高数函数的单调性与极值.ppt

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1、主讲教师主讲教师:王升瑞王升瑞高等数学 第十八讲1第九节一、函数的单调性一、函数的单调性二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法函数的单调性与极值 第二二章 2一、一、函数的单调性函数的单调性若定理定理 1.设函数则 在 I 内单调递增(递减).证证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间 I 内可导,证毕I 称为单调递增(递减)区间。3例例1.确定函数的单调区间.解解:令得故的单调增单调增区间为的单调减单调减区间为为驻点为驻点4说明说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,5

2、例例2 2 证明证：证：令令从而成立6例例3.证明证证:设,则故时,单调增加,从而即思考思考:证明时,如何设辅助函数更好?提示提示:7例例4 4 求证证法一：证法一：设当时当时综上可知，无论为什么值，总有则不等式成立。当时8例例4 4 求证求证证法证法2：设则无论为什么值，总有则不等式成立对 f(x)在 0 与 x 之间应用拉格朗日中值定理，有式中在 0 与 x 之间，由于与 x 同号，9例例5 5 证明在证明证明令 在上利用拉格朗日中值定理得故当时，从而 在内单调增加。内单调增加。此函数为幂指函数，两边取对数10例例5 证明方程在区间(0,1)内有且仅有一个实根。证明证明：设在区间0,1 上

3、连续，由零点定理，使即的根存在。又单调增加。的图形至多与 x轴有一个交点，所以方程仅有唯一解。11二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义:在其中当时,(1)则称 为 的极大点极大点,称 为函数的极大值极大值;(2)则称 为 的极小点极小点,称 为函数的极小值极小值.极大点与极小点统称为极值点极值点.12注意注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如例如(P146例例4)为极大点,是极大值;是极小值.为极小点,13定理定理2 2（极值存在的必要条件）如果在x0处可导，且在x0处取得极值，则（证明略）使的

4、点称为函数的驻点。驻点。定理2告诉我们，可导函数的极值点必定是驻点，但驻点未必是极值点。寻求函数的极值点首先要找的驻点以及不可导的点，再判断其是否为极值点。14定理定理 3(极值第一判别法极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左左正正右右负负”,(2)“左左负负右右正正”,(自证)点击图中任意处动画播放暂停0 为极小值为极小点如：15例例1.求函数求函数的极值.解解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为16定理定理4(极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数,且则 在点 取极大值;则 在点 取极小值.证证:(1)存在由第一判别法知(2)类

5、似可证.17例例2.求函数的极值.解解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故 为极小值;又故需用第一判别法判别.18试问 为何值时,在时取得极值,解解:由题意应有又取得极大值为并求出该极值。指出它是极大还是极小，例例319内容小结内容小结1.可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0 或不存在的点(2)第一充分条件过由正正变负负为极大值过由负负变正正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值20思考与练习思考与练习1.设则在点 a 处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示提示:利用极限的保号性.212.设在的

6、某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示提示:利用极限的保号性.223.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示提示:A23作业作业P149 1（1）（2）；2；3(2)(4);4；5(2),(3)(6);6；7；8.24思考与练习思考与练习上则或的大小顺序是()提示提示:利用单调增加,及B1.设在25 .2.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:及及 ;264、设函数由方程所确定，求的极值。令 得 代入原方程得由，所以函数在处有极小值 解 方程两边同时对x求导整理得 279、设函数在内连续，在内存在，且，证明当时，函数单调增加。因，故 单调增加，因此 从而知单调增加。解解28