锥侧面积是底面积的2 倍，不妨设底面圆半径为r，l为底面圆周长，R为母线长，则12lR2r2，即122 rR2r2，解得R2r，故ADC30，则DEF为等边三角形，设B为DEF的重心，过B作BCDF，则DB为圆锥的外接球半径，BC为圆锥的内切球半径，则BCBD12，r内r外12，故S1S214.真题体验1(2018全国改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为_答案25 解析先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，

13、点M，N的位置如图所示圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径ON1416 4，OM2，MNOM2ON222 42 25.92(2017北京改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_答案23 解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱由三视图可知，正方体的棱长为2，故SD22222223.3(2017天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_答案92解析设正方体的棱长为a，则 6a218，a3.设球的半径为R，则由题意知2Ra2a2a23，R32

14、.故球的体积V43R34332392.4(2017全国)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为 _答案36解析如图，连接OA，OB.10由SAAC，SBBC，SC为球O的直径知，OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OA?平面SCA，OA平面SCB.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r，三棱锥SABC的体积V1312SCOBOAr33，即r339，r3，球O的表面积S 4r236.押题预测1一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为()

15、A16 B82 8 C22268 D42 468 押题依据求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点此类题常以三视图为载体，给出几何体的结构特征，求几何体的表面积或体积答案D 解析由三视图知，该几何体是底面边长为222222的正方形，高PD2 的四棱锥PABCD，因为PD平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，易得BCPC，BAPA，又PCPD2CD222 22223，所以S PCDSPAD1222222，SPABSPBC12222326.所以几何体的表面积为46428.2在正三棱锥SABC中，点M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB22，则正三棱锥11SABC的

16、外接球的表面积为()A6 B 12 C 32 D 36押题依据灵活运用正三棱锥中线与线之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点答案B 解析因为三棱锥SABC为正三棱锥，所以SBAC，又AMSB，ACAMA，AC，AM?平面SAC，所以SB平面SAC，所以SBSA，SBSC，同理SASC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB22，所以SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面积S4R212，故选 B.3已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为 _押题依据求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求

17、柱体、锥体、球体或简单组合体的体积本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，命题角度新颖，值得关注答案423解析如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S2r21r24r1r24 r2 1r22 2当且仅当r21r2，即r22时取等号.所以当r22时，V球V圆柱43132222423.12A组专题通关1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的正投影可能是()A B C D 答案B 解析P点在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以PAC在上底面或下底面的投影为，在前、后面以及左、右面的投影为.2.(2018浙江省金丽衢十二校联考)某

18、四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，俯视图是边长为2 的正方形，则此四面体的最大面的面积是()A2 B 22 C 23 D 4 答案C 解析由三视图得该几何体如图中的三棱锥ABCD所示，则S ABD12(22)23223，SBCD1222 2，SABCSADC12222 22，所以最大面的面积为23，故选 C.133(2018浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A2 B4 C6 D8 答案C 解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2 的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为2,1，高为 2

19、，该几何体的体积为V212 21 2 6.故选 C.4某几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是ABC，如图(2)所示，其中OAOB 2，OC3，则该几何体的表面积为()A36123 B2483 C24123 D3683 答案C 解析由题图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为 23的等腰三角形，即14该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为4,23，6，三视图还原为几何体是图中的三棱锥PABC，且SPABSPBC1246 12，SABC1242343，PAC是腰长为52，底边长为4 的等腰三角形，SPAC83.综上可知，该几何体的表面积为

20、212 438324123.故选 C.5.已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在的平面互相垂直，AB3，AC3，BCCDBD 23，则球O的表面积为()A4B12C16D36答案C 解析如图所示，AB2AC2BC2，CAB为直角，即ABC外接圆的圆心为BC的中点O.ABC和DBC所在的平面互相垂直，则球心在过DBC的圆面上，即DBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径R2，球的表面积为S4R216，故选 C.6已知正四棱锥PABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为()A.1243 B

21、.62581 C.50081 D.2569答案C 解析如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O，正四棱锥PABCD的外接球的球心为O，15底面正方形的边长为2，OD 1，正四棱锥的体积为2，VPABCD13(2)2PO 2，解得PO 3，OO|POPO|3 R|，在 RtOOD中，由勾股定理可得OO2OD2OD2，即(3 R)212R2，解得R53，V球43R34353350081.7在三棱锥SABC中，侧棱SA底面ABC，AB5，BC8，ABC60，SA25，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.643B.2563C.4363D.2 048327答案B 解析由题意知，AB 5，BC 8，ABC

22、60，则在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC，解得AC7，设ABC的外接圆半径为r，则ABC的外接圆直径2rACsin ABC732，r73，又侧棱SA底面ABC，三 棱 锥 的 外 接 球 的 球 心 到 平 面ABC的 距 离d12SA5，则 外 接 球 的 半 径R16732()52643，则该三棱锥的外接球的表面积为S4R22563.8某几何体的正视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧视图的图形是_(写出所有可能的序号)答案解析如图 a 三棱锥CABD，正视图与俯视图符合题意，侧视图为；如图 b四棱锥PABCD，正视图与俯视图符合题意，侧视图为

23、；如图 c 三棱锥PBCD，正视图与俯视图符合题意，侧视图为.9如图 1 所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD平面CDEF，现测得AB20 cm，AD15 cm，EF30 cm，AB与EF间的距离为25 cm，则几何体EFABCD的体积为 _cm3.答案3 500 解析在EF上，取两点M，N(图略)，分别满足EMNF5，连接DM，AM，BN，CN，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可以求得V122015202131220155 3 500.10.(2018 浙江省杭州二中等五校联考

24、)一个三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为_，其外接球的体积为_17答案26234 12523解析由三视图得该几何体是一个底面为直角边分别为3,4 的直角三角形，高为 5 的三棱锥，且三棱锥的顶点在底面的投影为底面直角三角形中边长为4 的直角边所对的顶点，则其表面积 为1234 1235 1255 1234 4 26 234，其 外 接 球 的 半 径 为522324222522，则外接球的体积为43522312523.11(2018全国)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为_答案402解析如图，SA与底

25、面所成角为45，SAO为等腰直角三角形设OAr，则SOr，SASB2r.在SAB中，cosASB78，sin ASB158，SSAB12SASBsin ASB12(2r)2158 515，解得r210，SA2r45，即母线长l45，18S圆锥侧rl 2 1045402.12已知二面角l 的大小为3，点P，点P在 内的正投影为点A，过点A作ABl，垂足为点B，点Cl，BC22，PA23，点D，且四边形ABCD满足BCDDAB.若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为_答案86解析BCDDAB，A，B，C，D四点共圆，直径为AC.PA平面，ABl，易得PBl，即PBA为二面角l 的

26、平面角，即PBA3，PA23，BA2，BC22，AC23.设球的半径为R，则 23R2()32R2()32，R6，V43(6)386.B组能力提高13若四棱锥PABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为()A.815 B.8120 C.1015 D.10120答案C 解析根据三视图还原几何体为一个四棱锥PABCD，如图所示，平面PAD平面ABCD，19由于PAD为等腰三角形，PAPD3，AD4，四边形ABCD为矩形，CD 2，过PAD的外心F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂线，两条垂线交于一点O，则O为四棱锥外接球的球心，在PAD中，cosAPD3232

27、4223319，则 sin APD459，2PFADsin APD4459955，PF9510，PE945，OHEF59510510，BH121645，OBOH2BH25100550510，所以S45051001015.14.如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为()A(1,2)B(1,2 C(0,2 D(0,2)答案D 解析设四棱锥一个侧面为APQ，APQx，过点A作AHPQ，则AH12PQtan xACPQ222PQ2212PQ，PQ221tan x，AH2tan x1tan x，20S412PQAH2PQAH2221 tan x2t

28、an x1tan x8tan x1tan x2，x4，2，tan x0，S8tan x1tan x28tan x1tan2x2tan x81tan xtan x282 22，当且仅当 tan x1，即x4时取等号，而 tan x0，故S0，S2 时，APQ是等腰直角三角形，顶角PAQ90，阴影部分不存在，折叠后A与O重合，构不成棱锥，S的取值范围为(0,2)，故选 D.15(2018宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为_，该三棱锥的外接球的体积为 _答案4315 2053解析由三视图得几何体的直观图如图所示，S

29、表2122212235122 31214153.作DEBD交BC于点E，以D为原点，DB所在直线为x轴，DE所在直线为y轴，DA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(1，3，0)，设球心坐标为(x，y，z)，(x2)2y2z2x2y2z2，x2y2(z2)2x2y2z2，(x1)2(y3)2z2x2y2z2，x1，y3，z1，球心坐标是(1，3，1)，球的半径是12()32125.球的体积是43()532053.16(2018浙江省杭州二中等五校联考)棱长为 36 的正四面体ABCD的内切球上有一动点M，则MB13MC的最小值为 _答案433 解析由MB13MC结构看，需要把13MC转化为M点到某定点的距离 设内切球球心为O，ABD的中心为Q，由正四面体性质易求OQ36，OC96，BQ123，且内切球的半径为36，现在只需要在直线OC上找一个定点P，使MP13MC，即在平面OAC内找MP13MC.当M分别在H，Q位置时，由MP13MC，得满足条件的只有一点P，P在OC之间且OP6，即MP13MC，且可证对内切球面上任意一点M，上式均成立所以MB13MCMBMPPBPQ2QB2462 1232433，当M为线段BP与球面的交点时，取得最小值