【精品】2019高考数学二轮复习专题四解析几何第1讲圆与圆锥曲线的基本问题学案.pdf

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1、1第 1 讲圆与圆锥曲线的基本问题高考定位1.圆的方程及直线与圆的位置关系是高考对本讲内容考查的重点，涉及圆的方程的求法、直线与圆的位置关系的判断、弦长问题及切线问题等；2.圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为选择题或填空题.真 题 感 悟1.(2018 浙江卷)双曲线x23y21 的焦点坐标是()A.(2，0)，(2，0)B.(2，0)，(2，0)C.(0，2)，(0，2)D.(0，2)，(0，2)解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2a2b23 14，所以c2，故焦点坐标为(2，0)，(2，0).故选 B.答案B 2.(2016

2、 浙江卷)已知椭圆C1：x2m2y21(m1)与双曲线C2：x2n2y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A.mn且e1e21 B.mn且e1e21 C.mn且e1e21 D.mn且e1e21 解析由题意可得：m2 1n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又e21e22m21m2n21n2n21n22n21n2n4 2n21n42n211n42n21，e1e21.答案A 3.(2018 北京卷)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴.若l被抛物线y24ax截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_.解析由题意知，a0，对于y24ax，当x1 时，y2a，由于l

3、被抛物线y2 4ax截得的线段长为4，所以 4a4，所以a1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0).答案(1，0)4.(2018 天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_.2解析设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则F0，11DEF0，42DF0，解得D 2，E0，F 0，即圆的方程为x2y22x0.答案x2y22x0 考 点 整 合1.圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为D2，E2，半径为rD2E24F2.2.直线与圆

4、相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d|Ax0By0C|A2B2，弦长公式|AB|2r2d2(弦心距d).3.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d为M点到准线的距离).4.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2y2b2 1(ab0)(焦点在x轴上)或y2a2x2b2 1(ab0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：x2a2y2b21(a0，b0)(焦点在x轴上)或y2a2x2b21(a0，b0)(焦点在y轴上

5、)；(3)抛物线：y2 2px，y2 2px，x2 2py，x2 2py(p 0).5.圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：eca1b2a2；(2)双曲线：eca1b2a2；渐近线方程：ybax或yabx；(3)抛物线：设y22px(p0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F为其焦点.3焦半径|CF|x1p2；过焦点的弦长|CD|x1x2p；x1x2p24，y1y2p2.热点一直线与圆的有关问题 考法 1 求圆的方程【例 1 1】(1)(2018 北京东城区月考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2xy0 的距离为455，则圆C的方程为 _.(2)

6、一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_.解析(1)圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0.则圆心C到直线 2xy 0 的距离d|2a0|5455，解得a 2.圆C的半径r|CM|（2 0）2（05）23，因此圆C的方程为(x2)2y29.(2)由题意知，椭圆上、下顶点的坐标为(0，2)，(0，2)，左、右顶点的坐标为(4，0)，(4，0)，由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，2)，(4，0)，设圆的标准方程为(xm)2y2r2(m0)，则有m24r2，（4m）2r2，解得m32，r2254，所以圆的标准方程为x322y2

7、254.答案(1)(x2)2y29(2)x322y2254探究提高求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法.在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用.考法 2 圆的切线问题【例 1 2】(1)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线l：2xy40 相切，则圆C面积的最小值为()A.45B.344C.(6 25)D.54(2)若O：x2y25 与O1：(xm)2y220(m R)相交于A，B

8、两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 _.解析(1)由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小(D为切点)，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线 2xy4 0 相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与l垂直时，|OD|最小(D为切点)，即圆C的直径最小，则|OD|2 0 0 4|545，所以圆的半径为25，圆C的面积的最小值为Sr245.(2)依题意得OO1A是直角三角形，|OO1|5 205，SOO1A12|AB|2|OO1|12|OA|AO1|，因此|AB|2|OA|AO1|OO1|25255 4.答案(1)A(2)4 探究提高(1)直线与圆相切时利

9、用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理.考法 3 直线与圆的位置关系【例 1 3】已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50 相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.解(1)由x2y26x50，得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).(2)设线段AB的中点M的坐标为(x，y)，当线段

10、AB不在x轴上时，有C1MAB，则kC1MkAB 1，即yx3yx 1，整理得x322y294，又当直线l与圆C1相切时，易求得切点的横坐标为53.5所以此时M的轨迹C的方程为x322y29453x3.当线段AB在x轴上时，点M的坐标为(3，0)，也满足式子x322y294.综上，线段AB的中点M的轨迹C的方程为x322y29453x3.(3)由(2)知点M的轨迹是以C32，0 为圆心，r32为半径的部分圆弧EF(如图所示，不包括两端点)，且E53，253，F53，253.又直线L：yk(x 4)过定点D(4，0)，当直线L与圆C相切时，由k324 0k2（1）232，得k34，又kDEkDF

11、0 253453257，结合如图可知当k 34，34 257，257时，直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点.探究提高此类题易失分点有两处：一是不会适时分类讨论，遇到直线问题，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；二是数形结合求参数的取值范围时，定要注意“草图不草”，如本题，画出轨迹C时，若把端点E，F画成实心点，借形解题时求出的斜率就会出错.【训练 1】(1)(2018 全国卷)直线yx1 与圆x2y22y30 交于A，B两点，则|AB|_.解析由题意知圆的方程为x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为2，则圆心到直线yx1 的距离d|11|22，所以|AB|222（2）222.答

12、案22(2)(2016 江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600 及其上一点A(2，4).设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6 上，求圆N的标准方程；设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方6程；设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TATPTQ，求实数t的取值范围.解圆M的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心M(6，7)，半径r5，由题意，设圆N的方程为(x6)2(yb)2b2(b0).则（66）2（b7）2b5.解得b 1，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.kOA2，可设l

13、的方程为y2xm，即 2xym0.又BCOA224225，由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d52BC2225525，即|2 6 7m|22（1）225，解得m5 或m 15.直线l的方程为y2x5 或y2x15.由TATPTQ，则四边形AQPT为平行四边形，又P、Q为圆M上的两点，|PQ|2r10.|TA|PQ|10，即（t 2）24210，解得 2 221t2 221.故所求t的范围为 2 221，2221.热点二圆锥曲线的定义、方程、性质的应用 考法 1 定义与标准方程的应用【例 2 1】(1)(2015 浙江卷)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同

14、的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A.|BF|1|AF|1B.|BF|2 1|AF|2 1C.|BF|1|AF|1D.|BF|2 1|AF|2 1(2)已知双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为y52x，且与椭圆x212y231有公共焦点，则C的方程为()A.x28y2101 B.x24y251 C.x25y241 D.x24y231 7解析(1)由图形知SBCFSACF|BC|AC|xBxA，由抛物线的性质知|BF|xB 1，|AF|xA1，xB|BF|1，xA|AF|1，SBCFSACF|BF|1|AF|1.故选 A

15、.(2)由题设知ba52，又由椭圆x212y231 与双曲线有公共焦点，易知a2b2c29，由解得a2，b5，则双曲线C的方程为x24y25 1.答案(1)A(2)B 探究提高(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定.考法 2 几何性质与标准方程的应用【例 2 2】(1)(2018 全国卷)已知F1，F2是椭圆C：x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离

16、心率为()A.23B.12C.13D.14(2)(2018 北京卷)若双曲线x2a2y241(a0)的离心率为52，则a_.解析(1)由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|2c，PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c.|OF2|c，点P坐标为(c2ccos 60，2csin 60)，即点P(2c，3c).点P在过点A，且斜率为36的直线上，3c2ca36，解得ca14，e14，故选 D.(2)由题意可得，a24a254，得a216，又a0，所以a4，故答案为4.答案(1)D(2)4 探究提高解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一

17、个关于a，b，8c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等.【训练 2】(1)(2018 全国卷)已知椭圆C：x2a2y241 的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223(2)(2018 全国卷)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A.y2xB.y3xC.y22xD.y32x解析(1)不妨设a0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c2，所以a2448，所以a22，所以椭圆C的离心率e

18、ca22.故选 C.(2)法一由题意知，eca3，所以c3a，所以bc2a22a，所以ba2，所以该双曲线的渐近线方程为ybax2x，故选 A.法二由eca1ba23，得ba2，所以该双曲线的渐近线方程为ybax2x，故选 A.答案(1)C(2)A 1.确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称.2.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2B

19、y21，其中A，B是不等的常数，AB0 时，表示焦点在y轴上的椭圆；BA 0 时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0 时表示双曲线.3.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.4.在椭圆焦点三角形PF1F2中，F1PF2，9则S PF1F2c|y0|b2tan 2.5.求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a，c，计算eca；方法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求ca.6.通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b2a，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通

20、径长是2p，过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上点到焦点的最长距离为ac，最短距离为ac.一、选择题1.(2018 全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()A.132B.2 3C.3 12D.31 解析由题设知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|3c.由椭圆的定义得|PF1|PF2|2a，即3cc2a，所以(31)c2a，故椭圆C的离心率eca23131.故选 D.答案D 2.(2018 全国卷)已知双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为2，则点(4，0)到C的渐近线的距

21、离为()A.2 B.2 C.322D.22 解析法一由离心率eca2，得c2a，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为41122.故选 D.法二离心率e2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为41122，故选 D.答案D 3.已知圆C1：(x 2)2(y3)21，圆C2：(x 3)2(y 4)29，M，N分别是圆C1，C2上10的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A.534 B.524 C.533 D.523 解析由条件可知，两圆的圆心均在第一

22、象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2，3)，则(|PC1|PC2|)min|C1C2|52.所以(|PM|PN|)min 524.答案B 4.(2017 杭州测试)已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.x245y2361 B.x236y227 1 C.x227y2181 D.x218y291 解析因为直线AB过点F(3，0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y12(x3)，代入椭圆方程x2a2y2b21 消去y，得a24b2x232a2x94a2a2b2

23、0，所以AB的中点的横坐标为32a22a24b21，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，选 D.答案D 5.(2018 全国卷)直线xy20 分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22 上，则ABP面积的取值范围是()A.2，6 B.4，8 C.2，32 D.22，32 解析圆心(2，0)到直线的距离d|2 02|222，所以点P到直线的距离d12，32.根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为(2，0)，(0，2)，所以|AB|22，所以ABP的面积S12|AB|d12d1.因为d12，32，所以S2，6，即ABP面积的取值范围是 2，6.答案A 6.设O为坐标原点，P是

24、以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D.1 11解析如图，由题可知Fp2，0，设P点坐标为y202p，y0，显然，当y00时，kOM0 时，kOM0，要求kOM最大值，不妨设y00.则OMOFFMOF13FPOF13(OPOF)13OP23OFy206pp3，y03，kOMy03y206pp32y0p2py022222，当且仅当y202p2时等号成立.故选 C.答案C 二、填空题7.(2018 江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点F(c，0)

25、到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是_.解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为ybax，所以|bc|a2b2b32c，所以b2c2a234c2，得c2a，所以双曲线的离心率eca 2.答案2 8.(2015 浙江卷)已知实数x，y满足x2y21，则|2xy4|6 x3y|的最大值是_.解析因为实数x，y满足x2y21，则 2xy40，6x3y0，所以|2xy4|6x3y|42xy6x3y 3x4y10.令z 3x4y10，则3x 4y10z0.当直线 3x 4y10z0 与圆x2y21 相切时，z取最值，故|z10|51，z5 或z15，|2xy4|6 x3y|的最大值为15.答案15 9

26、.设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_.解析由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(1，a)(a0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC(1，0)，AF(1，a).由题意知AC与AF的夹角为120，得cos 120 111a212，解得a3.所以圆的方程为(x1)2(y3)21.答案(x1)2(y3)21 10.(2018 绍兴仿真考试)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上，若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，则点M的轨迹方程是_，圆心C的

27、横坐标的取值范围是_.解析设点M(x，y)，因为|MA|2|MO|，所以x2（y3）22x2y2，整理得x2(y1)24，所以点M的轨迹是以P(0，1)为圆心，半径为2 的圆.设圆C的圆心C(t，2t4).由题意可得圆C与圆P至少有一个公共点，所以1t22t4（1）23，解得t 0，125.所以圆心C的横坐标的取值范围是0，125.答案x2(y1)24 0，12511.(2018 宁波调研)过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为4的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点(0，2)，则p等于 _，|AB|_.解析由题意知直线AB的方程为yxp2，垂直线平分线方程为yx 2

28、，联立上面两直线方程得y1p4，x1p4，即AB的中点坐标为1p4，1p4.设Ay212p，y1，By222p，y2则y2y1y222py212p2py1y21，y1y22p，1p4p，p45.|AB|2 1p4p165.答案4516512.(2018 北京卷)已知椭圆M：x2a2y2b21(ab0)，双曲线N：x2m2y2n21.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 _；双曲线N的离心率为 _.解析设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知Ac2，3c2，由点A在椭圆M上得，c24a

29、23c24b21，b2c2133a2c24a2b2，b2a2c2，(a2c2)c2 3a2c24a2(a2c2)，4a48a2c2c40，e4椭8e2椭40，e2椭423，e椭3 1(舍去)或e椭31，椭圆M的离心率为31.双曲线的渐近线过点Ac2，3c2，渐近线方程为y3x，nm3，故双曲线的离心率e双m2n2m22.答案31 2 三、解答题13.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21 交于M，N两点.(1)求k的取值范围；(2)若OMON12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx 1，因为l与C交于两点，所以|2k31|1k2

30、1.解得473k0，x20.由yk（x2），y22x得ky22y4k 0，可知y1y22k，y1y2 4.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBNy1x12y2x22x2y1x1y22（y1y2）（x12）（x22）.将x1y1k2，x2y2k 2 及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)2y1y24k（y1y2）k 88k0.所以kBMkBN 0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.15.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22y21 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP2NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x

31、3 上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，NP(xx0，y)，NM(0，y0)，由NP2NM得x0 x，y022y，因为M(x0，y0)在C上，所以x22y221，因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明由题意知F(1，0)，设Q(3，t)，P(m，n)，则OQ(3，t)，PF(1m，n)，OQPF33mtn，OP(m，n)，PQ(3m，tn)，由OPPQ1，得 3mm2tnn21，15又由(1)知m2n22，故 33mtn0.所以OQPF0，即OQPF，又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.