边值问题的解法课件.ppt

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1、第第3章边值问题的解法章边值问题的解法3.1 边值问题的提法边值问题的提法 3.2 唯一性定理唯一性定理 3.3 镜像法镜像法 3.4 分离变量法分离变量法 3.5 有限差分法有限差分法 习题习题求解边值问题时，通常可以归结为在给定的边界条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的问题。在第2章中，我们讨论了已知电荷分布或电流分布的情况下求无界空间的静电场或恒定电场问题。在给定边界条件下求有界空间的静电场和电源外恒定电场的问题，这类问题通称为边值问题这类问题通称为边值问题(Boundary Value Problem)。求解边值问题的方法，一般可以分为解析法解析法和数值法数值法两大类。3.1 边值问题

2、的提法边值问题的提法 所谓边值问题，就是在给定边界条件下如何求解电场或电位函数所满足的方程。就边界条件而言，不同的问题有不同的给定方式，通常可以分为三类；而要求解的方程对于静电场或恒定电场问题通常是电位函数满足的方程。3.1.1 边值问题的分类 (1)已知场域边界面S上各点电位的值，即给定 称为第一类边界条件或狄利克利条件。这类问题称为第一类边值问题。(2)已知场域边界面S上各点电位法向导数的值，即给定(3)已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组合值，称为第三类边界条件或混合边界条件。这类问题称为第三类边值问题。称为第二类边界条件或诺伊曼条件。这类问题称为第二类边值问题。如果边界面S

3、是导体，则上述三类问题分别变为：已知各导体表面的电位；已知各导体的总电量；已知一部分导体电位和另一部分导体的电荷量。如果给定边界上的电位，则该给定边界上的法向导数也就确定。因为在任意边界上，它的电位和它上面的电荷密度是相互制约的，若给定了边界上的电位后，电位的法向导数就不能再任意给定了，反之亦然。在线性、各向同性、均匀的电介质中，3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程上式称为静电场的泊松方程泊松方程(Poissons Equation)，它表示求解区域的电位分布取决于当地的电荷分布。对于那些电荷分布在导体表面的静电场问题，在感兴趣的区域内多数点的体电荷密度等于零，即V=0，因

4、而有 上式称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程(Laplaces Equation)。求有界空间的静电场和电源外恒定电场的问题，通常都可以归结为在给定边值条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的问题。所有的边值问题都可以归结为在给定的边界条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程的问题。在静电场中，在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的，这称为静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理(Uniqueness Theorem)。3.2 唯唯 一一 性性 定定 理理举例：用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。考虑一个由表面边界S包围的体积V，由格林第一定理：令上式中=，得 因为 =

5、0，所以有 设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有 和 两个解，由于拉普拉斯方程是线性的，两个解的差 也满足方程 ，因此有 在边界S上，电位 ，所以 在边界S上的值为 ，因为 非负，故只有 ，由此必然得到电位函数 =常数。又由于边界上电位的值等于零，即 ，因此 =0。所以可以推得 ，这就证明了解的唯一性。在解拉普拉斯方程(或泊松方程)的时候，不管采用什么方法，只要能找到一个既能满足给定的边界条件，又能满足拉普拉斯方程(或泊松方程)的电位函数，则这个解就是正确的。任何一种方法求得的同一问题的解必然是完全相同的。唯一性定理给出了拉普拉斯方程唯一性定理给出了拉普拉斯方程(或泊松方程或泊松方程)定解的充分必要条件，定解的充分必要条件，下面介绍的镜像法镜像法和和分离变量法分离变量法就是唯一性定理的应用。