【精品】2019高考数学二轮复习专题一三角函数解三角形与平面向量第3讲平面向量学案.pdf

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1、1第 3 讲平面向量 考情考向分析 1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，且为基础题.2.考查平面向量数量积及模的最值问题，以选择题、填空题为主，难度为中高档，是高考考查的热点内容.3.向量作为工具，还常与解三角形、不等式、解析几何等结合，进行综合考查热点一平面向量的线性运算1在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化2在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量例 1(1)如

2、图，在ABC中，AB3DB，AE2EC，CD与BE交于点F.设ABa，ACb，AFxayb，则(x，y)为()A.25，25B.14，132C.37，37D.25，920答案A 解析由D，F，C三点共线，可得存在实数，使得DFDC，即AFAD(ACAD)，则AF(1)ADAC23(1)ABAC23(1)a b.由E，F，B三点共线，可得存在实数，使得EF EB，即AFAE(ABAE)，则AFAB(1)AEAB23(1)ACa23(1)b.又a，b不共线，由平面向量基本定理可得231 ，231，解得25，25，所以AF25a25b.所以x25，y25，即(x，y)25，25，故选 A.(2)已知

3、A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，过点P(m,0)的直线分别与线段AC，BC交于点M，N(点M，N不同于点A，B，C)，且OAxOMyON(x，yR)，若 2|m|3，则xy的取值范围是_答案12，1313，12解析设OPOA，则有|OP|OA|m|.M，N，P三点共线，且点O不在直线MN上，OPnOM(1 n)ON.从而有nOM(1n)ONxOMyON，又OM与ON是不共线向量，3xn，y 1n，得xy1.由 2|3，得xy的取值范围是12，1313，12.思维升华(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形

4、分析向量间的关系跟踪演练1(1)在ABC中，AN14NC，P是直线BN上的一点，若APmAB25AC，则实数m的值为()A 4 B 1 C1 D4 答案B 解析因为APABBPABkBNABk15ACAB(1 k)ABk5AC，且APmAB25AC，又AB，AC不共线，所以1km，k525，解得k2，m 1，故选 B.(2)如图，矩形ABCD中，AB3，AD4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足1CM21CN21，若ACxAMyAN，则xy的最小值为 _答案54解析连接MN交AC于点G.由勾股定理知，MN2CM2CN2，4所以 11CM21CN2MN2CM2CN2，即MNCMCN，所以C

5、到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1 为半径的圆的一条切线(如图所示).ACxAMyAN(xy)xxyAMyxyAN.由向量共线定理知，AC(xy)AG，所以xy|AC|AG|5|AG|，又因为|AG|max5 14，所以xy的最小值为54.热点二平面向量的数量积1数量积的定义：ab|a|b|cos.2三个结论(1)若a(x，y)，则|a|aax2y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12y2y12.(3)若非零向量a(x1，y1)，非零向量b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.例 2(1)

6、已知在直角梯形ABCD中，ABAD2CD2，ADC90，若点M在线段AC上，则|MBMD|的取值范围为 _答案255，22解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设AMAC(01)，则M(，2)，5故MD(，22)，MB(2，2)，则MBMD(2 2，24)，|MBMD|222 2 4220 35245，当 0 时，|MBMD|取得最大值22，当 35时，|MBMD|取得最小值255，|MBMD|255，22.(2)已知ABAC，|AB|1t，|AC|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且APAB|AB|4AC|AC|，则PBPC的最大值为

7、_答案13 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B1t，0，C(0，t)，AB1t，0，AC(0，t)，APAB|AB|4AC|AC|t1t，0 4t(0，t)(1,4)，P(1,4)，PBPC1t 1，4(1，t4)171t4t17 21t4t13，当且仅当t12时“”成立思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算跟踪演练2(1)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为1，E为AB的中点，若F为正方形内(含边界)任意一点，则OEOF的最大值为 _6答案32解析E为A

8、B的中点，正方形OABC的边长为1，E1，12，得OE1，12，又F为正方形内(含边界)任意一点，设F(x，y)，OF(x，y)，满足0 x1，0y1，则OEOFx12y，结合线性规划知识可知，当F点运动到点B(1,1)处时，OEOF取得最大值32.(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，BAD90，ADC45，AD 2，BC 1，P是腰CD上的动点，则|3PABP的最小值为 _答案522解析以DA为x轴，D为原点，过D与DA垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示由ADBC，BAD90，ADC45，AD2，BC1，可得D(0,0)，A(2,0)，B(2,1)，C(1,1)，P在CD上，

9、可设P(t，t)(0 t1)，则PA(2 t，t)，BP(t 2，t1)，3PABP(4 2t，2t1)，|3PABP42t2 2t128t342252252522(当且仅当t34时取等号)，即|3PABP的最小值为522.7真题体验1(2017浙江)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是 _，最大值是 _答案4 25 解析设a，b的夹角为 ，|a|1，|b|2，|ab|ab|ab2ab254cos 5 4cos.令y54cos 5 4cos .则y210225 16cos2.0，cos20,1，y216,20，y4,25，即|ab|ab|4,25 2(2017浙江改

10、编)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD 2，CD 3，AC与BD交于点O，记I1OAOB，I2OBOC，I3OCOD，则I1，I2，I3的大小关系是_答案I3I1I2解析I1I2OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA，ABBC，ABBCAD2，CD3，OB与CA所成的角为钝角，I1I20，即I1I2.I1I3OAOBOCOD|OA|OB|cos AOB|OC|OD|cos CODcosAOB(|OA|OB|OC|OD|)，8又AOB为钝角，OAOC，OB0，即I1I3.I3I1I2.3(2016浙江)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量e，均有|ae|be|

11、6，则ab的最大值是 _答案12解析由于e是任意单位向量，可设eab|ab|，则|ae|be|a ab|ab|b ab|ab|a ab|ab|b ab|ab|abab|ab|ab|.|ae|be|6，|ab|6，(ab)26，|a|2|b|22ab6.|a|1，|b|2，1 42ab6，ab12，ab的最大值为12.4(2017北京)已知点P在圆x2y21 上，点A的坐标为(2,0)，O为原点，则AOAP的最大值为 _答案6 解析方法一根据题意作出图象，如图所示，A(2,0)，P(x，y)由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)AOAP|AO|AP|cos，|AO|2，|AP|

12、x22y2，cos AQAPx2x22y2，所以AOAP2(x2)2x4.点P在圆x2y21 上，所以x 1,1 9所以AOAP的最大值为246.方法二因为点P在圆x2y21 上，所以可设P(cos ，sin)(0 2)，所以AO(2,0)，AP(cos 2，sin)，AOAP 2cos 42 46，当且仅当cos 1，即 0，P(1,0)时“”成立押题预测1 已知向量a，b满足|a|3，且向量b在向量a方向上的投影为2，则a(ab)的值为()A4 B 3 C 2 D 1 押题依据向量的数量积是高考命题的热点，常常考查平面向量的运算、化简、证明及其几何意义和平面向量平行、垂直的充要条件及其应用

13、等几个方面答案B 解析由向量b在向量a方向上的投影为2，得ab|a|2，即ab6，则a(ab)a2ab96 3.2如图，在ABC中，AD13AB，DEBC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N，设ABa，ACb，用a，b表示向量AN，则AN等于()A.12(ab)B.13(ab)C.16(ab)D.18(ab)押题依据平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础答案C 解析因为DEBC，所以DNBM，则ANDAMB，所以ANAMADAB.因为AD13AB，所以AN13AM.因为M为BC的中点，10所以AM12(ABAC)12(ab)，所以AN13AM1

14、6(ab)故选 C.3已知两个单位向量OA，OB的夹角为60，向量OPOAOB，且 12,1 2，设向量OA，OP的夹角为，则 cos 的取值范围是()A.55，255B.64，63C.277，5714D.328，528押题依据平面向量基本定理在向量中应用广泛，可与数量积等知识结合起来应用答案C 解析如图，由题意知，动点P在平行四边形CDEF区域(含边界)内运动易知AODFOA.|OF|OA 2OB|OA24OAOB4OB27，cosFOAOFOA|OF|OA|OA22OAOB7277.|OD|2OAOB|4OA24OAOBOB27，cosDOAODOA|OD|OA|2OA2OAOB75714

15、.故277cos 5714，故选 C.4如图，在半径为1 的扇形AOB中，AOB60，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则OPBP的最小值是 _ 11押题依据本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中答案116解析因为OPOBBP，所以OPBP(OBBP)BPOBBPBP2.又因为AOB60，OAOB，所以OBA60，OB1.所以OBBP|BP|cos 120 12|BP|.所以OPBP12|BP|BP|2|BP|142116116，当且仅当|BP|14时，OPBP取得最小值116.A组专题通关1(2018全国)在ABC中，AD为BC边

16、上的中线，E为AD的中点，则EB等于()A.34AB14ACB.14AB34ACC.34AB14ACD.14AB34AC答案A 解析作出示意图如图所示EBEDDB12AD12CB121212(ABAC)12(ABAC)34AB14AC.故选 A.2 设向量a(1,2)，b(3,5)，c(4，x)，若abc(R)，则 x的值为()A112 B.112 C 292 D.292答案C 解析由已知可得(1,2)(3,5)(4，x)?4 2，x 7?12，x 14?x292，故选 C.3已知向量a，b，其中a(1，3)，且a(a3b)，则b在a方向上的投影为()A.43 B 43 C.23 D 23答案

17、C 解析由a(1，3)，且a(a3b)，得a(a3b)0，即a2 3ab 43ab0，ab43，所以b在a方向上的投影为ab|a|43223，故选 C.4.(2018 天津)在如图所示的平面图形中，已知OM 1，ON2，MON120，BM2MA，CN2NA，则BCOM的值为()A 15 B 9 C 6 D0 答案C 解析如图，连接MN.BM2MA，13CN2NA，AMAB13ANAC，MNBC，且MNBC13，BC3MN3(ONOM)，BCOM3(ONOMOM2)3(21cos 120 12)6.故选 C.5(2018宁波模拟)已知向量OA，OB满足|OA|1，|OB|2，AOB3，M为OAB

18、内一点(包括边界)，OMxOAyOB，若OMBA 1，则以下结论一定成立的是()A.232xy2 B.12xyC1x3yD.23xy1答案B 解析因为|OA|1，|OB|2，AOB3，则不妨设OA(1,0)，OB(1，3)，则OMxOAyOB(xy，3y)，BA(0，3)，所以OMBA 3y 1，解得y13.又因为点M为OAB内一点(包含边界)，所以x，y满足的关系式为x0，y13，xy1，取x0，y13，此时 2xy1323，故 A选项不一定成立；由y13，xy1，得x23，所以x213y，故 B选项一定成立；取x0，y1，此时x3y 31，故 C选项不一定成立；取x0，y13，此时xy13

19、23，故 D选项不一定成立，综上所述，选B.6(2018浙江省金丽衢十二校联考)已知向量a，b满足|a|2，|b|1，a与b的夹角为3，则|a2b|_；a与a2b的夹角为 _14答案23 3解析由题意得ab|a|b|cos31，所以|a2b|a2b2|a|24ab4|b|223，|a 2b|a 2b2|a|2 4ab4|b|22，则 cosa，a2baa2b|a|a2b|a|22ab|a|a2b|12，所以a与a2b的夹角为3.7若平面向量a，b满足|2ab|3，则ab的最小值是 _答案98解析由向量减法的三角形法则知，当a与b共线且反向时，|2ab|的最大值为3.此时设ab(0，(mn)21

20、mn14(mn)2，当且仅当mn时取等号34(mn)21，则mn233，即mn的最大值为233.10(201 8浙江省重点中学联考)已知矩形ABCD，AB2，BC1，点E是AB的中点，点P是对角线BD上的动点，若ACxAPyDE，则ACAP的最小值是 _，xy的最大值是_答案1 5 解析如图，建立平面直角坐标系，则AC(2,1)，DE(1，1)，直线BD的方程为x2y1，设点P(2 2t，t)(0 t1)，则AP(2 2t，t)，ACAP4 4tt 43t(0t1)，当t1 时，ACAP取得最小值1.由ACxAPyDE，得162 2t xy 2，txy 1?x32t，y4t22t，xy4t12

21、t92t4(0t1)，当t1 时，xy取得最大值5.B组能力提高11.(2018 天津)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为()A.2116 B.32 C.2516 D 3 答案A 解析如图，以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系连接AC，由题意知CADCAB60，ACDACB30，则D(0,0)，A(1,0)，B32，32，C(0，3)设E(0，y)(0 y3)，则AE(1，y)，BE 32，y32，AEBE32y232yy3422116(0y3)，当y34时，AEBE有最小值

22、2116.故选 A.12.如图，已知圆O的半径为2，A，B是圆O上任意两点，且AOB23，PQ是圆O的直径，若点C满足OC3OA3(1)OB(R)，当CPCQ取得最小值时，的值为()17A.12B.13C.14D.15答案A 解析由已知得OPOQ0，OPOQ 4，OAOB22cos 23 2，OA2OB24，所以CPCQ(COOP)(COOQ)CO2(OPOQ)COOQOPCO2OQOP3 OA3(1)OB2492OA29(1)2OB218(1 )OAOB4 36236(1)236(1)436(3 231)4108 12255，当且仅当12时取等号，所以当 12时，CPCQ取得最小值5.故选

23、A.13(2018嘉兴市、丽水市教学测试)已知|c|2，向量b满足 2|bc|bc.当b，c的夹角最大时，|b|_.答案22 解析设b，c ，则由 2|bc|bc得4(bc)2(bc)2，即 4|b|2sin216|b|cos 160，则 4cos|b|sin2 4|b|2|b|sin24|b|4sin，当且仅当|b|sin2 4|b|，即|b|2sin 时，等号成立，则 tan sin cos 1，所以 4，当 4时，|b|22.14已知平面向量，(0，)满足|1，且 与 的夹角为120，18则|的取值范围是_答案0，233解析如图所示，记，由正弦定理得|sin 60|sin，|sin 23

24、233sin.又 0 120，0sin 1.即 0|233.15已知平面向量a(sin x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，xR，函数f(x)a(bc)(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f 222，求 sin 的值解(1)因为a(sin x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，所以bc(sin xcos x，sin xcos x)，f(x)a(bc)sin x(sin xcos x)cos x(sin xcos x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2x2sin2x4.当 2k

25、22x42k32，kZ，即k38xk78，kZ 时，函数f(x)单调递减所以函数f(x)的单调递减区间是k 38，k78，kZ.(2)由(1)知，f(x)2sin2x4，19又f 222，则2sin422，sin412.因为 sin24cos241，所以 cos 432.又 sin sin44sin 4cos 4cos 4sin 4，所以当 cos 432时，sin 12223222264；当 cos 432时，sin 12223222264.综上，sin 264.16已知向量m(sin x，1)，向量n3cos x，12，函数f(x)(mn)m.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)已知a，

26、b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a23，c4，且f(A)恰是f(x)在 0，2上的最大值，求A，b和ABC的面积S.解(1)f(x)(mn)msin2x 13sin xcos x121cos 2x2 132sin 2x1232sin 2x12cos 2x2 sin2x62.由 2k22x62k32(kZ)，20得k3xk56(kZ)所以f(x)的单调递减区间为k3，k 56(kZ)(2)由(1)知f(A)sin2A62，当x 0，2时，62x656，由正弦函数图象可知，当2x62时f(x)取得最大值3.所以 2A62，A3.由余弦定理，a2b2c22bccos A，得 12b21624b12，所以b2.所以S12bcsin A1224sin 60 23.