【精品】2019高考数学二轮复习解答题专项练5函数与导数理.pdf

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1、试题、试卷、习题、复习、教案精选资料15.函数与导数1.设函数f(x)xln xax，aR.(1)当a1 时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数yf(x)在1e，e 上的最小值；(3)若g(x)f(x)12ax2(2a1)x，求证：a0 是函数yg(x)在x(1,2)时单调递增的充分不必要条件.(1)解由f(x)xln xax，得f(x)ln xa1.当a1 时，f(x)ln x2，f(1)1，f(1)2，求得切线方程为y2x1.(2)解令f(x)0，得xe(a1).当 e(a1)1e，即a0 时，x1e，e 时f(x)0 恒成立，f(x)单调递增，此时f(x)min

2、f 1ea1e.当 e(a1)e，即a 2 时，x1e，e 时f(x)0 恒成立，f(x)单调递减，此时f(x)minf(e)aee.当1ee(a1)e，即 2a0 时，x1e，ea1时f(x)0，f(x)单调递增，此时f(x)minf(e(a1)e(a1).(3)证明g(x)f(x)ax(2a 1)ln xaxa ln xa(x1)，当a0 时，x(1,2)时，ln x0，a(x1)0，g(x)0 恒成立，函数yg(x)在x(1,2)时单调递增，充分条件成立；又当a12时，代入g(x)ln xa(x1)ln x12x12.设h(x)g(x)ln x12x12，x(1,2)，则h(x)1x12

3、2x2x0(x(1,2)恒成立，试题、试卷、习题、复习、教案精选资料2当x(1,2)时，h(x)单调递增.又h(1)0，当x(1,2)时，h(x)0 恒成立.而h(x)g(x)，当x(1,2)时，g(x)0 恒成立，函数yg(x)单调递增，必要条件不成立.综上，a0 是函数yg(x)在x(1,2)时单调递增的充分不必要条件.2.已知函数f(x)ln xax1，aR.(1)若关于x的不等式f(x)x1 在1，)上恒成立，求a的取值范围；(2)设函数g(x)f xx，证明：当ae2时，g(x)在1，e2 上不存在极值.(1)解由f(x)x1，得 ln xax 1x 1.即axln xx22x在1，

4、)上恒成立.设m(x)xln xx22x，x1，则m(x)ln x2x1.x1，)，ln x0，2x10.当x1，)时，m(x)ln x2x11，即a的取值范围是(1，).(2)证明g(x)ln xx1xax2，x1，e2.g(x)1 ln xx21x22ax32xxln x 2ax3.设h(x)2xxln x2a，x1，e2，则h(x)2(1 ln x)1ln x.令h(x)0，得xe.当 1x0；当 exe2时，h(x)0 得 0 x1，由g()x1；若 012a12时，由g()x0 得x1 或 0 x12a，由g()x0 得12ax1，即 0a0 得x12a或 0 x1，由g()x0 得

5、 1x12a；若12a1，即a12时，在()0，上恒有g()x0.综上得，当a0 时，函数g()x在(0,1)上单调递增，在()1，上单调递减；当 0a12时，函数g()x在 0，12a上单调递增，在12a，1 上单调递减，在()1，上单调递增.4.已知函数f(x)xln x，g(x)(x2ax3)ex(a为实数).(1)当a5 时，求函数g(x)的图象在x1 处的切线方程；(2)求f(x)在区间 t，t2(t0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x1，x21e，e，使方程g(x)2exf(x)成立，求实数a的取值范围.试题、试卷、习题、复习、教案精选资料4解(1)当a5 时，g(x)(x2

6、5x3)ex，g(1)e，g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为g(1)4e，所以切线方程为ye4e(x1)，即 4exy 3e0.(2)函数f(x)的定义域为(0，).因为f(x)ln x1，所以在(0，)上，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x 0，1e1e1e，f(x)0f(x)极小值(最小值)当t1e时，在区间 t，t 2 上，f(x)为增函数，所以f(x)minf(t)tln t；当 0t0，则h(x)12x3x2x 3x1x2.当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x 1e，11(1，e)h(x)0h(x)极小值(最小值)因为h1e1e3e2，h(e)3

7、ee 2，h(1)4，所以h(e)h1e42e2e0，所以h(e)0，即a1 时，令h(x)0，x0，x1a，令h(x)0，0 x0 恒成立，h(x)的单调递增区间为(0，).当a1e，即ae 1 时，h(x)在1，e 上单调递减，h(x)minh(e)e1aea0，ae21e1，e21e 1e1，ae21e1；当a11，即a0时，h(x)在 1，e 上单调递增，h(x)minh(1)11a0，a 2；当 1a1e，即 0ae1 时，h(x)minh(1 a)2aaln(1 a)0，0ln(1 a)1，0aln(1 a)2，此时不存在x，使h(x)0 成立.综上，实数a的取值范围为(，2 e2

8、1e 1，.6.已知函数f(x)x3ax2a2x2，aR.(1)若a0，试求函数yf(x)的单调递减区间；(2)若a0，且曲线yf(x)在点A，B(A，B不重合)处切线的交点位于直线x2 上，证明：A，B两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x1，x2，x30,1，总存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围.(1)解函数f(x)的导函数f(x)3x22axa23(xa)xa3.因为a0，由f(x)0，解得a3xa.所以函数yf(x)的单调递减区间为a3，a.试题、试卷、习题、复习、教案精选资料6(2)证明当a0 时，f(x)x32.设在点A(x1，x

9、312)，B(x2，x322)处的切线交于直线x2 上一点P(2，t).因为y 3x2，所以曲线yf(x)在点A处的切线斜率为k3x21，所以在点A处的切线方程为y(x312)3x21(xx1).因为切线过点P，所以t(x312)3x21(2 x1)，即 2x316x21(t2)0.同理可得2x32 6x22(t2)0，两式相减得2(x31x32)6(x21x22)0，即(x1x2)(x21x1x2x22)3(x1x2)(x1x2)0，因为x1x20，所以x21x1x2x223(x1x2)0，即(x1x2)2x1x2 3(x1x2)0.因为x1x2x1x222，且x1x2，所以x1x2x1x2

10、22.从而上式可以化为(x1x2)2x1x2223(x1x2)0，即(x1x2)(x1x24)0.解得 0 x1x24，即A，B两点的横坐标之和小于4.(3)解由题设知，f(0)f(1)f(1)，即 22(a2a3)，解得 1a0，所以 0a2.因为f(x)3(xa)xa3，所以当x 0，a3时，f(x)0，f(x)单调递增.所以当xa3时，f(x)有最小值fa3527a32.从而条件转化为f a3527a320，f0 2 527a32，f1 2527a32.试题、试卷、习题、复习、教案精选资料7由得a33235；由得a335，再根据 0a2，得 0a335.不等式化为1027a3a2a10，所以g(a)为增函数.又g(2)1270，所以当a0，335时，g(a)0 恒成立，即成立.所以a的取值范围为0，335.