【精品】2019高考数学二轮复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点定值最值与范围问题学案.pdf

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1、1第 3 讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题高考定位圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.真 题 感 悟(2018北京卷)已知抛物线C：y22px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值.解(1)因为抛物线y22px过点(1，2)，所以 2p4，即p2.故抛物线C的方程

2、为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0).由y24x，ykx1得k2x2(2k4)x 10.依题意(2k4)24k210，解得k0 或 0k0，得 34k2m20，当m1 2k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾.当m22k7时，l的方程为yk x27，4直线过定点27，0，且满足，直线l过定点，定点坐标为27，0.探究提高(1)动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0).(2)动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参

3、变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.考法 2 定值的探究与证明【例 12】(2018金丽衢联考)已知O为坐标原点，直线l：xmyb与抛物线E：y22px(p0)相交于A，B两点.(1)当b2p时，求OAOB；(2)当p12且b3 时，设点C的坐标为(3，0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：1k211k22 2m2为定值.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程y22px，xmyb，消元得y22mpy 2pb0，所以y1y22mp，y1y2 2pb.(1)当b2p时，y1y2 4p2，x1x2（y1y2）24p24p2，所以OAOBx1x2y1y24p24p20.(2)

4、证明当p12且b3 时，y1y2m，y1y2 3.因为k1y1x13y1my16，k2y2x23y2my26，所以1k1m6y1，1k2m6y2.因此1k211k22 2m2m6y12m6y222m22m212m1y11y2361y211y222m212my1y2y1y236（y1y2）22y1y2y21y2212mm336m26924，5即1k211k222m2为定值.探究提高(1)求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这

5、类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练 11】(2017北京卷)已知抛物线C：y22px过点P(1，1)，过点0，12作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.(1)解把P(1，1)代入y22px，得p12，所以抛物线C的方程为y2x，焦点坐标为14，0，准线方程为x14.(2)证明当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零.由题意，设直线l的方程为ykx12(k0)，l与抛物

6、线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).由ykx12，y2x，得 4k2x2(4k 4)x10.考虑(4k4)244k216(12k)，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k12.则x1x21kk2，x1x214k2.因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1).直线ON的方程为yy2x2x，点B的坐标为x1，y2x1x2.因为y1y2x1x22x1y1x2y2x12x1x2x26kx112x2kx212x12x1x2x2（2k2）x1x212（x2x1）x2（2k2）14k21k2k2x20.所以y1y2x1x22x1.故A为线段BM的中点.【

7、训练 12】已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值.(1)解由已知ca32，12ab1.又a2b2c2，解得a2，b 1，c3.椭圆方程为x24y21.(2)证明由(1)知A(2，0)，B(0，1).设椭圆上一点P(x0，y0)，则x204y01.当x00 时，直线PA方程为yy0 x02(x2)，令x0 得yM2y0 x02.从而|BM|1 yM|12y0 x02.直线PB方程为yy01x0 x

8、1.令y0 得xNx0y01.|AN|2 xN|2x0y01.|AN|BM|2x0y0112y0 x027x02y02x02x02y02y01x204y204x0y04x08y04x0y0 x02y024x0y0 4x08y08x0y0 x0 2y024.当x00 时，y0 1，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值.热点二最值与范围问题 考法 1 求线段长度、面积(比值)的最值【例 2 1】(2018湖州调研)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l：ykx4(1k2)与y轴、抛物线C分别相交于P，A，B(自下而上)，记PAF，PBF的面积分别为S1，S2.(1

9、)求AB的中点M到y轴的距离d的取值范围；(2)求S1S2的取值范围.解(1)联立ykx4，y24x，消去y得，k2x2(8k4)x160(1k174得，4S1S2217S1S240，解得S1S24 或S1S214.因为 0S1S21，所以 0S1S214.由S1S2S2S17 得，S1S227S1S210，解得7352S1S27352，又S1S21，所以7 352S1S21.综上，7352S1S20)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当 2|AM|AN|时，求k的取值范围.10解设M(x1，y1)，则由题意知y10.(1)当t

10、4 时，E的方程为x24y231，A(2，0).由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4.因此直线AM的方程为yx2.将xy2 代入x24y231 得 7y212y0，解得y 0或y127，所以y1127.因此AMN的面积SAMN21212712714449.(2)由题意t3，k0，A(t，0)，将直线AM的方程yk(xt)代入x2ty231 得(3tk2)x22ttk2xt2k23t0.由x1(t)t2k2 3t3tk2得x1t（3tk2）3tk2，故|AM|x1t|1k26t（1k2）3tk2.由题设，直线AN的方程为y1k(xt)，故同理可得|AN|6kt（1k2）3k2t

11、.由 2|AM|AN|得23tk2k3k2t，即(k32)t3k(2k1)，当k32时上式不成立，因此t3k（2k1）k32.t3 等价于k32k2k2k32（k2）（k2 1）k320，即k2k320，k320，或k20，解得32k2.因此k的取值范围是(32，2).探究提高解决范围问题的常用方法：(1)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.11(2)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.(3)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解.【训练 22】(2018台州调研)已知椭圆x2a2y2b2 1(ab0)的左焦点

12、为F(c，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2b24截得的线段的长为c，|FM|433.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解(1)由已知，有c2a213，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c，0)，则直线FM的方程为yk(xc).由已知，有kck2 12c22b22，解得k33.(2)由(1)得椭圆方程为x23c2y22c21，直线FM的方程为y33(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得x53c

13、，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为c，233c.由|FM|（cc）2233c02433，解得c 1，所以椭圆的方程为x23y22 1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得tyx1，即yt(x1)(x 1)，与椭圆方程联立yt（x1），x23y221，消去y，整理得2x2 3t2(x1)26，又由已知，得t62x23（x1）22，12解得32x 1，或 1x0.设直线OP的斜率为m，得myx，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m22x223.当x 32，1 时，有yt(x 1)0，因此m 0，于是m2x223，得m23，233.当x(1，0)时，有yt(x 1)

14、0.因此m 0，于是m2x223，得m，233.综上，直线OP的斜率的取值范围是，23323，233.1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常

15、从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.13一、选择题1.F1，F2是椭圆x24y21 的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1PF2的最大值是()A.2 B.1 C.2 D.4 解析设P(x，y)，依题意得点F1(3，0)，F2(3，0)，PF1PF2(3x)(3x)y2x2y2334x22，注意到 234x221，因此PF1PF2的最大值是1.答

16、案B 2.(2018 镇海中学二模)若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A.2 B.12C.14D.18解析根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|d.抛物线的方程为y2x2，即x212y，其准线方程为y18，当点P在抛物线的顶点时，d有最小值18，即|PF|min18.答案D 3.设A，B是椭圆C：x23y2m1 长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A.(0，1 9，)B.(0，3 9，)C.(0，1 4，)D.(0，3 4，)解析(1)当焦点在x轴上，依题意得0m3，且3mtanAMB23.0m3 且m1，则 03，

17、且m3tanAMB23，m9，综上，m的取值范围是(0，1 9，).答案A 4.已知F是抛物线C：y2 8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|()A.3 B.5 C.6 D.10 14解析因y28x，则p 4，焦点为F(2，0)，准线l：x 2.如图，M为FN中点，故易知线段BM为梯形AFNC的中位线，|CN|2，|AF|4，|MB|3，又由定义|MB|MF|，且|MN|MF|，|NF|NM|MF|2|MB|6.答案C 5.(2018 北京西城区调研)过抛物线y243x的焦点的直线l与双曲线C：x22y21 的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2

18、)，若x1x20，则直线l的斜率k的取值范围是()A.12，12B.，1212，C.22，22D.，2222，解析易知双曲线两渐近线为y22x，抛物线的焦点为双曲线的右焦点，当k22或k0.答案D 6.在直线y 2 上任取一点Q，过Q作抛物线x24y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为()A.(0，1)B.(0，2)C.(2，0)D.(1，0)解析设Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y14x2，则y12x，则在点A处的切线方程为yy112x1(xx1)，化简得y12x1xy1，同理，在点B处的切线方程为y12x2xy2，又点Q(t，2)的坐标适合这

19、两个方程，代入得 212x1ty1，212x2ty2，这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程212xty，即直线AB的方程为y212tx，因此直线AB恒过点(0，2).15答案B 二、填空题7.已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与圆x2 4xy220相交，则双曲线的离心率的取值范围是_.解析双曲线的渐近线方程为ybax，即bxay 0，圆x24xy220 可化为(x2)2y22，其圆心为(2，0)，半径为2.因为直线bxay0 和圆(x2)2y22 相交，所以|2b|a2b22，整理得b2a2.从而c2a2a2，即c22a2，所以e2 2.又e1，故双曲线的离心率的

20、取值范围是(1，2).答案(1，2)8.(2018 金华质检)已知椭圆x24y2b21(0 b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是 _，椭圆的离心率为_.解析由椭圆的方程，可知长半轴长a 2；由椭圆的定义，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，即2b2a3，可求得b23，即b3，eca1ba213412.答案3 129.已知抛物线C：x28y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则FPFQ的最小值

21、为 _，此时圆Q的方程为 _.解析如图，在RtQPF中，FPFQ|FP|FQ|cos PFQ|FP|FQ|PF|FQ|FP|2|FQ|21.由抛物线的定义知：|FQ|d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，|FQ|min2，16FPFQ的最小值为3.此时圆Q的方程为x2y21.答案3 x2y2 1 10.(2018 温州模拟)已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为 _.解析不妨设A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20).则|AC|BD|y1x2y1y224.又y

22、1y2p2 4，|AC|BD|y2244y2(y20)的焦点，点P()1，m是抛物线上一点，且|PF|2，直线l过定点(4，0)，与抛物线T交于A，B两点，点P在直线l上的射影是Q.(1)求m，p的值；18(2)若m0，且|PQ|2|QA|QB|，求直线l的方程.解(1)由|PF|2 得，1p2 2，所以p 2，将x1，ym代入y22px得，m2.(2)因为m0，故由(1)知点P(1，2)，抛物线T：y24x.设直线l的方程是xny4，由xny4，y24x得，y24ny160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24n，y1y2 16.因为|PQ|2|QA|QB|，所以PAPB，所以

23、PAPB0，且 12n4，所以(x11)(x21)(y12)(y2 2)0，且n32.由(ny1 3)(ny23)(y12)(y2 2)0 得，(n21)y1y2(3n2)(y1y2)130，16(n21)(3n2)4n130，4n28n30，解得，n32(舍去)或n12，所以直线l的方程是：x12y4，即 2xy80.14.(2018 绍兴模拟)如图，已知函数y2x图象上三点C，D，E，直线CD经过点(1，0)，直线CE经过点(2，0).(1)若|CD|10，求直线CD的方程；(2)当CDE的面积最小时，求点C的横坐标.解设C(x1，y1)，D(x2，y2)，E(x3，y3)，直线CD的方程

24、为：xmy1.由xmy1，y2x得：y2my10，从而y1y2 1，y1y2m.(1)由题意，得|CD|1m2m2410，得m1，故所求直线方程为xy1，即xy10.(2)由(1)知y21y1，同理可得y32y1，E4y21，2y1，并不妨设y10，则E到直线CD的距离为d4y212my111m2，19SCDE121m2m244y212my111m212m244y212my11，而my1y2y11y1，所以SCDE12y211y2122y21112y11y12y211，得SCDE12y13y12y31.考虑函数f(x)x3x2x3，令f(x)13x26x4x43x26x40，得x23332时f

25、(x)有最小值，即x1y213332时，CDE的面积最小，也即CDE的面积最小时，点C的横坐标为3332.15.(2018 湖州调研)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，短轴长为2.直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，又l与直线y12x，y12x分别交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且OAB的面积为2(O为坐标原点).(1)求椭圆C的方程；(2)求OMON的取值范围.解(1)由于b 1 且离心率e22，caa21a22，则a22，因此椭圆的方程为x22y21.(2)联立直线l与直线y12x，可得点A2m12k，m12k，联立直线l与直线y12x，可得点

26、B2m1 2k，m1 2k，20又点A在第一象限，点B在第二象限，2m12k0，2m12k0，m（12k）0，化为m2(1 4k2)0，而m20，14k20.又|AB|2m12k2m12k2m12km12k24|m|14k21k2，原点O到直线l的距离为|m|1k2，即OAB底边AB上的高为|m|1k2，S OAB124|m|1k214k2|m|1k22m21 4k22，m214k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l代入椭圆方程，整理可得：(1 2k2)x2 4kmx2m220，x1x24km12k2，x1x22m2 212k2，16k2m2 4(1 2k2)(2m22)48k20，则k20，y1y2(kx1m)(kx2m)m22k212k2，OMONx1x2y1y22m221 2k2m22k212k2812k27.0k214，1 2k2 1，32，812k2163，8，OMON 53，1.故OMON的取值范围为53，1.