【精品】2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第15练空间线面关系的判断试题.pdf

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1、1第 15练空间线面关系的判断 明晰考情 1.命题角度：空间线面关系的判断；空间中的平行、垂直关系；利用空间的平行、垂直关系求解空间角.2.题目难度：中档难度考点一空间线面位置关系的判断方法技巧(1)判定两直线异面的方法：反证法；利用结论：过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线(2)模型法判断线面关系：借助空间几何模型，如长方体、四面体等观察线面关系，再结合定理进行判断(3)空间图形中平行与垂直的实质是转化思想的体现，要掌握以下的常用结论：平面图形的平行关系：平行线分线段成比例、平行四边形的对边互相平行；平面图形中的垂直关系：等腰三角形的底边上的中线和高重合、菱形的对角

2、线互相垂直、圆的直径所对圆周角为直角、勾股定理1 已知直线a与平面，a?，点B，则在 内过点B的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一一条与a平行的直线答案D 解析在平面内过一点，只能作一条直线与已知直线平行2下列说法正确的是()A若直线l平行于平面 内的无数条直线，则lB若直线a在平面 外，则aC若直线ab?，直线b?，则a D若直线ab，b?，那么直线a就平行于平面 内的无数条直线答案D 解析A错误，直线l还可以在平面 内；B错误，直线a在平面 外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面 相交或在平面 内故选D.23将正方体的纸

3、盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是()A平行B垂直C相交成60角D异面且成60角答案D 解析如图，直线AB，CD异面因为CEAB，所以ECD即为异面直线AB，CD所成的角，因为CDE为等边三角形，故ECD60.4如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C，则B1C与AB的位置关系为 _答案垂直解析连接BO，AO平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，AOB1C.又侧面BB1C1C为菱形，B1CBO，又AOBOO，AO，BO?平面ABO，B1C平面ABO.AB?平面ABO，B1CAB.3考点二空间角的求解方法技巧(1)对于

4、两条异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置(2)直线和平面所成的角的求解关键是找出或作出过斜线上一点的平面的垂线，得到斜线在平面内的射影5(2018全国)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC 1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.22答案C 解析方法一如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体ABBAA1B1B1A1.连接B1B，由长方体性质可知，B1BAD1，所以DB1B为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角连接DB，由题意，得DB12 1125，BB112322，DB11212

5、325.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BB21DB212BB1DB1cosDB1B，即 545225cosDB1B，cosDB1B55.故选 C.方法二如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，3)，B1(1,1，3)，AD1(1,0，3)，DB1(1,1，3)，AD1DB11101(3)22，|AD1|2，|DB1|5，4cosAD1，DB1AD1DB1|AD1|DB1|22555.故选 C.6已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB2，CD4，EFAB

6、，则EF与CD所成的角的大小为()A90B45C60D30答案D 解析设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为ABD，ACD的中位线由此可得GFAB，且GF12AB1，GECD，且GE12CD2，FEG或其补角即为EF与CD所成的角又EFAB，GFAB，EFGF.因此，在RtEFG中，GF1，GE2，sin GEFGFGE12，又GEF为锐角，GEF30.EF与CD所成的角的大小为30.7.已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，AD的中点，则直线EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是()A.26B.36C.13D.66答案B 解析连接AE，BD，过点F作FHB

7、D交BD于H，连接EH，则FH平面BDD1B1，5FEH是直线EF和平面BDD1B1所成的角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱BB1，AD的中点，在 Rt DFH中，DF1，FDH45，可得FH22DF22.在 RtAEF中，AF1，AEAB2BE25，可得EFAF2AE26.在 RtEFH中，sin FEHFHEF36，直线EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是36.8如图，设E，F分别是正方形ABCD中CD，AB边的中点，将ADC沿对角线AC对折，使得直线EF与AC异面，记直线EF与平面ABC所成的角为，与异面直线AC所成的角为，则当 tan 12时，tan 等于

8、()A.3516B.55C.5117D.5719答案C 解析分别连接BD交AC于点O，连接DO.因为ADCD，所以DOAC，又因为ACBD，BDDOO，所以AC平面BDD，又BD?平面BDD，所以ACBD.取BC的中点S，连接FS，ES，则FSAC，ESBD，所以FSES，又因为EFS为异面直线AC与EF所成的角，所以 tan ESFS12，设ES1，则FS2，AC4，6取CO的中点G，连接EG，SG，则EGSG1，所以EGS为等边三角形，过点E作EHGS，由上可知ACEG，ACSG且EGSGG，则AC平面EGS.又EH?平面EGS，所以EHAC，又GSACG，所以EH平面ABCD，所以EFH

9、为EF与平面ABCD所成的角，因为EH32，FH414172，所以 tan EFHEHFH5117，故选 C.考点三立体几何中的动态问题方法技巧(1)考虑动态问题中点线面的变化引起的一些量的变化，建立目标函数，用代数方法解决几何问题(2)运动变化中的轨迹问题的实质是寻求运动变化过程中的所有情况，发现动点的运动规律(3)运动过程中端点的情况影响问题的思考，可以利用极限思想考虑运动变化的极限位置9.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ABBC1，ABC90，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点有下列判断：直线AC与直线C1E是异面直线；A1E一定不垂直于AC1；三棱锥EAA1

10、O的体积为定值；AEEC1的最小值为22.其中正确的个数是()A1B2C 3D4 答案C 解析因为点A?平面BB1C1C，所以直线AC与直线C1E是异面直线；当A1EAB1时，直线A1E平面AB1C1，所以A1EAC1，错误；球心O是直线AC1，A1C的交点，底面OAA1面积不变，直线BB1平面AA1O，所以点E到底面的距离不变，体积为定值；将矩形AA1B1B和矩形BB1C1C展开到一个面内，当点E为AC1与BB1的交点时，AEEC1取得最小值22，7故选 C.10已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1与平面A1B1C1D1垂直，且ADAB，E为CC1的中点，P在对角面BB1D1D

11、所在平面内运动，若EP与AC成 30角，则点P的轨迹为()A圆B抛物线C双曲线D椭圆答案A 解析因为在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1与平面A1B1C1D1垂直，且ADAB，所以该平行六面体ABCDA1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面BB1D1D底面ABCD，AC对角面BB1D1D.取AA1的中点F，则EFAC，因为EP与AC成 30角，所以EP与EF成 30角设EF与对角面BB1D1D的交点为O，则EO对角面BB1D1D，所以点P的轨迹是以EO为轴的一个圆锥的底面，故选A.11.如图在正四面体(所有棱长都相等)DABC中，动点P在平面BCD上，且满足PAD30，

12、若点P在平面ABC上的射影为P，则 sin PAB的最大值为()A.624B.624C.32D.12答案A 解析以AD为轴，DAP30，AP为母线，围绕AD旋转一周，在平面BCD内形成的轨迹为椭圆，当且仅当点P位于椭圆的长轴端点(图中点M的位置)时，PAB最大，此时ADDM，且DMBC.设正四面体DABC的各棱长为2，在 RtADM中，AD2，MAD30，则MD23，AM43.过点D作正四面体DABC的高DO，O为底面正三角形ABC的中心，连接AO，作MP平面ABC于点P，连接PO，并延长交AB于点N，因为DMBC，MP平面ABC，DO平面ABC，所以MPDO且MPDO，四边形MPOD为矩形，

13、所以PODM23，ON23，所以PN2323.又在正四面体DABC中，AO32223233，所以DOAD2AO2263，所以MP263.8在 RtAOP中，APAM2MP2263，于是在APN中，由正弦定理可得2323sin PAB26332，解得 sin PAB624，故选 A.12如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则 cos 的最大值为_答案25解析如图，建立空间直角坐标系Axyz，设AB2，QMm(0m2)，则F(2,1,0)，E(1,0,0)，M(0，m,2)(0 m2)AF

14、(2,1,0)，ME(1，m，2)，cos|cosAF，ME|AFME|AF|ME|2 m|5m25|m2|5m2 25.9设ym225m225，则y2m25m225 m2210m5m2252m2 10m2 50 m2 10m5m2252m2 5020m5m2252.当 0m2 时，y 0，ym225m225在(0,2)上单调递减当m 0时，y取最大值，此时cos 取得最大值，(cos)max|0 2|5022525.1，是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定 的是()A，都平行于直线l，mB 内有三个不共线的点到 的距离相等Cl，m是 内的两条直线且l，m Dl，m是两条异面直线且l，m，

15、l，m答案D 解析对于 A，l，m应相交；对于B，应考虑三个点在 的同侧或异侧两种情况；对于C，l，m应相交，故选D.2给出下列命题：若平面 内的直线a与平面 内的直线b为异面直线，直线c是 与 的交线，那么c至多与a，b中的一条相交；若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；一定存在平面 同时和异面直线a，b都平行其中正确的命题为()ABCD答案C 解析错，c可与a，b都相交；错，因为a，c也可能相交或平行；正确，例如过异面直线a，b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即满足条件3在等腰直角ABC中，ABAC，BC2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为BC边上一个动点，ABD沿A

16、D翻折使BDDC，点A在平面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动10时，以下说法错误的是()A线段NO为定长BCO1，2)CAMOADB180D点O的轨迹是圆弧答案C 解析如图所示，对于A，AOC为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，ON12AC为定长，即 A正确；对于B，D在M时，AO1，CO1，CO1，2)，即 B正确；对于 D，由 A可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确，故选C.解题秘籍(1)平面的基本性质公理是几何作图的重要工具(2)两条异面直线所成角的范围是(0，90(3)线面关系的判断要结合空间模型或实例，以定理或结论为依据进行推理，绝不能主观判断(4)立体几何中的动态问题要搞清运

17、动的实质，选用恰当的方法解题1已知直线a平面，则“直线a平面”是“平面平面”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A 解析若直线a平面，直线a平面，可得平面平面；若平面平面，又直线a平面，那么直线a?平面，直线a?平面 都可能成立 如正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD平面BCC1B1，直线AD平面BCC1B1，但直线AD?平面ABCD；直线AD1平11面BCC1B1，但直线AD1与平面ABCD不垂直综上，“直线a平面”是“平面平面”的充分不必要条件2.如图，在三棱锥PABC中，不能得出APBC的条件是()AAPPB，APPC BAPPB，BCPB

18、C平面PBC平面APC，BCPC DAP平面PBC答案B 解析A中，因为APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC.又BC?平面PBC，所以APBC，故 A可以得出APBC；C中，因为平面BPC平面APC，且平面BPC平面APCPC，BCPC，BC?平面PBC，所以BC平面APC.又AP?平面APC，所以PABC，故 C可以得出APBC；D中，由 A知 D可以得出APBC；B中条件不能得出APBC，故选 B.3已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：若 m，n?，nm，则 ；若m，m，则 ；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则.其中正确的命题是()A B C D答

19、案B 解析两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确4.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，12在此几何体中，给出下面4 个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确的有()A1 个B 2个C3 个D 4个答案B 解析将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，

20、所以EFADBC，即直线BE与CF共面，错；因为B?平面PAD，E平面PAD，E?AF，所以BE与AF是异面直线，正确；因为EFADBC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF平面PBC，正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，错故选B.5平面 过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案A 解析如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1，13 平面CB1D1，则m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，

21、同理可得CD1n.故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小而B1CB1D1CD1(均为面对角线)，因此CD1B13，得 sin CD1B132，故选 A.6如图，四边形ABCD为矩形，平面PCD平面ABCD，且PCPDCD2，BC22，O，M分别为CD，BC的中点，则异面直线OM与PD所成角的余弦值为()A.64B.63C.36D.33答案C 解析连接BD，OB，则OMDB，PDB或其补角为异面直线OM与PD所成的角由条件可知PO平面ABCD，14OB 3，PO3，BD 23，PB23，在PBD中，由余弦定理可得cosPDB41212222336.7(2018

22、浙江省杭州市第二中学模拟)等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD的侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：四面体EBCD的体积有最大值和最小值；存在某个位置，使得AEBD；设二面角DABE的平面角为，则 DAE；AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆其中，正确说法的个数是()A1B2C 3D4 答案D 解析根据正四面体的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到当直角边AE绕斜边AB旋转的过程中，存在着最高点和最低点，并且最低点在底面的上方，所以四面体EBCD的体积有最大值和最小值，故正确；要想使AEBD，就要使AE落在竖直方向的平面

23、内，而转到这个位置的时候，使得AEBD，且满足是等腰直角三角形，所以正确；利用二面角的平面角的定义，找到其平面角，设二面角DABE的平面角为，则DAE，所以是正确的；根据平面截圆锥所得的截面可以断定，AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆，所以正确故正确的命题的个数是4，故选 D.8(2018浙江省杭州市学军中学模拟)已知在矩形ABCD中，AD2AB，沿直线BD将ABD折成ABD，使得点A在平面BCD上的射影在BCD内(不含边界)，设二面角ABDC的大小为，直线AD，AC与平面BCD所成的角分别为，则()AB CD 答案D 解析如图，四边形ABCD为矩形，BAAD

24、，15当A点在底面上的射影O落在BC上时，有平面ABC底面BCD，又DCBC，平面ABC平面BCDBC，DC?平面BCD，可得DC平面ABC，则DCBA，BA平面ADC，在 RtBAC中，设BA 1，则BC2，AC1，说明O为BC的中点；当A点在底面上的射影E落在BD上时，可知AEBD，设BA 1，则AD2，AE63，BE33.要使点A在平面BCD上的射影F在BCD内(不含边界)，则点A的射影F落在线段OE上(不含端点)可知AEF为二面角ABDC的平面角，直线AD与平面BCD所成的角为ADF，直线AC与平面BCD所成的角为ACF，可求得DFCF，ACAD，且AE631，而AC的最小值为1，si

25、n ADFsin ACFsin AEO，则.9如图，DC平面ABC，EBDC，EB2DC，P，Q分别为AE，AB的中点则直线DP与平面ABC的位置关系是_答案平行解析连接CQ，在ABE中，P，Q分别是AE，AB的中点，所以PQBE，PQ12BE.16又DCEB，DC12EB，所以PQDC，PQDC，所以四边形DPQC为平行四边形，所以DPCQ.又DP?平面ABC，CQ?平面ABC，所以DP平面ABC.10，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么 ；如果m，n，那么mn；如果，m?，那么m；如果mn，那么m与 所成的角和n与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有

26、正确命题的序号)答案解析当mn，m，n 时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确11.如图，在三棱锥SABC中，若AC23，SASBSCABBC4,E为棱SC的中点，则直线AC与BE所成角的余弦值为_，直线AC与平面SAB所成的角为 _答案1460解析取SA的中点M，连接ME，BM，则直线AC与BE所成的角等于直线ME与BE所成的角，因为ME3，BMBE23，cosMEB31212232 314，所以直线AC与BE所成角的余弦值为14.取SB的中点N，连接AN，CN，则ANSB，CNSB?SB平面ACN?平面SAB平面ACN，因此直线AC与平面SAB所成的角为CAN，因为ANCNA

27、C23，所以CAN60，因此直线AC与平面SAB所成的角为60.12在正方体ABCDA1B1C1D1中(如图)，已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；17二面角PAD1C的大小不变；若M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1.其中真命题的序号是_答案解析1AD PCV1CAD PV13B1C21211AD C BS为定值；因为BC1AD1，所以BC1平面AD1C，因此P到平面AD1C的距离不变，但AP长度变化，因此直线AP与平面ACD1所成的角的大小变化；二面角PAD1C的大小就是平面ABC1D1与平面AD1C所成二面角的大小，因此不变；到点D和C1距离相等的点在平面A1BCD1上，所以M点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1.综上，真命题的序号是.