高数微积分泰勒公式.ppt

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1、几个初等函数的几个初等函数的MaclaulinMaclaulin公式公式小结小结 思考题思考题 泰勒泰勒(Taylor)（英）英）1685-1731其它应用其它应用3.3 3.3 泰勒泰勒(Taylor)公式公式Taylor公式的建立公式的建立简单简单的的,多项式函数多项式函数特点特点(1)易计算易计算函数值函数值;(2)导数与积分仍为导数与积分仍为多项式多项式;(3)多项式由它的系数完全确定多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及又由它在一点的函数值及导数值导数值确定确定.而其系数而其系数用怎样的多项式去逼近给定的函数用怎样的多项式去逼近给定的函数?误差又如何呢误差又如何呢?一、一、

2、泰勒公式的建立泰勒公式的建立熟悉熟悉的函数来近似代替复杂函数的函数来近似代替复杂函数.应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算回忆微分回忆微分一次多项式一次多项式（如下图）（如下图）如如 以直代曲以直代曲需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度?如何估计误差如何估计误差?问题问题(1)系数怎么定系数怎么定?(2)误差误差(如何估计如何估计)表达式是什么表达式是什么?不足不足1.精确度不高；精确度不高；2.误差不能定量的估计误差不能定量的估计.希望希望一次多项式一次多项式用适当的用适当的高次多项式高次多项式nnnxxaxxaxxaaxP)()(

3、)()(0202010-+-+-+=L)(xf 猜想猜想2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近近似似程程度度越越来来越越好好1.若在若在 点相交点相交1.1.n次多项式系数的确定次多项式系数的确定得得假设假设同理同理代入代入中得中得nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010-+-+-+=L称为称为f(x)的的泰勒多项式来逼近泰勒多项式来逼近并估计它的误差并估计它的误差.下面将证明确实可以用下面将证明确实可以用函数函数泰勒多项式泰勒多项式.泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理其中其中余项余项2.泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理多项式多项式

4、,)1(),()()(0阶导数阶导数内有内有在在若若+nbaxxf,),(时时则当则当bax 次次的一个的一个可表为可表为nxxxf)()(0-:)(之和之和与一个余项与一个余项xRn(书上第书上第141页定理页定理3.7)注注泰勒公式就是拉格朗日中值公式泰勒公式就是拉格朗日中值公式.分析分析即证即证也即证也即证其中其中)()(!)(00)(xRxxnxfnnn+-+L证证令令由要求由要求 柯西定理柯西定理 柯西定理柯西定理用用1次次用用2次次如此下去如此下去,得得可得可得即即用用n+1次柯西定理次柯西定理,)!1()(),()()1()1()1(+=+nxxfxRnnnnj j拉格朗日型余项

5、拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项.次近似多项式次近似多项式nPeanoPeano型型余项余项当对余项要求不高时当对余项要求不高时,带有带有PeanoPeano型型余项余项可用可用PeanoPeano型型余项余项1858-1932)皮亚诺皮亚诺(Peano,G.(意意),),(时时若若bax Mxfn+|)(|)1(书上书上P209定理定理3.8对某个固定的对某个固定的n注注1.泰勒公式就是拉格朗日中值公式泰勒公式就是拉格朗日中值公式.2.在泰勒公式中在泰勒公式中,这时的泰勒公式这时的泰勒公式,即即按按x的幂的幂(在零点在零点)展开的泰勒公式称为展开的泰勒公式称为:n阶泰勒公式

6、阶泰勒公式麦克劳林麦克劳林(Maclaurin,C.(英英)1698-1746)公式公式麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式近似公式近似公式误差估计式为误差估计式为带有带有Lagrange型余项型余项带有带有PeanoPeano型型余项余项解解代入上公式代入上公式,得得于是有于是有的近似表达公式的近似表达公式二、几个初等函数的二、几个初等函数的MaclaulinMaclaulin公式公式例例麦克劳林公式麦克劳林公式.麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式有误差估计式有误差估计式得到得到其误差其误差其误差其误差解解例例因为因为所以所以误差为误差为泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近类似

7、地类似地,有有解解一阶和三阶一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.的一的一阶阶泰勒公式是泰勒公式是其中其中三三阶泰勒公式是阶泰勒公式是 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式要熟记要熟记!带有带有Peano型余项型余项例例 解解用间接展开的方法较简便用间接展开的方法较简便.两端同乘两端同乘x,得得 解解三、其它应用三、其它应用 因为分母是因为分母是4阶无穷小阶无穷小,所以所以只要将函数展开到只要将函数展开到4阶无穷小的阶无穷小的项就足以定出所给的极限了项就足以定出所给的极限了.常用函数的泰勒展开求常用函数的泰勒展开求例例 型未定式型未定式例例 是是x的几

8、阶无穷小的几阶无穷小?解解 因因故由于故由于有有显然显然,它是它是x的的4阶无穷小阶无穷小.例例.求解解:由于用洛必塔法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,例例.证明证明证证:像这类像这类估值问题估值问题常用泰勒公式常用泰勒公式.证证例例 分析分析 利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式.带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式,得得(1)(2)即即故故四、小结四、小结 多项式局部逼近多项式局部逼近.泰勒泰勒(Taylor)公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用.泰勒泰勒(Taylor)公式的数学思想公式的数学思想熟记常用函数的麦克劳林

9、公式熟记常用函数的麦克劳林公式;思考题思考题12002年考研数学一年考研数学一,6分分设函数设函数的某邻域内具有一阶连续的某邻域内具有一阶连续导数导数,是比是比h高阶的无穷小高阶的无穷小,试确定试确定a,b的值的值.解解所以所以因此当因此当有有此题亦可不用此题亦可不用Taylor公式。公式。的某邻域内具有一阶连续的某邻域内具有一阶连续 导数导数思考题思考题2利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限思思考考题题解解答答注：本题亦可用洛必达法则次来求极限须解决问题的类型须解决问题的类型:(1)已知已知x 和误差界和误差界,要求确定项数要求确定项数n;(2)已知项数已知项数n和和x,计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;(3)已知项数已知项数 n 和误差界和误差界,确定公式中确定公式中 x 的的五、近似计算与误差估计五、近似计算与误差估计适用范围适用范围.例例 解解 五、近似计算与误差估计五、近似计算与误差估计满足要求满足要求.计算计算 的近似值的近似值,使其精确到使其精确到0.005,试确定试确定 的适用范围的适用范围.近似公式的误差近似公式的误差例例 用近似公式用近似公式解解 已知项数已知项数 n 和误差界和误差界,确定公式中确定公式中 x 的的适用范围适用范围.令令解得解得即即由给定的近似公式计算的结果能准确到由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.