高阶线性常系数齐次.ppt

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1、7.7.7 7 内容回顾内容回顾 非齐次方程的特解非齐次方程的特解对应齐次方程通解对应齐次方程通解Y+(高阶高阶)线性非齐次方程的通解线性非齐次方程的通解=1.线性齐次方程的解的线性组合线性齐次方程的解的线性组合=线性齐次方程的解线性齐次方程的解2.3.n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关与与线性无关线性无关的概念的概念.线性无关线性无关常数常数是是 n 阶线性齐次方程阶线性齐次方程 的的 n 个线性无关解个线性无关解,则则方程的通解为方程的通解为4.分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程的特解的特解.(非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理)以上关于解的结构均可推广

2、到以上关于解的结构均可推广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程.是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性无关特解无关特解,给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解7.7.8 8 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程 说明说明:解本类方程是最简单的解本类方程是最简单的,只需要求特征方程只需要求特征方程(代数方程代数方程)之根之根经转化后经转化后 第七章第七章 因为他不需要积分因为他不需要积分二阶二阶常系数常系数齐次齐次线性线性微分方程微分方

3、程:和和它的导数只差常数因子它的导数只差常数因子,代入代入得得称称为微分方程为微分方程的的特征方程特征方程,1.当当时时,有两个相异实根有两个相异实根方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为因此方程的通解为(r 为待定常数为待定常数),我们猜想我们猜想的解为的解为 则则微分微分其根其根称为称为特征根特征根.2.当当时时,特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根则得微分方程有一个特解则得微分方程有一个特解设另一特解设另一特解(目的是找出与目的是找出与y1线性无关的解线性无关的解)代入方程得代入方程得:是特征方程的二重根是特征方程的二重根取取 C(x)=x,则得则得因

4、此原方程的通解为因此原方程的通解为(常系数变易法常系数变易法)也是解也是解3.当当时时,特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根原方程的通解为原方程的通解为小结小结:特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.(推导略推导略)得通解得通解.若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项则其通解中必含则其通解中必含对应项对应项特征方程特征方程:推广推广:将不同根对应的项加在一起得原方程通解将不同根对应的项加在一起得原方程通

5、解(系数要区分开系数要区分开).例例1.的通解的通解.解解:特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程的通解为因此原方程的通解为例例2.求解初值问题求解初值问题解解:特征方程特征方程有重根有重根因此原方程的通解为因此原方程的通解为利用初始条件得利用初始条件得于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为例例3.的通解的通解.解解:令令代入原方程得代入原方程得:特征方程特征方程:特征根特征根:原方程通解原方程通解:求求的通解的通解:注注:本题为二阶方程本题为二阶方程,但不是上节中的但不是上节中的 可降阶可降阶方程也不是本节中二阶线方程也不是本节中二阶线 性常系数性常系数齐次齐次方程方程.对应齐次方程

6、对应齐次方程:特征方程特征方程:特征根特征根:对应齐次方程通解对应齐次方程通解观察一个原方程的特解观察一个原方程的特解原方程通解原方程通解:+x例例4.的通解的通解.解解:特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程通解为因此原方程通解为例例5.解解:特征方程特征方程:特征根特征根:原方程通解原方程通解:例例6.解解:特征方程特征方程:即即其根为其根为方程通解方程通解:例例7.解解:特征方程特征方程:特征根为特征根为则方程通解则方程通解:(二重根二重根)例例8 (P341第第5题题)一圆柱形浮筒一圆柱形浮筒,直径直径D=0.5米米,铅直放在水铅直放在水中中,当稍向下压后突然放开当稍向下压后突然放开

7、,浮筒在水中上下振动的周期为浮筒在水中上下振动的周期为2秒秒,求浮筒的质量求浮筒的质量.解解:建数轴如图建数轴如图:xo浮筒离开平衡处浮筒离开平衡处o的位移为的位移为x据题意得据题意得:通解通解(a,b为任意实数为任意实数)周期周期所以所以194.96(kg).内容小结内容小结特征根特征根:(1)当当时时,通解为通解为(2)当当时时,通解为通解为(3)当当时时,通解为通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.思考与练习思考与练习 求方程求方程的通解的通解.答案答案:通解为通解为通解为通解为通解为通解为作业作业 P340 1(3),(6),(10);2(2)

8、,(3),(6);3备用题备用题为特解的为特解的 三三 阶常系数线性齐次微分方程阶常系数线性齐次微分方程.解解:根据给定的特解知特征方程有根根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为因此特征方程为即即故所求方程为故所求方程为其通解为其通解为原题为选择题原题为选择题1.解解:给出以给出以(a,b为任意常数为任意常数)为通解的微分方程为通解的微分方程(1)(2)(1)+(2)得得:即即(2)2(1)得得:(3)(4)将将(3),(4)式代入式代入得得:即即即即由通解知特征方程有根由通解知特征方程有根:特征方程为特征方程为故所求方程为故所求方程为P327 2(2)以2.?是所求方程对应的齐次方程的解是所求方程对应的齐次方程的解设设是某二阶线性非齐次微分方程的解是某二阶线性非齐次微分方程的解,求此微分方程求此微分方程.3.解解:(97考研考研)对应的齐次方程的特征方程对应的齐次方程的特征方程:又又所以所求微分方程为所以所求微分方程为对应的齐次方程为对应的齐次方程为:求幂级数求幂级数的和函数的和函数(02考研考研)解解:收敛域显然为收敛域显然为(-,+),设和函数为设和函数为通解为通解为(1)(2)(3)解得解得:特征方程特征方程4.所以和函数所以和函数作业作业 P310 1(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3