2023年北京大兴区高三上学期期末数学试题及答案.pdf

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1、第1页/共11页 2023 北京大兴高三（上）期末 数 学 第一部分 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合|12Axx=，则A=R（A）|12x xx，或（B）|12x xx，或（C）|12x xx，或（D）|12x xx，或（2）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（A）lnyx=（B）tanyx=（C）3yx=（D）1yx=（3）在5(1)x 展开式中，2x的系

2、数为（A）10（B）5（C）10（D）5（4）记nS为等差数列na的前n项和已知33S=，52a=，则（A）na为递减数列（B）30a=（C）nS有最大值（D）60S=（5）已知抛物线24yx=上一点M与其焦点F的距离为 5，则点M到 x 轴的距离等于（A）3（B）4（C）5（D）4 2（6）“0a=”是“直线210()xayaa+=R与圆221xy+=相切”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过(2 1)A ，和32()24B，两点，则曲线 C 的离心率等于（A）

3、12（B）22（C）32（D）62（8）已知数列na中，11a=，12nnnaa+=，*nN，则下列结论错误的是（A）22a=（B）432aa=（C）2na是等比数列（D）12122nnnaa+=第2页/共11页（9）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成。现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若AGxAByAD=+，则2xy+等于（A）25（B）45（C）1（D）2（10）已知函数2cos()23xf xxx=+，给出下列结论：()f x是周期函数；()f x最小值是12；()

4、f x的最大值是12；曲线()yf x=是轴对称图形则正确结论的序号是（A）（B）（C）（D）第二部分 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）已知复数z满足i1 iz=+，则|z=（12）一个袋子中装有 5 个不同颜色但大小相同的球，其中 2 个红球，3 个白球，从中依次摸出 2 个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是 （13）在ABC中，22 2ab=，若4A=，则c=；若满足条件的三角形有两个，则A的一个值可以是 （14）已知函数241()ln11xxaxf

5、xxx+=+，.若0a=，则函数()f x的值域为；若函数()2yf x=恰有三个零点，则实数 a 的取值范围是 （15）在正方体ABCDA B C D 中，O为正方形A B C D 的中心.动点P沿着线段CO从点C向点O移动，有下列四个结论：存在点P，使得PAPB=；三棱锥ABDP的体积保持不变；PA B的面积越来越小；线段AB上存在点Q，使得直线PQ直线，且直线PQ直线OC；则上述结论中，所有正确结论的序号是 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 14 分

6、）A BAHFDCBEG第3页/共11页 函数()sin()(0,0,0)2f xAxA=+部分图象如图所示，已知41=xx.再从条件、条件、条件 这三个条件中选择两个作为已知（）求函数()f x的解析式；（）求()f x的单调减区间 条件：112=x；条件：26=x；条件：32=x 注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分 （17）（本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，90ABDCBAD=，PAB为等边三角形，且平面PAB底面ABCD，223ABCDAD=，MQ，分别为PDAB，的中点.（）求证：PB平面MQC（）求直线PC与平面MQC所成角的正

7、弦值；（18）（本小题 14 分）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A B C，三类歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三类歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每类歌曲的歌名相互独立，猜对三类歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：（）求甲按“A B C，”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；（）若0.25p=，设甲按“A B C，”的顺序猜歌名获得的奖励基金总额为X，求X的分布列及数学期望E(X)；（）写出p的一个取值，使得甲按“A B C，”的顺序猜歌名比按“C B A，”的顺序猜歌

8、名所得奖励基金的期望高.（结论不要求证明）歌曲类别 ABC猜对的概率 0.8 0.5 p获得的奖励基金额/元 1000 2000 3000 第4页/共11页（19）（本小题 14 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=经过直线:220l xy+=与坐标轴的两个交点.（）求椭圆E的方程；（）A为椭圆E的右顶点，过点(2,1)的直线交椭圆E于点,M N，过点M作x轴的垂线分别与直线lAN，交于点,P Q，求证：P为线段MQ的中点.（20）（本小题 15 分）已知函数()ln()(1)f xxxa a=+（）当函数()yf x=在1x=处的切线斜率为 0 时，求a的值；（）判断函数()yf

9、 x=单调性并说明理由；（）证明：对120)xx+，有2121|()()|f xf xxx成立.（21）（本小题 14 分）已知数列(1,2,2022)nan=，122022,a aa为从 1 到 2022 互不相同的整数的一个排列，设集合1|,0,1,2,2022jn iiAx xanj+=,A中元素的最大值记为M,最小值记为N.（）若数列na为:1 3 52019 2021 20222020 20184 2，,且3j=，写出MN，的值；（）若3j=，求 M 的最大值及 N 的最小值；（）若6j=，试求 M 的最小值.第5页/共11页 参考答案 一、选择题一、选择题（共 10 小题，每小题

10、4 分，共 40 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C B B A D D D B 二、填空题二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）2（12）34（13）2；(0)4，之间的任意一个角都可以（14）4)+，；(3 6)，（15）（只写对一个 2 分，只写对二个 3 分）三、解答题三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（本小题 14 分）解：由图可知41=xx，所以=T.2 分 又知22T=.4 分 所以()sin(2)=+f xAx.（）若选择条件，即若选择条件，即112=x，26=x.因为1()()sin()0126=+=f xfA.由

11、图可知2 6kk+=Z，即2 6k=+.6 分 因为02，所以当0=k时，6=.8 分 所以()sin(2)6=f xAx.又因为2()()sin166=f xfA.所以2=A.10 分 所以()2sin(2)6=f xx.若选择条件,即若选择条件,即112=x，32=x.第6页/共11页 因为1()()sin()0126=+=f xfA.由图可知2 6kk+=Z，即2 6k=+.因为02，所以当0=k时，6=.所以()sin(2)6=f xAx.又因为3()()sin126=f xfA,所以2=A.所以()2sin(2)6=f xx.若选择条件,若选择条件,即26=x，32=x.因为23()

12、()f xf x=,由图可知，当1223xxx+=时()f x取得最大值，即()3fA=，sin(2)3AA+=由2sin()13+=得22 32kk+=+Z，因为02，所以6=.又2()()16f xf=，所以2A=.所以()2sin(2)6=f xx.（）因为函数sinyx=的单调递减区间为32,2 22kk+，Zk，由3222262+kxk，Zk，2 分 得536+kxk，Zk.第7页/共11页 所以()f x单调递减区间为5,36+kk，Zk.4 分（17）（本小题 14 分）解：（）连结QDBD，BD与QC交于点O，1 分因为底面ABCD是直角梯形，ABDC,Q为AB的中点.所以BQ

13、DCBQDC=且，即BQDC为平行四边形，所以点O是BD中点，连结OM，所以PBMO.3 分 又因为PB平面MQC，MO平面MQC，所以/PB平面MQC.5 分（）因为PAB为等边三角形，Q为AB的中点，所以PQAB.又面PAB面ABCD，面PAB面=ABCDAB，所以PQ面ABCD，又因为90ABDCBAD=，所以BQCQ.如图建立空间直角坐标Qxyz，2 分 可知()0 0 0Q，(003)P，(03 0)C，133()222M，易知(0,3,3)=PC，4 分 设面MQC的法向量为()nxyz=，且(3 0)QC=0，133()222QM=，00n QCn QM=，301330222yx

14、yz=+=，即 所以(301)n=，6 分 设PC与平面MQC所成角为，7 分 则32sincos4333 1，=+PCn，9 分 所以PC与平面MQC所成角的正弦值为24.（18）（本小题 14 分）解：解：（）设“甲按“A B C，”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，1 分 则()0.80.5(1)0.80.50.4P Epp=+=.5 分 所以，甲按“A B C，”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名的概率为 0.4.第8页/共11页（）X的所有可能取值为 0，1000，3000，6000，1 分()010.80.2P X=，()10000.8(10.5)0.4P X=，()()30000

15、.80.510.250.3P X=，()60000.80.50.250.1P X=，5 分 所以随机变量X的分布列为 X0100030006000P0.2 0.4 0.30.1所以()00.210000.430000.360000.11900E X=+=.7 分（）00.5p均可.2 分（19）（本小题 14 分）解：（）直线:220l xy+=与坐标轴的两个交点为(2,0),(0,1)，2 分 由于ab，所以2a=，1b=，4 分 所以椭圆E的方程为2214xy+=.5 分（）设过点(2,1)的直线为1l，由题意直线l斜率存在，设1l方程为1(2)yk x=，即(12)ykxk=+.1 分

16、由22(12)14ykxkxy=+=，消元得22412)4xkxk+=（，整理得222(14)8(12)16160kxkk xkk+=.2 分 由2228(12)4(14)(1616)640kkkkkk=+=，可得0k.3 分 设1122(,),(,)M x yN xy，则 1228(12)14kkxxk+=+，2122161614kkxxk=+.4 分 由题意，将1xx=，代入:220l xy+=得112(,)2xP x，5 分 直线AN的方程为22(2)2yyxx=，6 分 令1xx=得2112(2)(,)2yxQ xx，7 分 所以21112(2)2222yxxyx+第9页/共11页 2

17、112122(2)22)2)2yxy xxxx+=（）+(211212212)(2)12)22)2)2kxkxkxkxxxx+=（）+(1212221)41)()82kx xkxxkx+=（-(222221)(161641)8(12)8(14)(14)(2)kkkkkkkkkx+=+（-)+(3232322(321616(64168(832)0(14)(2)kkkkkkkkkx+=+-)+)所以，点P是线段MQ的中点.9 分（20）（本小题 15 分）解：（）()ln()f xxxa=+，所以11()2fxxax=+，2 分 由(1)0f=，得11012 1a=+，所以1a=.4 分（）函数(

18、)yf x=在(,)0+单调递增.1 分因为1a，所以函数()f x定义域为0)+，.2 分 112()22()xxafxxaxx xa+=+，因为22(1)11xxaxaa+=+.4 分 因为1a，所以()0fx.5 分 因此函数()yf x=在区间()+0，上单调递增.（）证明：当12xx=时，显然有2121|()()|f xf xxx=，不等式成立；1 分 当12xx时，不妨设12xx，2 分 由于函数()f x在区间()+0，上单调递增，所以2121|()()|()()f xf xf xf x=，又2121|xxxx=，则2121|()()|f xf xxx2121()()()f xf

19、 xxx=221121ln()ln()xxaxxaxx=+12ln()ln()xaxa=+第10页/共11页 12lnxaxa+=+.4 分 因为12xx，所以210 xaxa+，所以1201xaxa+，所以12ln0 xaxa+.6 分 综上，对任意的12,0)x x+，2121|()()|f xf xxx成立.（21）（本小题 14 分）解：（）6063M=，9N=.4 分（）N最小值为 6，M的最大值 6063.证明：对于 1，2，2021，2022 的一个排列na，若3j=，则 A 中的每一个元素为312310,1,2,.,2019n innnixaaaan+=+=，由题意31max(

20、)0,1,2,2019n iiMan+=，那么，对于任意的na，总有2020202120226063M+=.同理，由题意31min()0,1,2,2019n iiNan+=，那么，对于任意的na，总有1236N+=，4 分 当nan=(1 22022)n=，时，满足:6N=，6063M=.5 分（）M 的最小值为 6069.由于6j=，对于 1，2，2021，2022 的一个排列na，A 中的每一个元素为610,1,2,.,2016n iixan+=，由题意61max()0,1,2,2016n iiMan+=，对于任意的na，都有20221+2+20226M，即20222023202262M，

21、6069M.2 分 构造数列na：21,2,1011nan n=，2120231,2,1011nan n=，对于数列na，设任意相邻 6 项的和为 T，则21221222324nnnnnnTaaaaaa+=+，或22122232425nnnnnnTaaaaaa+=+若21221222324nnnnnnTaaaaaa+=+，则第11页/共11页(1)(2)(2023)+20231)(20232)Tnnnnnn+=（=20233=6069，1,2,1009n=若22122232425nnnnnnTaaaaaa+=+，则(1)(2)Tnnn=+(20231)(20232)(20233)nnn+=202236066=，（1,2,1008n=）所以6069T，即对这样的数列na，6069M=，又6069M，所以M的最小值为6069.5 分