【精品】2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第12练数列的基本运算及性质试题.pdf

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1、1第 12 练数列的基本运算及性质 明晰考情 1.命题角度：考查等差数列、等比数列基本量的计算，考查数列的通项及求和.2.题目难度：中档难度或较难难度考点一等差数列与等比数列要点重组(1)在等差数列中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.(2)若an是等差数列，则Snn也是等差数列(3)在等差数列 an 中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等差数列(4)在等比数列中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.(5)在等比数列中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列(当q 1 时，n不能为偶数)1(2018全国)记Sn为等差数列 an 的前n项和，若 3S3

2、S2S4，a12，则a5等于()A 12B 10C10D12 答案B 解析设等差数列 an的公差为d，由 3S3S2S4，得 3 3a13 312d2a12 212d4a14 412d，将a12 代入上式，解得d 3，故a5a1(5 1)d24(3)10.故选 B.2已知等差数列an 的前n项和为Sn，a91，S180，当Sn取最大值时n的值为()A7B8C 9D10 答案C 解析方法一设公差为d，则a18d1 且 18a118172d0，解得a117，d 2，所以Sn17nn(n1)n218n，当n9 时，Sn取得最大值，故选C.方法二因为S18a1a18218 0，2所以a1a18a9a1

3、0 0，所以a10 1，即数列 an 中前 9 项为正值，从第10 项开始为负值，故其前9 项之和最大故选C.3 已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，a764，a1a5a320，则S5等于()A31B63C16D127 答案A 解析设公比为q(q0)，因为a1a5a320，所以a23a3200，即(a35)(a34)0，a30，a34，a7a3q464，q 2，a11.所以S512512 31，故选 A.4设 an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1,2，)，若数列 bn有连续四项在集合 53，23,19,37,82中，则 6q_.答案9 解析由题意知，数列bn 有连

4、续四项在集合 53，23，19,37,82中，说明 an有连续四项在集合 54，24，18,36,81中，由于 an中连续四项至少有一项为负，q1，an 的连续四项为24,36，54,81，q362432，6q 9.考点二数列的通项与求和方法技巧(1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解(2)利用anSn，n1，SnSn1，n2求通项时，要注意检验n 1 的情况5数列 an满足a10，11an11an11(n2，nN*)，则a2019等于()A.12019B.12018C.20182019D.20172018答案C 解析数列 an满足a10，11an11an1

5、1(n2，nN*)，11a11，数列11an是首项为1，公差为1 的等差数列，311an1(n1)n，11a20192019，解得a201920182019.6已知数列 an 满足a1a2a3an22n(nN*)，且对任意nN*都有1a11a21ant，则t的取值范围为()A.13，B.13，C.23，D.23，答案D 解析数列 an满足a1a2a3an22n(n N*)，当n 1时，a12；当n2 时，a1a2a3an12(1)2n，可得an22n1，n2，当n1 时，a1 2 满足上式，1an122n1，数列1an为等比数列，首项为12，公比为14.1a11a21an12114n11423

6、114n23.对任意nN*都有1a11a21ant，t的取值范围是23，.7(2018全国)记Sn为数列 an 的前n项和若Sn2an1，则S6_.答案63 解析Sn2an 1，当n2 时，Sn12an 11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)当n1 时，a1S12a11，得a1 1.数列 an 是首项a1 1，公比q2 的等比数列，4Sna11qn1q1 12n1212n，S6126 63.8在已知数列 an 中，a11，Sn为数列 an的前n项和，且当n2 时，有2ananSnS2n1 成立，则S2017_.答案11009解析当n2 时，由2ananSnS2n1，

7、得 2(SnSn1)anSnS2nSnSn 1，所以2Sn2Sn1 1，又2S12，所以2Sn是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，所以2Snn1，故Sn2n1，则S201711009.考点三数列的综合应用方法技巧(1)以函数为背景的数列问题、可以利用函数的性质等确定数列的通项an、前n项和Sn的关系(2)和不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决9已知函数f(x)x2ax的图象在点A(0，f(0)处的切线l与直线 2xy20 平行，若数列1f n的前n项和为Sn，则S20的值为()A.325462B.1920C.119256D.20102011答案

8、A 解析因为f(x)x2ax，所以f(x)2xa，又函数f(x)x2ax的图象在点A(0，f(0)处的切线l与直线 2xy20 平行，所以f(0)a 2，所以f(x)x22x，所以1f n1n22n121n1n2，所以S201211312141315120122512 112121122325462.10已知等差数列an的前n项和Snn2bnc，等比数列 bn 的前n项和Tn3nd，则向量a(c，d)的模为()A1 B.2 C.3 D无法确定答案A 解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c0，d 1，所以向量a(c，d)的模为 1.11设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2

9、an的最大值为 _答案64 解析由已知a1a3 10，a2a4a1qa3q5，两式相除得a1a3q a1a3105，解得q12，a18，所以a1a2an8n1212(n1)27222nn，抛物线f(n)n227n2的对称轴为n722 1272，又nN*，所以当n3 或 4 时，a1a2an取最大值为2664.12已知函数f(x)3|x5|2|x2|，数列 an 满足a12，an1f(an)，nN*.若要使数列 an 成等差数列，则a1的取值集合为_答案11，112，194解析因为f(x)x11，x 2，5x19，5x 2，x11，x 5，所以若数列 an 成等差数列，则当a1为直线yx11 与

10、直线yx11 的交点的横坐标，即a1 11 时，数列 an 是以 11 为首项，11 为公差的等差数列；当f(a1)a1，即 5a119a1或a111a1，即a1194或a1112时，数列 an 是以 0 为公差的等差数列，因此a1的取值集合为11，112，194.61在数列 an中，a11，a22，当整数n 1时，Sn 1Sn12(SnS1)都成立，则S15等于()A210B211C224D225 答案B 解析当n1 时，Sn1SnSnSn12，an 1an2，n2，an1an 2，n2.数列 an 从第二项开始组成公差为2 的等差数列，S15a1(a2a15)1228214 211.2已知

11、数列 an 满足：an1an(1 2an1)，a11，数列 bn 满足：bnanan1，则数列 bn的前 2017 项的和S2017_.答案20174035解析由an1an(1 2an1)，可得1an11an 2，所以数列1an是首项为1，公差为2 的等差数列，故1an1(n1)2 2n1，所以an12n1.又bnanan112n1 2n11212n112n1，所以S20171211313151403314035124034403520174035.3已知数列 an 满足a133，an1an2n，则ann的最小值为 _答案212解析由题意，得a2a12，a3a24，anan12(n1)，n2，

12、累加整理可得ann2n33，n2，7当n1 时，a1 33 也满足，annn33n1(nN*)由函数f(x)x33x1(x0)的单调性可知，ann的最小值为f(5)，f(6)中较小的一个又f(6)212，f(5)535，annmin212.解题秘籍(1)利用anSnSn1寻找数列的关系，一定要注意n2这个条件(2)数列的最值问题可以利用基本不等式或函数的性质求解，但要考虑最值取到的条件1 等差数列 an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an的前 6 项和为()A 24B 3C 3D 8 答案A 解析由已知条件可得a11，d0，由a23a2a6，可得(1 2d)2(1 d)

13、(1 5d)，解得d 2.所以S66165 22 24.2(2017浙江)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C 解析方法一数列 an 是公差为d的等差数列，S44a16d，S55a110d，S66a115d，S4S610a121d，2S510a120d.若d0，则 21d 20d，10a1 21d10a120d，即S4S62S5.若S4S62S5，则 10a121d10a120d，8即 21d 20d，d0.“d0”是“S4S62S5”的充要条件故选 C.方法二S4S62S5?S4

14、S4a5a62(S4a5)?a6a5?a5da5?d0.“d0”是“S4S62S5”的充要条件故选 C.3已知数列 an 满足an1an2，a1 5，则|a1|a2|a6|等于()A9B15C18D30 答案C 解析由an 1an2 可得数列 an是等差数列，公差d2，又a1 5，所以an2n7，所以|a1|a2|a3|a4|a5|a6|5311 3518.4已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且AnBn7n45n3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是()A2B3C 4D5 答案D 解析anbn2an2bn2n1a1a2n122n1b1b2n12A2n1B2n114n38

15、2n27n 19n 1712n1，验证知，当n1,2,3,5,11时anbn为整数5在数列 an中，已知a1a2an2n1，则a21a22a2n等于()A(2n 1)2B.2n13C4n1 D.4n13答案D 解析设Sn为an 的前n项和，Sna1a2an2n1，当n2 时，Sn12n 11，an2n1(2n11)2n1，a2n4n1，当n1 时，a11 也符合上式，所以a21a22a2n14n144n13.6设Sn是等比数列 an的前n项和，若S4S23，则S6S4等于()A2 B.739C.310D 1或 2 答案B 解析设S2k，则S43k，由数列 an 为等比数列(易知数列 an 的公

16、比q 1)，得S2，S4S2，S6S4为等比数列，又S2k，S4S2 2k，S6S44k，S67k，S6S47k3k73，故选 B.7设 an是任意等差数列，它的前n项和、前 2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A2XZ3YB 4XZ 4YC2X3Z 7YD 8XZ 6Y答案D 解析根据等差数列的性质X，YX，S3nY，ZS3n成等差数列，S3n3Y3X，又 2(S3nY)(YX)(ZS3n)，4Y6XYXZ3Y 3X，8XZ6Y.8若数列 an满足a11，且对于任意的nN*都有an1ann1，则1a11a21a2018等于()A.40332018B.2015201

17、8C.40352019D.40362019答案D 解析由an1ann1，得an1ann 1，则a2a11 1，a3a221，a4a331，anan 1(n 1)1，n2.以上等式相加，得ana11 23(n 1)n 1，n2，把a11 代入上式得，an123(n1)nn n12，n2，1an2n n121n1n1，n2，10当n1 时，a1 1 也满足，1an21n1n1，nN*，则1a11a21a20182112121312018120192 11201940362019.9已知数列 an的前m(m4)项是公差为2 的等差数列，从第m1 项起，am1，am，am1，成公比为2 的等比数列若a

18、1 2，则m_，an的前 6 项和S6_.答案4 28 解析由题意，得am 1a1(m2)d2m6，am2m 4，则由amam 12m42m6 2，解得m 4，所以数列 an的前 6 项依次为 2,0,2,4,8,16，所以S628.10若Sn为数列 an 的前n项和，且2Snan1an，a14，则数列 an 的通项公式为an_.答案n3，n为奇数，n，n为偶数解析因为 2Snan1an，a14，所以n 1时，24 4a2，解得a22.n2 时，2Sn1anan1，可得 2anan1ananan1，所以an0(舍去)或an1an12.n2 时，an1an12，可得数列 an的奇数项与偶数项分别

19、为等差数列所以a2k142(k1)2k2，kN*，a2k 22(k1)2k，k N*.所以ann3，n为奇数，n，n为偶数.11对于正项数列an，定义Hnna12a23a3nan为an 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn2n2，则数列 an 的通项公式为 _答案an2n12n(nN*)11解析由Hnna12a23a3nan可得a12a23a3nannHnn n22，所以a132，a12a23a3(n1)an 1n 1n12(n2)，得nann n22n1n122n12，所以an2n12n，n2.又当n 1时，a132也满足上式，所以an2n12n，nN*.12已知数列 an的前n项和为

20、Sn，Snn2 2n，bnanan1cos(n1)，数列 bn的前n项和为Tn，若Tntn2对nN*恒成立，则实数t的取值范围是_答案(，5 解析n1 时，a1S13.n2，anSnSn1n22n(n1)22(n1)2n 1.n1 时也成立，所以an2n1.所以bnanan1cos(n1)(2n1)(2n3)cos(n1)，n为奇数时，cos(n1)1，n为偶数时，cos(n1)1.因此当n为奇数时，Tn355779911(2n1)(2n3)354(711 2n1)1542n8n142n26n7.因为Tntn2对n N*恒成立，所以 2n26n7tn2，t7n26n 271n37257，所以t2.当n为偶数时，Tn355779911(2n1)(2n3)4(5 913 2n1)2n26n.因为Tntn2对n N*恒成立，所以 2n26ntn2，t 26n，所以t 5.综上可得t 5.