【精品】2019高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式第3讲利用导数研究函数的单调性学案.pdf

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1、1第 3 讲利用导数研究函数的单调性高考定位理解导数的几何意义是曲线上某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；常以指数、对数式为载体，考查函数单调性的求法或讨论真 题 感 悟1(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析利用导数与函数的单调性进行验证f(x)0 的解集对应yf(x)的增区间，f(x)0 的解集对应yf(x)的减区间，验证只有D选项符合答案D 2(2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(

2、，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a 0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增若a0，则由f(x)0，得xln a2.当x，lna2时，f(x)0.故f(x)在，lna2上单调递减，在区间lna2，上单调递增(2)当a0 时，f(x)e2x0恒成立2若a0)，g(x)kx(x0)，过点1615，f1615且与f(x)相切的直线与g(x)也相切则k的值为 _解析(1)由题意知，y2x，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率ky|x12，故所求切线方程为y0 2(x1)，即y2x2.(2)f(x)154x，f16154，可得切点为1615，415，切线方程为y4x4，由题

3、设可知切线相同，g(x)kx24，3xk4，4k44kk4，解得k 1.答案(1)y2x 2(2)1 探究提高(1)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化 以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解(2)解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系【训练 1】(1)(2018 全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()Ay 2xByxCy

4、2xDyx(2)(2018 全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为2，则a _解析(1)法一因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以 2(a 1)x20.因为xR，所以a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选 D.法二因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(1)f(1)0，所以 1a1a(1 a1a)0，解得a1，此时f(x)x3x(经检验，f(x)为奇函数)，所以f(x)3x21，所以f(0

5、)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选 D.法三易知f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)x2(a1)xa为偶函数，所以a10，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选 D.(2)y(ax1a)ex，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为2，得y|x0(ax1a)ex|x01a 2，所以a 3.答案(1)D(2)3 热点二求不含参数的函数的单调性【例 2】(2016北京卷)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方

6、程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)f(x)的定义域为R.4f(x)ea xxea xb(1 x)eaxb，依题设，f（2）2e2，f（2）e1，即2ea22b2e2，ea 2be1.解得a 2，be.(2)由(1)知f(x)xe2xex，由f(x)e2 x(1xex1)及 e2x0 知，f(x)与 1x ex1同号令g(x)1x ex1，则g(x)1ex1.所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(，1)上单调递减；当x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1 是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)

7、，综上可知，f(x)0，x(，)故f(x)的单调递增区间为(，)探究提高确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0)令y0，得 0 x1，递减区间为(0，1 答案B 热点三利用函数的单调性求参数【例 3】(2018杭州调研)已知函数f(x)ln x，g(x)12ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4 上单调递减，求实数a的取值范围解(1)h(x)ln x12ax22x，x(0，)，

8、所以h(x)1xax2，由h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，5)时，1xax21x22x有解设G(x)1x22x，所以只要aG(x)min即可而G(x)1x121，所以G(x)min 1.所以a1.(2)由h(x)在1，4 上单调递减得，当x1，4 时，h(x)1xax20 恒成立，即a1x22x恒成立设G(x)1x22x，所以aG(x)max，而G(x)1x121，因为x 1，4，所以1x14，1，所以G(x)max716(此时x4)，所以a716.探究提高利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间方法一：转化为“f(x)0(0(

9、0(0 得x1e，令f(x)0 得0 x0”是“f(x)在 R上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析f(x)32x2a，当a0 时，f(x)0 恒成立，故“a0”是“f(x)在 R上单调递增”的充分不必要条件答案A 73曲线ye 2x1 在点(0，2)处的切线与直线y0 和yx围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D1 解析因为y 2e2x，曲线在点(0，2)处的切线斜率k 2，切线方程为y 2x2，该直线与直线y0 和yx围成的三角形如图所示，其中直线y 2x2 与yx的交点为A23，23，所以三角形面积S1212313.答案A 4

10、设函数f(x)12x29ln x在区间 a1，a1 上单调递减，则实数a的取值范围是()A(1，2 B4，)C(，2 D(0，3 解析f(x)12x29ln x，f(x)x9x(x0)，当x9x0时，有 00 且a13，解得1f（m）f（n）2成立，yf(x)为函数yf(x)的导函数，则f(a1)f(a)，f(a)，f(a1)的大小关系为()Af(a)f(a 1)f(a)f(a1)Bf(a)f(a1)f(a1)f(a)Cf(a 1)f(a1)f(a)f(a)Df(a 1)f(a)f（m）f（n）2(mn)，yf(x)的图象上凸，如图所示，又f(a1)f(a)f（a 1）f（a）（a1）a表示两

11、点M，N连线的斜率kMN，f(a)与f(a1)分别表示曲线yf(x)在点M，N处切线的斜率，因此f(a1)kMNf(a)，即f(a1)f(a1)f(a)0 得x1，f(x)的单调递增区间为(1，)，令f(x)0，得x1 且x0，f(x)的单调减区间为(，0)和(0，1)答案(1，)(，0)和(0，1)8已知函数f(x)12x24x3ln x在区间 t，t1 上不单调，则实数t的取值范围是_解析由题意知f(x)x43x（x 1）（x3）x，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1 和 3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间 t，t1 上就不单调，由t1t1 或t3

12、t1，得 0t1 或 2t0，解得a19.所以实数a的取值范围是19，.答案19，10若直线ykxb是曲线yln x2 的切线，也是曲线yln(x 1)的切线，则b9_解析直线ykxb与曲线yln x2，y ln(x1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由yln x2，得y1x；由yln(x1)，得y1x 1.k1x11x21，则x11k，x21k1.y12ln k，y2 ln k，即A1k，2ln k，B1k1，ln k.A、B在直线ykxb上，2ln kk1kb，ln kk1k1 bb1ln 2，k2.答案1ln 2 11(2018北京大学附中模拟)已知yf(x)在点(

13、1，f(1)处的切线方程为yx1，且f(x)ln x1，则函数f(x)_，函数f(x)的最小值为 _解析由f(x)ln x1 得f(x)xln xc，又f(1)0，则c0，所以f(x)xln x又x 0，1e时，f(x)0，f(x)单调递增，则f(x)minf1e1e.答案xln x1e12(2016北京卷)设函数f(x)x33x，xa，2x，xa.(1)若a0，则f(x)的最大值为 _；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_解析(1)当a 0 时，f(x)x33x，x0，2x，x0.若x0，f(x)3x233(x21)由f(x)0 得x 1，由f(x)0 得 1x0.f(x)在(，

14、1)上单调递增；在(1，0)上单调递减，当x0时，f(x)f(1)2.若x0，f(x)2x单调递减，所以f(x)f(0)0.所以f(x)最大值为2.10(2)函数yx33x与y 2x的图象如图由(1)知，当a 1 时，f(x)取得最大值2.当a 1时，y 2x在xa时无最大值，且2a 2.所以a 1.答案(1)2(2)(，1)三、解答题13设函数f(x)13x3a2x21.(1)若a0，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围解(1)由已知得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当x(，0)时，f(x)0；当x

15、(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)(2)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20 成立，即x(2，1)时，a0 时，f(x)的增区间为(0，1)，11减区间为(1，)；当a0 时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0，1)；当a0 时，f(x)3 为常数，不是单调函数(2)由(1)及题意得f(2)a21，即a 2，f(x)2ln x2x3，f(x)2x2x.g(x)x3m22x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，即g(x)0 在区间(t，3)上有变

16、号零点由于g(0)2，g（t）0.当g(t)0，即 3t2(m4)t 20对任意t1，2 恒成立时，由于g(0)0，故只要g(1)0 且g(2)0，即m5 且m 9，即m0，即m373，所以373mn0，求证：ln mln n2（mn）mn.(1)解f(x)1xa（x1）a（x1）（x1）2（x1）22axx（x1）2x2（22a）x1x（x1）2.因为f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)0 在(0，)上恒成立，即x2(2 2a)x10 在(0，)上恒成立，所以 2a2x1x在(0，)上恒成立因为x1x2，当且仅当x1 时，等号成立，12所以 2a22，解得a2.(2)证明要证 ln mln n2（mn）mn，只需证 lnmn2mn1mn1，即证 lnmn2mn 1mn10.设h(x)ln x2（x1）x1，由(1)可知h(x)在(0，)上单调递增，因为mn1，所以hmnh(1)0，即 lnmn2mn 1mn10，所以原不等式成立