(精品)数学物理方法第九章2011.ppt

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1、9.1 9.1 特殊函数的常微分方程特殊函数的常微分方程 园球形和园柱形是两种常见的边界，本章考察园球形和园柱形是两种常见的边界，本章考察拉拉普拉斯方程普拉斯方程在在球坐标系和坐标系中分离变量法所导致球坐标系和坐标系中分离变量法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题。的常微分方程以及相应的本征值问题。（一）直角坐标系内的拉普拉斯方程（一）直角坐标系内的拉普拉斯方程正交曲线座标系中的拉普拉斯方程正交曲线座标系中的拉普拉斯方程球域内球域内Laplace方程的边值问题方程的边值问题坐标变换坐标变换隐含着的周期边值条隐含着的周期边值条件和球内约束条件件和球内约束条件直角坐标：直角坐标：柱坐标：柱坐标：

2、球坐标：球坐标：（1 1）球坐标系拉普拉斯方程的分离变量）球坐标系拉普拉斯方程的分离变量令令拉普拉斯算子：拉普拉斯算子：4欧拉形式方程欧拉形式方程球函数方程球函数方程5常数常数常数常数对欧拉形式方程作变量代换对欧拉形式方程作变量代换因式分解因式分解解为：解为：式中：式中：C和和D为积分常数为积分常数.球函数方程，令球函数方程，令自然的周期边界条件：自然的周期边界条件：l-阶缔合勒让德方程阶缔合勒让德方程7l-阶勒让德方程阶勒让德方程u 是轴对称的，对是轴对称的，对的转动不改变的转动不改变 u 。8令令（2 2）柱坐标系拉普拉斯方程的分离变量）柱坐标系拉普拉斯方程的分离变量91.2.3.贝塞耳方

3、程贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程侧面的齐次边界条件侧面的齐次边界条件的可能数值的可能数值上下低面的齐次边界条件上下低面的齐次边界条件的可能数值的可能数值10（二）波动方程的分离变量（二）波动方程的分离变量令令振动方程振动方程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程（三）输运方程的分离变量（三）输运方程的分离变量令令亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程增长或衰变的方程增长或衰变的方程11（四）亥姆霍兹方程（四）亥姆霍兹方程1.1.球坐标球坐标l 阶球贝塞耳方程阶球贝塞耳方程球函数方程球函数方程12阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程 13m阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程 2.2.柱坐标柱坐标齐次边界条件，本征值问题齐次边界条件，

4、本征值问题14分离变数结果分离变数结果拉普拉斯拉普拉斯方程方程方程方程球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系 l-阶阶连带勒让德连带勒让德方程方程 m-阶贝赛尔阶贝赛尔方程方程m-阶虚宗量贝赛阶虚宗量贝赛尔方程尔方程1516三类数学物理方程三类数学物理方程Helmholtz方程方程连带连带LegendreLegendre方程、方程、BesselBessel方程方程分离时间空间变量分离时间空间变量分离空间坐标变量分离空间坐标变量179.2 9.2 常点邻域的级数解法常点邻域的级数解法线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。对于复变函数：对于复变函数：（一）定

5、义（一）定义方程的方程的常点常点 ：和和 在其邻域解析。否则为在其邻域解析。否则为奇点奇点。（二）常点邻域的级数解（二）常点邻域的级数解定理：定理：方程的常点方程的常点 的邻域的邻域 中中 和和 解析，则在这个圆中存在唯一的解析解解析，则在这个圆中存在唯一的解析解 满满足初始条件足初始条件由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数：由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数：解析函解析函数理论数理论191.1.这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出可用幂级数解法解出2.2.所谓幂级数解法，就是在某个任意点所谓幂级数解法，就是在

6、某个任意点Z Z0 0的邻域上，把待求的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数3.3.幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论助于解析函数的理论进行讨论4.4.求得的解既然是级数，就有是否求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围收敛以及收敛范围的问题的问题.5.5.尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的求解问题中求解问题中几点说明几点说明（三）勒让德方程的级数解法（三）勒让

7、德方程的级数解法化为标准形式：化为标准形式：是方程的奇点是方程的奇点在在 点的邻域点的邻域：1.1.级数解级数解代入方程代入方程或或20递推公式递推公式系数的两系数的两个序列个序列2122这样这样 l 阶阶 Legendre 方程的解是：方程的解是：所以所以 l 阶阶Legendre的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散发散。（GaussGauss判别法判别法）幂级数解的收敛半径幂级数解的收敛半径2.x=1解的收敛性解的收敛性 可以证明，当解可以证明，当解 是无穷级数时，不是无穷级数时，不可能在两点同时收敛。可能在两点同时收敛。如果解是如果解是多项式多项式，即

8、只有有限项，这样的解可以在这两点，即只有有限项，这样的解可以在这两点同时收敛同时收敛由系数的递推关系由系数的递推关系 可知：可知：当当l是偶数，则偶次项的系数在是偶数，则偶次项的系数在k=l以后为零以后为零。当当l是奇数，则奇次项的系数在是奇数，则奇次项的系数在k=l以后为零以后为零。3.3.自然边界条件自然边界条件“解在解在x=1保持有限保持有限”是自然边界条件，勒让德方程变成是自然边界条件，勒让德方程变成本征值问题，本征函数为勒让德多项式，本征值问题，本征函数为勒让德多项式，l(l+1)是本征值是本征值。239.3 正则奇点邻域上的级数解法和和（一）奇点邻域上的级数解（一）奇点邻域上的级数

9、解 定理：定理：如果如果z0是方程是方程 的的奇点，则在奇点，则在p(z)和和q(z)都解析的环状区域都解析的环状区域0z-z0R内，方程的内，方程的两个线性无关解是两个线性无关解是或或（二）正则奇点邻域上的级数解（二）正则奇点邻域上的级数解显然，把解代入方程时，会得到的是一组无穷多个未知数的联显然，把解代入方程时，会得到的是一组无穷多个未知数的联立方程。但在一定条件下，两个线性独立解具有有限个负幂项，立方程。但在一定条件下，两个线性独立解具有有限个负幂项，这样的解称为这样的解称为正则解正则解。正则奇点正则奇点定理：定理：方程方程 在在它的奇点它的奇点z0的邻域的邻域0 z-z0 R内有两个正

10、则解的充要条内有两个正则解的充要条件是件是：(z-z0)p(z)和和(z-z0)2q(z)在在 z-z0 1 或或 n 2令最低幂项合并后的系数为零，得不到令最低幂项合并后的系数为零，得不到s得二次代数方程得二次代数方程26（三）贝塞尔方程（三）贝塞尔方程(1)v阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程在在x0=0的邻域上求解的邻域上求解v 整数或半奇数整数或半奇数2728(2)(2)半奇数半奇数阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程在在x0=0的邻域上求解的邻域上求解第一解第一解29根据常微分方程理论，对于一个二阶线性常微分方程根据常微分方程理论，对于一个二阶线性常微分方程如果已经求出一个解如果已经求出一个解 ，则第二个

11、解可用积分求出，则第二个解可用积分求出朗斯基行列式法朗斯基行列式法30什么情况下第二解可能含对数项？什么情况下第二解可能含对数项？若规定方程在正则奇点处的两个指标若规定方程在正则奇点处的两个指标则则31代入方程代入方程第一解第一解32l+1/2 阶贝塞尔方程通解阶贝塞尔方程通解(3)(3)整数阶贝塞尔方程整数阶贝塞尔方程通解通解33（四）虚宗量贝塞尔方程（四）虚宗量贝塞尔方程(1)(1)v阶虚宗量贝塞尔方程阶虚宗量贝塞尔方程在在x0=0的邻域上求解的邻域上求解v 整数或半奇数整数或半奇数v阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程整数整数阶贝塞尔方程在阶贝塞尔方程在x=0处处的自然边界条件的自然边界条件正项级数

12、，除正项级数，除x=0外恒不为零外恒不为零349.4 9.4 施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔本征值问题 一定的边界条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取一定的边界条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取特定的值时，满足边界条件的解才存在。参数的特定值叫特定的值时，满足边界条件的解才存在。参数的特定值叫本征值本征值，解叫解叫本征函数本征函数，求解的问题就叫，求解的问题就叫本征值问题本征值问题。（一）施图姆刘维尔本征值问题（一）施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔型方程：施图姆刘维尔型方程：化为施图姆刘化为施图姆刘维尔型方程：维尔型方程：二阶常微分方程最一般的形式：二阶常微分方程最一般的形

13、式：35（1）振动方程：振动方程：A 为一常数。为一常数。（2）勒让德方程：勒让德方程：（3）连带勒让德方程：连带勒让德方程：36瑞士数学家瑞士数学家J.C.F.Sturm,法国数学家法国数学家J.Liouville,18361838年发表的研究结果年发表的研究结果（5）埃尔米特方程：埃尔米特方程：标准形式标准形式（4）贝赛尔方程：贝赛尔方程：（6）拉盖尔方程：拉盖尔方程：标准形式标准形式37证明：证明：如端点如端点x=a是是k(x)的一级零点的一级零点在在x=a成为无限大的解应该排除，这正是自然边界条件成为无限大的解应该排除，这正是自然边界条件如端点如端点x=a或或b是是k(x)的一级零点，

14、则在该端点存在自然边界条件的一级零点，则在该端点存在自然边界条件不高于一级极点不高于一级极点勒让德方程的自然边界条件：勒让德方程的自然边界条件：38（二）本征值问题（二）本征值问题1.如如 连续或最多以连续或最多以x=a 和和x=b为一阶极点，则存在无限多个本征值：为一阶极点，则存在无限多个本征值：及无限多本征函数及无限多本征函数2.所有本征值所有本征值证：证：39第一类、第二类边界条件及自然边界条件决定右边一、二项为零第一类、第二类边界条件及自然边界条件决定右边一、二项为零第三类齐次边界条件：第三类齐次边界条件：所以所以即即3.对应于不同的本征值的对应于不同的本征值的 本征函数带权本征函数带

15、权 正交：正交：本征值与本征函数一一对应：本征值与本征函数一一对应：40证：证：第一、第二类齐次第一、第二类齐次或自然边界条件：或自然边界条件：41第三类齐次边界条件：第三类齐次边界条件：同样：同样：4.本征函数族本征函数族完备完备f(x)具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函数族所满足的边界条件。数族所满足的边界条件。绝对且一致收敛绝对且一致收敛42（三）广义傅立叶级数（三）广义傅立叶级数复本征函数族复本征函数族 前边讨论的都是实变量的实值函数。一般地，本征函数还前边讨论的都是实变量的实值函数。一般地，本征函数还可以是实变量的复值函数

16、，或者复变量的复值函数。可以是实变量的复值函数，或者复变量的复值函数。Hilbert 空间空间 把本征值问题的把本征值问题的无穷多个本征函数看作一个无无穷多个本征函数看作一个无穷维函数空间的基穷维函数空间的基，该空间中的任一个函数都可以，该空间中的任一个函数都可以用这组基展开。换句话说，用这组基展开。换句话说，满足相应边界条件的任满足相应边界条件的任意函数都可以表示为该空间中的一个矢量意函数都可以表示为该空间中的一个矢量。这个空。这个空间又是一个内积空间，所有基矢量相互正交或互相间又是一个内积空间，所有基矢量相互正交或互相垂直。垂直。把一个函数用函数基展开，等价于把相应的把一个函数用函数基展开

17、，等价于把相应的矢量在这个空间中投影，每一个基矢量上的投影分矢量在这个空间中投影，每一个基矢量上的投影分量即为该函数的广义量即为该函数的广义FourierFourier系数系数。这样的空间就是。这样的空间就是所谓所谓 Hilbert Hilbert 空间空间。欧拉方程欧拉方程 常系数线性微分方程附录：欧拉方程欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法:则由上述计算可知:用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程:例例1.解解:则原方程化为亦即其根则对应的齐次方程的通解为特征方程 的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入确定系数,得 例例2.解解:将方程化为(欧拉方程)则方程化为即特征根:设特解:代入 解得 A=1,所求通解为 例例3.解解:由题设得定解问题则化为特征根:设特解:代入得 A1 得通解为利用初始条件得故所求特解为 思考思考:如何解下述微分方程提示提示:原方程直接令 为常数