【精品】2019高考数学二轮复习专题四解析几何第1讲直线与圆学案.pdf

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1、1第 1 讲直线与圆 考情考向分析 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现热点一直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2?k1k2，l1l2?k1k2 1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC1

2、0，l2：AxByC20 间的距离d|C1C2|A2B2(A2B20)(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0 的距离公式d|Ax0By0C|A2B2(A2B20)例 1(1)已知直线l1：xsin y10，直线l2：x3ycos 1 0，若l1l2，则 sin 2 等于()A.23 B 35 C 35 D.35答案D 解析因为l1l2，所以 sin 3cos 0，所以 tan 3，所以 sin 2 2sin cos 2sin cos sin2 cos22tan 1tan235.(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy20 与直线l2：xky 20 相交于点P，则当实数k变化时，点

3、P到直线xy4 0的距离的最大值为_2答案32 解析由题意得，当k0 时，直线l1：kxy 20 的斜率为k，且经过点A(0,2)，直线l2：xky20 的斜率为1k，且经过点B(2,0)，且直线l1l2，所以点P落在以AB为直径的圆C上，其中圆心坐标为C(1,1)，半径为r2，由圆心到直线xy40 的距离为d|114222，所以点P到直线xy4 0 的最大距离为dr22232.当k0 时，l1l2，此时点P(2,2)点P到直线xy 40 的距离d|2 24|222.综上，点P到直线xy40 的距离的最大值为32.思维升华(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况(2)对解题中

4、可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究跟踪演练1(1)直线ax(a1)y10 与直线4xay20 互相平行，则实数a_.答案2 解析当a0时，a4a1a12，解得a2.当a0 时，两直线显然不平行故a2.(2)圆x2y22x4y3 0的圆心到直线xay 10 的距离为2，则a等于()A 1 B0 C1 D2 答案B 解析因为(x1)2()y222，所以|1 2a1|1a22，所以a0.热点二圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程3x2y2DxEyF0，其中D2E2 4F

5、0，表示以D2，E2为圆心，D2E24F2为半径的圆例 2(1)圆心为(2,0)的圆C与圆x2y24x6y4 0相外切，则C的方程为()Ax2y24x20 Bx2y24x20 Cx2y24x0 Dx2y24x0 答案D 解析圆x2y24x6y 40，即(x2)2(y3)29，圆心为(2,3)，半径为3.设圆C的半径为r.由两圆外切知，圆心距为222 032 53r，所以r2.故圆C的方程为(x2)2y24，展开得x2y24x0.(2)已知圆M与直线 3x4y0 及 3x4y100 都相切，圆心在直线yx4 上，则圆M的方程为()A.()x32(y1)21 B.()x32()y12 1 C.()

6、x32()y12 1 D.()x32(y1)21 答案C 解析到两直线3x4y0 及 3x 4y100 的距离都相等的直线方程为3x4y 50，联立方程组3x4y50，yx4，解得x 3，y 1.两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从而圆M的方程为()x 32()y12 1.故选 C.思维升华解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数跟踪演练2(1)(2016 浙江)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是 _，半径是 _答案(

7、2，4)5 4解析由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2 或a 1.当a2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a 1 时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，5 为半径的圆(2)(2018 天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_答案x2y2 2x0 解析方法一设圆的方程为x2y2DxEyF 0.圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，F 0，2DEF0，4 2DF 0，解得D 2，E0，F0.圆的方程为x2y22x 0.方法二画出示意图如图所示，则OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为

8、(1,0)，半径为1，所求圆的方程为(x 1)2y21，即x2y22x0.热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr?直线与圆相离(2)判别式法：设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0(A2B20)，方程组AxByC0，xa2yb2r2消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为，则直线与圆相离?0.2圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离设圆C1：(xa1)2(yb1)2r21，圆C2：(xa2)2(yb2)2r22，两圆心之间的

9、距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：5(1)dr1r2?两圆外离(2)dr1r2?两圆外切(3)|r1r2|dr1r2?两圆相交(4)d|r1r2|(r1r2)?两圆内切(5)0 d11，故两圆外离(2)(2018 湖州、衢州、丽水三地市模拟)若cR，则“c4”是“直线3x4yc0 与圆x2y22x2y10 相切”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A 解析将圆的方程化为标准方程，得(x 1)2(y 1)2 1，若直线与圆相切，则有|1314c|32421，解得c4 或c 6，所以“c4”是“直线3x 4yc 0 与圆x2y22x2y1 0 相

10、切”的充分不必要条件，故选A.思维升华(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题跟踪演练3(1)已知直线yax与圆C：x2y2 2ax2y20 交于两点A，B，且CAB为等边三角形，则圆C的面积为 _答案6解析圆C化为(xa)2(y1)2a21，且圆心C(a,1)，半径Ra2 1(a21)直线yax与圆C相交，且ABC为等边三角形，6

11、圆心C到直线axy0 的距离为Rsin 60 32a21，即d|a21|a213a212.解得a2 7.圆C的面积为R2(7 1)6.(2)如果圆(xa)2(ya)28 上总存在到原点的距离为2的点，则实数a的取值范围是()A(3，1)(1,3)B(3,3)C1,1 D 3，1 1,3答案D 解析圆心(a，a)到原点的距离为|2a|，半径r22，圆上的点到原点的距离为d.因为圆(xa)2(ya)28 上总存在到原点的距离为2的点，则圆(xa)2(ya)2 8 与圆x2y22 有公共点，r2，所以rr|2a|rr，即 1|a|3，解得1a3或3a 1，所以实数a的取值范围是 3，1 1,3.真题

12、体验1(2016山东改编)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0 所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x1)2(y1)2 1的位置关系是_答案相交解析圆M：x2(ya)2a2，圆心坐标为M(0，a)，半径r1a，圆心M到直线xy0 的距离d|a|2，由几何知识得|a|22(2)2a2，解得a 2.M(0,2)，r12.又圆N的圆心坐标为N(1,1)，半径r21，|MN|102 1222.7又r1r23，r1r21，r1r2|MN|0，所以t12，所以mn3 22.故mn有最小值3 22，无最大值故选B.3 若圆x2y24与圆x2y2ax2ay90(a0)相交，公共弦的长为22，则a_

13、.押题依据本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路答案102解析联立两圆方程x2y24，x2y2ax2ay90，可得公共弦所在直线方程为ax2ay50，故圆心(0,0)到直线ax2ay50 的距离为|5|a24a25a(a0)9故 2225a222，解得a252，因为a0，所以a102.A组专题通关1若322，则直线xcos ysin 1 必不经过()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案B 解析令x 0，得y sin 0，直线过(0，sin)，(cos，0)两点，因而直线不过第二象限2设直线l1：x2y 10 与直线l2：mxy3 0 的交点为A，P，Q分别为l1，

14、l2上任意两点，点M为P，Q的中点，若|AM|12|PQ|，则m的值为()A2 B 2 C3 D 3 答案A 解析根据题意画出图形，如图所示直线l1：x2y10 与直线l2：mxy30 的交点为A，M为PQ的中点，若|AM|12|PQ|，则PAQA，即l1l2，1m(2)1 0，解得m2.3(2018浙江省温州六校协作体联考)直线xay20 与圆x2y21 相切，则a的值为()10A.3 B33C33D3 答案D 解析因为直线xay20 与圆x2y2 1 相切，所以圆心(0,0)到直线xay20 的距离等于圆的半径，即212a21，解得a3，故选 D.4与直线xy40 和圆x2y22x2y0

15、都相切的半径最小的圆的方程是()A(x1)2()y122 B(x1)2()y124 C(x1)2()y122 D(x1)2()y124 答案C 解析圆x2y22x2y0 的圆心为(1,1)，半径为2，过圆心(1,1)与直线xy40 垂直的直线方程为xy0，所求的圆心在此直线上，又圆心(1,1)到直线xy 40的距离为6232，则所求圆的半径为2，设所求圆心为(a，b)，且圆心在直线xy40 的左上方，则|ab4|22，且ab0，解得a1，b 1(a3，b 3 不符合半径最小，舍去)，故所求圆的方程为(x1)2()y122.5已知点P是直线l：xyb0 上的动点，由点P向圆O：x2y21 引切线

16、，切点分别为M，N，且MPN90，若满足以上条件的点P有且只有一个，则b等于()A2 B 2 C.2 D 2 答案B 解析由题意得PMOPNOMON90，|MO|ON|1，四边形PMON是正方形，|PO|2，满足以上条件的点P有且只有一个，OP垂直于直线xyb0，2|b|11，b2.6(2018浙江省温州六校协作体联考)过点P(3,0)作直线 2ax(ab)y2b0(a，b不同时为零)的垂线，垂足为M，已知点N(2,3)，则当a，b变化时，|MN|的取值范围是()11A5 5，55 B5 5，5 C5,5 5 D0,5 5 答案A 解析直线 2ax(ab)y2b0 过定点D(1，2)，因为PM

17、MD，所以点M在以PD为直径的圆上运动，易得此圆的圆心为(1，1)，半径为5，又因为点N与圆心的距离为 122 1325，所以|MN|的取值范围为 5 5，55，故选 A.7 已知圆C1：x2y2kx2y 0与圆C2：x2y2ky40 的公共弦所在直线恒过定点P(a，b)，且点P在直线mxny20 上，则mn的取值范围是()A.0，14B.0，14C.，14D.，14答案D 解析由x2y2kx2y 0与x2y2ky40，相减得公共弦所在直线方程为kx()k2y40，即k(xy)()2y 4 0，所以由2y40，xy0，得x2，y 2，即P()2，2，因此 2m2n20，所以mn1，mnmn22

18、14(当且仅当mn时取最大值)8直线xysin 30(R)的倾斜角的取值范围是_答案4，34解析若 sin 0，则直线的倾斜角为2；若 sin 0，则直线的斜率k1sin()，1 1，设直线的倾斜角为，则 tan()，1 1，故 4，2 2，34，综上可得直线的倾斜角的取值范围是4，34.129若过点(2,0)有两条直线与圆x2y22x2ym10 相切，则实数m的取值范围是_答案(1,1)解析由题意过点(2,0)有两条直线与圆x2y22x2ym1 0相切，则点(2,0)在圆外，即2222m10，解得m1；由方程x2y22x2ym10 表示圆，则(2)222 4(m1)0，解得m0，解得a6，故

19、选 D.15为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5 km，且与C村相距31 km 的地方已知B村在A村的正东方向，相距3 km，C村在B村的正北方向，相距33 km，则垃圾处理站M与B村相距 _ km.答案2 或 7 解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,33)由题意得垃圾处理站M在以A(0,0)为圆心，5 为半径的圆A上，同时又在以C(3,33)为圆心，31为半径的圆C上，两圆的方程分别为x2y225 和

20、(x3)2(y33)231.由x2y225，x32y33231，解得x 5，y 0或x52，y532，15垃圾处理站M的坐标为(5,0)或52，532，|MB|2 或|MB|523253227，即垃圾处理站M与B村相距 2 km 或 7 km.16点P(x，y)是直线 2xy 40 上的动点，PA，PB是圆C：x2(y1)21 的两条切线，A，B是切点，则PAB面积的最小值为_答案85解析由圆的方程C：x2(y 1)21，可得圆心C(0,1)，半径r1，则圆心到直线2xy40 的距离为d522125，设|PC|m，则m5，则SPAB12|PA|2sin 2 APC|PA|2sin APCcosAPC|PA|21|PC|PA|PC|()m2 13m2，令Sm2 13m2，m5，所以Sm21()3m22m22m3m21()m22m30，所以函数S在)5，上单调递增，所以SminS()5 85.即(SPAB)min85.