【精品】2019高考数学二轮复习专题二立体几何规范答题示例4空间角的计算问题学案.pdf

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1、1规范答题示例 4 空间角的计算问题典例 4(15 分)(2017 浙江)如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E为PD的中点(1)证明：CE平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值审题路线图方 法 一(1)取PA的中点为F，连接EF，FB证明四边形BCEF为平行四边形CEBFCE平面PAB规 范 解 答分步 得 分构 建 答 题 模 板方法一(1)证明如图，设PA的中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA中点，所以EFAD且EF12AD，又因为BCAD，BC12AD，所以EFBC且EFBC，所以四

2、边形BCEF为平行四边形，所以CEBF.4 分因为BF?平面PAB，CE?平面PAB，因此CE平面PAB.6 分第一步找平行：通过三角形中位线，找出线线平行进而得到线面平行第二步找夹角：通过作辅助线及线线、线面及面面之间的关系找到夹角第三步找关系：由图形找出各线段之间的长度关系，进而求得夹角的2(2)解分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF的中点，在平行四边形BCEF中，MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中点得BNAD，又PNBNN，PN，BN?平面PBN，所以AD平面PBN.9

3、 分由BCAD得BC平面PBN，又BC?平面PBC，那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.MH是MQ在平面PBC上的投影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.12 分设CD1.在PCD中，由PC2，CD1，PD2得CE2，在PBN中，由PNBN1，PB3得QH14，在 RtMQH中，QH14，MQ2，所以 sin QMH28，所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是28.15 分正弦值.第四步得结论：得到所求夹角的正弦值.审题路线图方法二(1)取AD中点为O，连接OB，OPAD平面OPB 以O为原点建立空间直角坐标系，求各点的坐标 求平面PAB的法向量n和CE

4、的坐标CEn 0 得出结论(2)求平面PBC的法向量m 利用 sin|cos CE，m|求线面角的正弦值3规 范 解 答分步 得 分构 建 答 题 模 板方法二(1)证明设AD的中点为O，连接OB，OP.PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，OPAD.BC12ADOD，且BCOD，四边形BCDO为平行四边形，又CDAD，OBAD，OPOBO，OP，OB?平面OPB，AD平面OPB.2 分过点O在平面POB内作OB的垂线OM，交PB于M，以O为原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图.4 分设CD1，则有A(0，1,0)，B(1,0,0)，C(1

5、,1,0)，D(0,1,0)设P(x,0，z)(z0)，由PC2，OP1，得x121z24，x2z21，解得x12，z32.即P12，0，32，E为PD的中点，E14，12，34.设平面PAB的法向量为n(x1，y1，z1)，AP 12，1，32，AB(1,1,0)，nAP0，nAB0，即12x1y132z10，x1y10，解得x1y1，z13y1，令y 1，得n(1，1，3).7分第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出点坐标第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量.第四步求夹角：计算向量的夹角第五步得结论：得到所求两个平面所成的

6、角或直线和平面所成的角.4而CE 54，12，34，CEn0，又CE?平面PAB，CE平面PAB.10 分(2)解设平面PBC的法向量为m(x2，y2，z2)，BC(0,1,0)，BP 32，0，32，mBC0，mBP0，即y20，32x232z20，令x21，得m(1,0，3).13分设直线CE与平面PBC所成的角为，则 sin|cos CE，m|CEm|CE|m|28.故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为28.15 分评分细则(1)方法一第(1)问中证明CE平面PAB缺少条件扣1 分，第(2)问中证明PNAD和BNAD各给 1 分(2)方法二中建系给2 分，两个法向量求出1 个给 3 分

7、，没有最后结论扣1 分，法向量取其他形式同样给分跟踪演练4(2018全国)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值(1)证明由已知可得BFPF，BFEF，PFEFF，PF，EF?平面PEF，所以BF平面PEF.又BF?平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)解方法一如图，作PHEF，垂足为H.5由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE3.又PF1，EF2，所以PEPF.所以PH32，EH32.则H(0,0,0)，P0，0，32，D1，32，0，DP 1，32，32，HP 0，0，32.又HP为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成的角为，则 sin|HPDP|HP|DP|34334.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.方法二过点P作PHEF，垂足为H，连接DH.由(1)可得PH平面ABFD，所以PDH即为DP与平面ABFD所成的角设PD2a，则PH32a，所以 sin PDHPHDP34，即DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.