利息理论基础PPT讲稿.ppt

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1、利息理论基础第1页，共108页，编辑于2022年，星期五精算（起源及发展）n精算起源于人寿保险的保费计算。n1693年，英国大数学家、天文学家哈雷编制出第一张生命表，这就标志着精算学的诞生。n1757年，英国人简姆士丹松首先提出应按保险人的年龄和保额收取保费，即提出保费的计算应考虑死亡率的大小。至此，精算思想正式进入人寿保险领域。n1764年，英国的爱德沃创办了世界上第一家人寿保险公司伦敦公平人寿保险社，采用了简姆士丹松的计算保费的思想和方法，并设立了专门的精算技术部门，承担分析保险公司的利润来源、编制生命表、测定人口死亡率等，把精算技术作为保险经营决策的依据，使得保险公司的效益稳定、业绩领先

2、。第2页，共108页，编辑于2022年，星期五精算（起源及发展）n在现代保险企业中，保险精算更成为保险业的核心技术n保险公司要承保某项保险标的，首先就须对该保险标的的潜在损失风险进行评估预测，确立出科学的保险费率。n收取保费后，公司为确保保险公司的经营稳定，履行各种保险责任，必须提留各种必要的准备金，并把除准备金及支付必要的营运成本后的剩余保费收入进行科学的组合投资，以获取一定的投资回报。n对于巨灾损失，为保证公司的稳健经营，又必须合理确立分保计划，等等。n诸如大部分对保险公司财务状况产生重大影响的风险分析均离不开精算技术的应用 第3页，共108页，编辑于2022年，星期五精算（含义）n精算是

3、依据经济学的基本原理，利用现代数学、统计学、金融学及法学等的各种科学有效的方法，对多种经济活动中未来风险进行分析、估价和管理的一门综合性的应用科学，是现代保险、金融、投资实现稳健经营的基础，是为保险业提高管理水平、制定策略和作出经营管理决策提供科学依据和工具的一门学科。n精算学是对风险的评价和制定经济安全方案的方法体系。而风险的重要特征是：不确定性！精算精算精确计算精确计算第4页，共108页，编辑于2022年，星期五精算（应用领域）n应用于保险业、社会保障事业及投资业等各经济领域n通过精算技术的应用可有效预测、控制甚至化解各经济部门所面临的诸多风险，尤其是财务中的风险。第5页，共108页，编辑

4、于2022年，星期五精算师n精算师，通常被认为是受过系统、全面的精算基础教育，经过综合、实战的精算职业培训，集专业技术和管理技能于一身的专门型、复合型高级金融人才。n精算师是指运用精算方法和技术解决经济问题的专业人士，是评估经济活动未来财务风险的专家，他们同“未来不确定性”打交道，为金融决策提供依据。n精算师的作用：“在给金融投资等问题提供专家的、恰如其分的解答方面，尤其是解释不确定的未来事件方面，发挥精算行业的作用并提高它的声誉。”摘自英国精算行业业务报告第6页，共108页，编辑于2022年，星期五精算师（就业领域）n各类保险公司（寿险、财险、再保险公司等）n咨询公司n社保局、保监会n教育机

5、构等其它机构n第7页，共108页，编辑于2022年，星期五精算师（主要职责）n精算师的工作实质是风险管理工作，是对风险的识别、计量、监控，从而保证保险公司的稳健经营。n精算作为保险业的核心技术，正逐渐渗透到保险公司经营管理的各个方面，渗透到风险管理的各个关键点上。精算管理的过程就是风险管理的过程，其最终目的就是防范风险。第8页，共108页，编辑于2022年，星期五精算师（主要职责）1、产品开发设计，监督条款制定、价格设计，和市场预测。比如一个寿险产品，精算师必须通过以往的人口寿命统计、现行银行利率和费用率等资料进行计算，设计出投保人的各种限制条款，最终的新保险产品设计出来后，还必须获得精算师的

6、签字。第9页，共108页，编辑于2022年，星期五2、投资顾问n精算师通过对公司资产的分析作出合理的理财投资建议，监督资金的流向的风险指数。对公司或大客户的投资提供分析帮助。这一部门的精算师很多都具有金融、经济等方面的背景，是复合型的精算师人才。第10页，共108页，编辑于2022年，星期五精算师（主要职责）3、保险产品管理n精算师在产品售出后参与产品管理，分析保险计划的实施状况，以及未来可能需要的资金量，对支付给顾客的投资收入，帮助评估实施情况。4、财务管理精算师需要估算储备金的数量，计划今后的开支；审核财务报告，把握投资方向，确保投资的安全和收益。这和国际会计有相通之处。但精算师需要更熟悉

7、保险市场，同时有对计划的评估能力。第11页，共108页，编辑于2022年，星期五精算管理和控制系统产品产品产品产品设计设计设计设计经验数据经验数据经验数据经验数据分析分析分析分析风险风险风险风险分析分析分析分析定价定价定价定价负债负债负债负债评估评估评估评估资产资产资产资产评估评估评估评估资产负债资产负债资产负债资产负债管理管理管理管理偿付能力偿付能力偿付能力偿付能力评价评价评价评价利润利润利润利润分析分析分析分析环境因素（法律、社会、经济、人口、税收等）环境因素（法律、社会、经济、人口、税收等）精算师的职业化精算师的职业化第12页，共108页，编辑于2022年，星期五精算师（资格考试）n一般

8、精算师资格考试分为准精算师考试和精算师考试两部分，只有通过这两个层次的学习和考试，才会获得精算师资格证书。准精算师考试内容为作为精算人员所必须掌握的精算理论和技能以及基础的精算实务知识精算师考试内容以高级精算专业课程和精算实务为主，内容涉及保险公司运营，公司财务、投资、公司偿付能力管理等诸多内容。n要获得精算师资格，通常需要通过权威精算学会的精算师资格考试认证。第13页，共108页，编辑于2022年，星期五精算协会n基本职能职业发展与自律教育与考试交流（年会、刊物、网站、学术研讨）公共服务（参与决策、受理投诉、宣传）第14页，共108页，编辑于2022年，星期五精算协会n国际上著名的精算学会有

9、：1）北美精算学会（SOA，Society of Actuaries）2）英国精算学会（FIA，the Faculty and Institute of Actuaries）3）日本精算学会(IAJ，Institute of Actuaries of Japan）4）澳大利亚精算学会（IAAus，Institute of Actuaries of Australia）n不同的精算师学会具有不同的资格认证和考试课程和制度。n在国际上最具代表性和权威性，规模最大、拥有最多会员精算师的组织是SOA，它实际上是北美寿险精算学会。第15页，共108页，编辑于2022年，星期五精算协会n国际上其它精算学会

10、：国际精算协会（IAA，International Actuarial Associations）加拿大精算学会（CIA，Canadian Institute of Actuaries）美国精算学会（AAA，American Academy of Actuaries）北美非寿险精算学会（CAS，Casualty Actuarial Society）美国养老金精算师协会（ASPA）第16页，共108页，编辑于2022年，星期五中国精算协会CAAn英文名称为：China Association of Actuariesn中国精算师协会是精算师的全国性组织，依照有关规定对精算师进行自律管理。会址设在

11、中国北京市。n协会经国务院同意、民政部批准于2007年11月30日成立，为全国性的非营利性社会团体法人，其业务主管单位是中国保险监督管理委员会。n中国精算师协会的最高权力机构是由全体会员组成的会员大会，理事会为其执行机构第17页，共108页，编辑于2022年，星期五我国的精算教育nSOA自1987年起与我国南开大学合作设立了精算教育培训项目，并于1992年在南开设立考试中心。n中国精算教育始于1988年南开大学招收第一届中美联合培养的精算研究生n1999年中国精算师资格考试正式开始n在我国存在四大保险精算师考试体系：中国保险精算师、日本保险精算师、英国保险精算师、北美保险精算师。其中，北美精算

12、师是最具权威的精算师认证体系。第18页，共108页，编辑于2022年，星期五中国精算师资格考试的新体系nFCAA(Fellow of China Association of Actuaries)部分的考试内容n分为寿险方向和非寿险方向，均由七门专业课程及一门职业道德教育课程组成n寿险方向 FC1 保险法及相关法规 FC2 保险公司财务管理 FC3*健康保险 FC4*投资学 FL1 个人寿险与年金精算实务 FL2 资产负债管理 FL3*员工福利计划n非寿险方向 FC1 保险法及相关法规 FC2 保险公司财务管理 FC3*健康保险 FC4*投资学 FG1*非寿险精算实务 FG2*非寿险定价 FG

13、3*非寿险责任准备金评估第19页，共108页，编辑于2022年，星期五寿险n以人的生命为保险标的的保险，人的生存与死亡决定保险金的给付与否及给付时间。n如，终身寿险，定期寿险，两全保险，生存年金，万能寿险，分红保险等。第20页，共108页，编辑于2022年，星期五寿险精算n多为长期业务n保险事故通常是确定的，但保险事故发生的时间不确定，受利率的影响很大n通常无需考虑保险事故发生的频率和程度n例如，个人养老基金问题，这是一笔很大的资产，它为特定的一些人提供将来的养老金。常常必须要为那些现在还很年轻的人提供退休养老金。养老基金的管理者们必须考察下面两个问题：一是这些资产在三四十年或更长的时间里的价

14、值是什么，二是养老金领取者活着并领取养老金的时间多长。第21页，共108页，编辑于2022年，星期五非寿险n财产保险n责任保险n健康保险n意外伤害保险n第22页，共108页，编辑于2022年，星期五北京地区机动车商业保险费率浮动方案北京地区机动车商业保险费率浮动方案（2010.1.1实施）实施）内容内容系数系数备注备注连续连续5年没有发生赔款年没有发生赔款0.4连续连续4年没有发生赔款年没有发生赔款0.5连续连续3年没有发生赔款年没有发生赔款0.6连续连续2年没有发生赔款年没有发生赔款0.7上年没有发生赔款上年没有发生赔款0.85上年发生上年发生1-2次赔款次赔款1.0上年度赔款总额小上年度赔

15、款总额小于保费的乘以于保费的乘以0.9的赔款金额调整系的赔款金额调整系数数上年发生上年发生3次赔款次赔款1.1上年发生上年发生4次赔款次赔款1.2上年发生上年发生5次赔款次赔款1.5上年发生上年发生6次赔款次赔款2.0上年发生上年发生7次赔款次赔款2.5上年发生上年发生8次及次及8次以上的赔款次以上的赔款3.0本年承保新购置车辆本年承保新购置车辆1本年首次投保本年首次投保1第23页，共108页，编辑于2022年，星期五非寿险精算n多为短期业务n保险事故的发生及由此造成的损失都不确定，关键在于研究保险事故发生频率和程度n利率的影响通常无关紧要第24页，共108页，编辑于2022年，星期五非寿险和

16、寿险的比较（1）n风险性质和经营特点不同n寿险：n保险标的：人的生命，以生和死作为保险事件，生存率和死亡率以生命表为基础；n保险金额比较均衡，风险的测定和保险经营相对稳定；n非寿险：n保险标的五花八门，以各种自然灾害和意外事故作为保险事故n实际损失分解为其发生的频率和损失额，影响这两个变量的随机因素较多，不容易预测n各风险单位的保险金额相差悬殊，保险经营上需要保持较多的现金，风险可能过分集中，保险公司往往采用再保险的方式分散风险第25页，共108页，编辑于2022年，星期五非寿险和寿险的比较（2）n费率的厘定方法不同n寿险：n以预定死亡（生存）率、预定利率和预定费用率为基础计算。n在一定时期，

17、比较稳定，保费计算较准确，预期的给付波动较小。n非寿险：n以过去长期的保险损失统计资料为依据n未来的风险损失因素未必能用过去的损失资料揭示，所以实际和预期赔付差异的波动性较大。n实际中，费率往往根据当年的损失率修正来年的费率，且该费率经常需要变动。第26页，共108页，编辑于2022年，星期五非寿险和寿险的比较（3）n巨额损失的可能性不同n寿险：通常不可能出现大量被保险人同时发生保险给付的情况。战争和地震可能例外，但在保险条款中，这些灾害事故通常列为除外责任n非寿险：许多被保险人同时发生保险事故的现象较多，巨灾损失相对较多。如汽车追尾事件，几十辆汽车发生车损并引起人身上网和责任损失并不鲜见。第

18、27页，共108页，编辑于2022年，星期五非寿险和寿险的比较（4）n保险期限和合同数量不同n寿险：期限较长，合同数量较多，比较符合大数定律的条件，因而，保费收入、保险给付比较稳定。n非寿险：多为短期业务，合同数量较少，离大数定律的条件相差甚远。业务的财务稳定性较差，精算研究困难很大。第28页，共108页，编辑于2022年，星期五非寿险和寿险的比较（5）n综上所述，非寿险相对于寿险：n涉及的随机因素更多n计算误差更大n定量分析更困难n运用的数学理论和方法更多第29页，共108页，编辑于2022年，星期五本课程的主要目标n掌握保险精算的基本原理和方法，理解它在实际中的应用n重点掌握寿险精算技术，

19、了解非寿险精算的一般方法n能够运用所学知识解决一些简单的实际问题第30页，共108页，编辑于2022年，星期五教材n指定教材n 寿险数理基础寿险数理基础 知识知识n保险精算学，王晓军等，中国人民大学出版社，1995。第31页，共108页，编辑于2022年，星期五教材和参考书：王仲建 主编：保险精算，科学出版社。该书内容包括了利息理论、寿险精算和非寿险精算三部分内容。每章都有难度适当的练习题，书后附带的生命表为中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）。第32页，共108页，编辑于2022年，星期五教材和参考书：范兴华、邹公明：保险精算学通论，请华大学出版社。该书内容包括复利数学、生存模型、

20、寿险精算模型和非寿险精算模型四部分内容。内容编排通俗易懂，但没有附带章节练习题，书后附带的生命表为中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）。第33页，共108页，编辑于2022年，星期五n精算学是应用现代数学和概率论与数理统计方法，依据利息理论和风险理论两大基本理论，结合经济、金融、投资、保险等基本知识和原理，研究经济活动中风险的发生、规避，及其进行科学管理的一门综合性的应用学科。第34页，共108页，编辑于2022年，星期五n 在国外，精算学的产生和发展已有一百多年的历史。在早期主要应用于保险业，但目前它的研究和应用领域已十分广泛，主要包括：金融业务风险分析，计算保险费率井进行保单设计

21、设计国家社会保障计划和企业职工福利计划，公司资产评估，证券投资经营和企业经营预测等。第35页，共108页，编辑于2022年，星期五n人寿保险公司的精算人员主要从事产品开发定价、负债评估、偿付能力监控、经验分析、长期财务预测以及费用分析、资产负债管理等工作，其中产品开发定价和负债评估是最基本的工作。产品开发定价是首先进行市场调研，再根据保险监督管理委员会制定的人寿保险精算原则和产品开发的有关规定，进行产品设计和定价。负债评估即责任准备金评估，主要是对寿险公司已经销售的有效保单进行评估，计算出公司对这些有效保单应承担的责任作为公司的负债。第36页，共108页，编辑于2022年，星期五课程结构n基础

22、利息理论基础 生命表基础n核心n生命年金 n保费计算n责任准备金计算第37页，共108页，编辑于2022年，星期五第一章利息理论基础第38页，共108页，编辑于2022年，星期五利息理论要点n利息的度量第39页，共108页，编辑于2022年，星期五第一节利息的度量第40页，共108页，编辑于2022年，星期五一、利息的定义n定义：n利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。n影响利息大小的三要素：n本金n利率n时期长度第41页，共108页，编辑于2022年，星期五二、利息的度量n积累函数n金

23、额函数n贴现函数n第N期利息0t1-K-1第42页，共108页，编辑于2022年，星期五n 利息的产生，可根据利息的度量角度分为：利率，贴现率，名义利率，实际利率第43页，共108页，编辑于2022年，星期五利息度量一计息时刻不同n期末计息利率n第N期实际利率n期初计息贴现率n第N期实际贴现率第44页，共108页，编辑于2022年，星期五n1）计息的方式。n滞后利息滞后利息 期初利息期初利息 例：购买一年期面值为100元的国债，n第一种方法：一年后还本付息110元；10元为滞后利息，是期初本金上的增加额。元为滞后利息，是期初本金上的增加额。-利息。利息。n第二种方法：购买时90元，一年后按面值

24、返还。10元为期初利息，是期末值的减少额。元为期初利息，是期末值的减少额。-贴贴现额。现额。第45页，共108页，编辑于2022年，星期五.n2）贴现率计算：n年贴现额年贴现额=Andn=An-An-1 以以An为基数的减少额。为基数的减少额。n年利息年利息=An-1 in=An-An-1 以以An-1为基数的增加额。为基数的增加额。第46页，共108页，编辑于2022年，星期五实际利率与实际贴现率初始值利息积累值11第47页，共108页，编辑于2022年，星期五第48页，共108页，编辑于2022年，星期五第49页，共108页，编辑于2022年，星期五实际贴现率第50页，共108页，编辑于2

25、022年，星期五第51页，共108页，编辑于2022年，星期五第52页，共108页，编辑于2022年，星期五第53页，共108页，编辑于2022年，星期五4）贴现率与折现因子n公式一公式一n及：n公式二公式二n及：第54页，共108页，编辑于2022年，星期五例1.1 实际利率/贴现率n某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求 分别等于多少？第55页，共108页，编辑于2022年，星期五例1.1答案 第56页，共108页，编辑于2022年，星期五利息度量二积累方式不同n线性积累n单利n单贴现n指数积累n复利n复贴现第57页，共108页，编辑于202

26、2年，星期五n计算资金借贷的到期利息，只考虑本金金额，不考虑期间的利息因素，是计算利息的最简便的方法。第58页，共108页，编辑于2022年，星期五单复利计息之间的相关关系n单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。n单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。n 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。n 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。第59页，共108页，编辑于2022年，星期五第60页，共108页，编辑于2022年，星期五例1.2 n某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利

27、计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？第61页，共108页，编辑于2022年，星期五例1.2答案 第62页，共108页，编辑于2022年，星期五n计算：用单利和复利分别试计算2000元本金，5%的利率：n1，9 个月的利息n2，2年零3个月的利息第63页，共108页，编辑于2022年，星期五n例：例：94年年1月月1日的积累值为日的积累值为1，000元，元，d=10%求：求：1）90年年1月月1日的现值为多少？日的现值为多少？2）年利率为多少）年利率为多少?3）折现因子为多少？）折现因子为多少？n解：1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2)n3

28、）v=1-d=0.9 第64页，共108页，编辑于2022年，星期五利息的度量三利息计算频率不同n实际利率：以一年为一个计息期，该利率记为实际利率，记为 。n名义利率：在一年里有m个计息期，假如每一期的利率为j，记 为 这一年的名义利率，。n利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力，记为 。n实际贴现率和名义贴现率的定义与实际利率、名义利率类似。第65页，共108页，编辑于2022年，星期五n例：期初本金为例：期初本金为1 1元，年利率为元，年利率为10%10%。n如果一年计息一次，则年末积累值为如果一年计息一次，则年末积累值为1.101.10元。元。n如果一年计息两次，则年

29、末积累值为如果一年计息两次，则年末积累值为 （1+10%/21+10%/2）2 2=1.1025=1.1025元元 即年实际利率为即年实际利率为10.25%10.25%第66页，共108页，编辑于2022年，星期五名义利率与实际利率n 名义利率11第67页，共108页，编辑于2022年，星期五第68页，共108页，编辑于2022年，星期五第69页，共108页，编辑于2022年，星期五2）实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。）实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现率。名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现率。n设年名义贴现率为d(m),n实际贴现率

30、为d，n则：每次的贴现率为n所以：n或：第70页，共108页，编辑于2022年，星期五名义贴现率与实际贴现率n 名义贴现率11第71页，共108页，编辑于2022年，星期五第72页，共108页，编辑于2022年，星期五第73页，共108页，编辑于2022年，星期五第74页，共108页，编辑于2022年，星期五例（例（1）求每月结算的年利率为）求每月结算的年利率为12%的实际利率；的实际利率；（2）求每季结算的年贴现率为）求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率。的实际贴现率。n解（1）n（2）n结论：结转次数越多，结论：结转次数越多，实际利率越大，实际实际利率越大，实际贴现率越小。贴现率越小。

31、第75页，共108页，编辑于2022年，星期五例1、确定500元以季度计息8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及计息，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度计息的名义利率，使其等于月度计息的6%名义贴现率。第76页，共108页，编辑于2022年，星期五例1.3答案1、2、3、第77页，共108页，编辑于2022年，星期五利息力n瞬时利率。度量资本在某一时点上的获瞬时利率。度量资本在某一时点上的获利能力。利能力。n1 1）常数利息力）常数利息力n定义定义 ：第78页，共108页，编辑于2022年，星期五第79页，共108页，编辑于2022年，星期五或：n所以：

32、a）nb）第80页，共108页，编辑于2022年，星期五利息力与累积函数第81页，共108页，编辑于2022年，星期五3）利息力的一般式n定义第82页，共108页，编辑于2022年，星期五累积函数与利息力n由定义式：第83页，共108页，编辑于2022年，星期五两边积分第84页，共108页，编辑于2022年，星期五。n当当 为常数时：为常数时：第85页，共108页，编辑于2022年，星期五各年的利息力分别为：各年的利息力分别为：积累函数值积累函数值第86页，共108页，编辑于2022年，星期五例：设n1）n4）第87页，共108页，编辑于2022年，星期五n确定1000元按如下利息效力投资10

33、年的积累值1、2、第88页，共108页，编辑于2022年，星期五第89页，共108页，编辑于2022年，星期五二、利率问题、时间问题求解 n利率问题求解利率问题求解n1 1）解析法）解析法n2 2）线性插值法）线性插值法n3 3）迭代法）迭代法第90页，共108页，编辑于2022年，星期五1）解析法第91页，共108页，编辑于2022年，星期五例：期初的2，000元本金经过2年3个月之后的累积额为2，500元，试确定这笔投资的收益率。n解：第92页，共108页，编辑于2022年，星期五2）线性插值法n设y=f(i)，在区间（i1，i2）近似呈线性变化。n且：f(i1)0，f(i0)=0第93页

34、，共108页，编辑于2022年，星期五.n.i1i0i2f(i1)f(i2)y0 x第94页，共108页，编辑于2022年，星期五斜率相等第95页，共108页，编辑于2022年，星期五例：某人现在投资500元，第一年末投资300元，第二年末再投资150元，这样在第四年末将积累到1，300元，求in解：500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2=1300n令：nf(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2-1300第96页，共108页，编辑于2022年，星期五由试算得：nf(0.1)=12.85=f(i2)nf(0.09)=-27.49=f(i1)n由线性

35、插值法得：第97页，共108页，编辑于2022年，星期五3）迭代法n多次运用线性插值法。多次运用线性插值法。n例：用迭代法求上例，要求精确度达到例：用迭代法求上例，要求精确度达到小数点后小数点后5 5位。位。第98页，共108页，编辑于2022年，星期五解:上例中nf(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2-1300n第一次近似：n f(0.0968)=-0.1604=f(i1)n试算：n f(0.0969)=0.2447=f(i2)第99页，共108页，编辑于2022年，星期五由线性插值法得：第100页，共108页，编辑于2022年，星期五时间问题的求解第101页，共108页，编辑于2022年，星期五1）解析式第102页，共108页，编辑于2022年，星期五2）72规则第103页，共108页，编辑于2022年，星期五。第104页，共108页，编辑于2022年，星期五。第105页，共108页，编辑于2022年，星期五近似公式第106页，共108页，编辑于2022年，星期五。第107页，共108页，编辑于2022年，星期五。第108页，共108页，编辑于2022年，星期五