(精品)数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答案第7章.ppt
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1、有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 第6章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计6.1 学习要点学习要点6.2教材第教材第7章习题与上机题解答章习题与上机题解答有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 6.1 学学 习习 要要 点点 6.1.1 线性相位概念与具有线性相位的线性相位概念与具有线性相位的FIR数字滤数字滤波器的特点波器的特点1 线性相位概念线性相位概念设H(ej)=FTh(n)为FIR滤波器的频响特性函数。H(ej)可表示为 H(ej)=Hg()ej()有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章Hg()称为幅度函数,为的实函数。应注意Hg()与幅频特性函数|H(ej)|
2、的区别,|H(ej)|为的正实函数,而Hg()是一个可取负值的实函数。()称为相位特性函数,当()=时,称为第一类(A类)线性相位特性;当()=0时,称为第二类(B类)线性相位特性。0=/2是第二类线性相位特性常用的情况,所以本书仅考虑这种情况。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章2 具有线性相位的具有线性相位的FIR滤波器的特点(滤波器的特点(h(n)长度为长度为N)1)时域特点(6.1.1)(6.1.2)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章群延时,为常数,所以将A类和B类线性相位特性统称为恒定群延时特性。2)频域特点有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章3)结论掌握以上特点
3、,就可以得出如下结论,这些结论对FIR滤波器的设计很重要。(1)情况1:可以实现所有滤波特性(低通、高通、带通、带阻和点阻等)。(2)情况2:Hg()=0,不能实现高能、带阻和点阻滤波器。(3)情况3:只能实现带通滤波器(因为Hg(0)=Hg()=Hg(2)=0)(4)情况4:不能实现低能、带阻和点阻滤波器。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章6.1.2 FIR数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法教材中主要介绍了FIR-DF的3种设计方法,即窗函数法、频率采样法、等波纹最佳逼近法。这3种设计方法的设计原理及设计步骤教材中讲得很清楚,本书不再重复,读者只要认真学习教材,并参考例题和习题解答
4、,就可以掌握本章的知识和方法。下面仅举一个例子,用窗函数设计法的概念证明一个重要的结论,使读者正确理解所谓的最佳设计法,其设计效果与设计的最佳准则有关,以一个最佳准则设计的最佳滤波器,在另一个最佳准则下可能就不是最佳的,甚至很差,以至于无实际应用价值。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章例例6.1.1 试证明在窗函数设计法中,当h(n)长度N值固定时,矩形窗设计结果满足频域最小均方误差逼近准则。解解:仿照窗函数设计法的过程,设Hd(ej)表示期望逼近的理想滤波器频率响应,其单位脉冲响应为hd(n)。用w(n)表示窗函数,长度为N;用h(n)表示用窗函数法设计的实际FIR滤波器单位脉冲响应
5、(即h(n)=hd(n)w(n),其频率响应函数为H(ej)。定义H(ej)与Hd(ej)的均方误差为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章本例题就是要求证明:当w(n)=RN(n)时,2最小。由于证明的条件与窗函数w(n)的类型(形状)有关,所以,将2转换到时域表示,有利于证明。证明如下:(1)令误差函数 E(ej)=Hd(ej)H(ej)由于E(ej)为周期函数,所以可展开为幂级数有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(2)用系数e(n)表示均方误差2。(3)证明只有当w(n)=RN(n),h(n)=hd(n)Rn(n)时,2最小。下面按三步证明:(1)因为,所以有限脉冲响应(FI
6、R)数字滤波器的设计第章由于h(n)长度为N,即当n0或nN时,h(n)=0,所以故有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(2)因为E(ej)=FTe(n),所以由帕塞瓦尔定理有(3)由(2)的结果知,2的前面两个求和项与w(n)无关,而第三个求和项为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章由此证明,矩形窗设计确实满足频域最小均方误差准则。前面已提到,当Hd(ej)为理想频响特性(理想低通、带通等)时,矩形窗设计的FIR滤波器阻带最小衰减只有21 dB,不满足一般工程要求。所以,调用频域最小均方误差最佳逼近设计程序设计FIR滤波器时,使Hd(ej)具有平滑的滚降特性,可使阻带衰减加大,通
7、带内波纹减小。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章6.2 教材第教材第7章习题与上机题解答章习题与上机题解答1 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为:(1)h(n)长度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3(2)h(n)长度N=7 h(0)=h(6)=3 h(1)=h(5)=2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解:(1)由所给h(n)的取值可知,h(n)满足h(n)=h(N1n),所以FIR滤波器具有A类线性相位特性:由于N=6为偶数(情况2),所以幅度
8、特性关于=点奇对称。(2)由题中h(n)值可知,h(n)满足h(n)=h(N1n),所以FIR滤波器具有B类线性相位特性:由于7为奇数(情况3),所以幅度特性关于=0,2三点奇对称。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章2 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16,其16个频域幅度采样值中的前9个为:Hg(0)=12,Hg(1)=8.34,Hg(2)=3.79,Hg(3)Hg(8)=0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点,求其余7个频域幅度采样值。解解:因为N=16是偶数(情况2),所以FIR滤波器幅度特性Hg()关于=点奇对称,即Hg(2)=Hg()。其N
9、点采样关于k=N/2点奇对称,即Hg(Nk)=Hg(k)k=1,2,15综上所述,可知其余7个频域幅度采样值:Hg(15)=Hg(1)=8.34,Hg(14)=Hg(2)=3.79,Hg(13)Hg(9)=0有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章3 设FIR滤波器的系统函数为求出该滤波器的单位脉冲响应h(n),判断是否具有线性相位,求出其幅度特性函数和相位特性函数。解解:对FIR数字滤波器,其系统函数为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章由h(n)的取值可知h(n)满足:h(n)=h(N1n)N=5所以,该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。频率响应函数H(ej)为所以其单位脉冲响应
10、为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章幅度特性函数为 相位特性函数为4 用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器,要求过渡带宽度不超过/8 rad。希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ej)为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(1)求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n);(2)求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式,确定与N之间的关系;(3)简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。解:(1)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(2)为了满足线性相位条件,要求,N为矩形窗函数长度。因为要求过渡带宽度rad,所
11、以要求,求解得到N32。加矩形窗函数,得到h(n):有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(3)N取奇数时,幅度特性函数Hg()关于=0,2三点偶对称,可实现各类幅频特性;N取偶数时,Hg()关于=奇对称,即Hg()=0,所以不能实现高通、带阻和点阻滤波特性。5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器,要求过渡带宽度不超过/10 rad。希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ej)为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(1)求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n);(2)求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式,确定与N的关系;(3)N的取值有什么限制?为什么?解解
12、:(1)直接用IFTHd(ej)计算:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章hd(n)表达式中第2项正好是截止频率为c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。而(n)对应于一个线性相位全通滤波器:Hdap(ej)=ej即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。(2)用N表示h(n)的长度,则h(n)=hd(n)RN(n)=有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章为了满足线性相位条件:h(n)=h(N1n)要求满足(3)N必须取奇数。因为N为偶数时(情况2),H(ej)=0,不能实现高通。根据题中对过渡带宽度的要求,N应满足:,即N40。取N=41。6
13、 理想带通特性为有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(1)求出该理想带通的单位脉冲响应hd(n);(2)写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式,确定N与之间的关系;(3)要求过渡带宽度不超过/16 rad。N的取值是否有限制?为什么?解解:(1)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章上式第一项和第二项分别为截止频率c+B和c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。所以,上面hd(n)的表达式说明,带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现。(2)h(n)=hd(n)w(n)为了满足线性相位条件,与N应满足有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章实质上,即使不要求具有线性相位,与N也应满足该关
14、系,只有这样,才能截取hd(n)的主要能量部分,使引起的逼近误差最小。(3)N取奇数和偶数时,均可实现带通滤波器。但升余弦窗设计的滤波器过渡带为8/N,所以,要求,即要求N128。7 试完成下面两题:试完成下面两题:(1)设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ej),另一个滤波器的单位脉冲响应为h1(n),它与h(n)的关系是h1(n)=(1)nh(n)。试证明滤波器h1(n)是一个高通滤波器。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(2)设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ej),截止频率为c,另一个滤波器的单位脉冲响应为h2(n),它与h(n
15、)的关系是h2(n)=2h(n)cos0n,且c0(c)。试证明滤波器h2(n)是一个带通滤波器。解解:(1)由题意可知对h1(n)进行傅里叶变换,得到有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章上式说明H1(ej)就是H(ej)平移的结果。由于H(ej)为低通滤波器,通带位于以=0为中心的附近邻域,因而H1(ej)的通带位于以=为中心的附近,即h1(n)是一个高通滤波器。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章这一证明结论又为我们提供了一种设计高通滤波器的方法(设高通滤波器通带为c,):设计一个截止频率为c的低通滤波器hLp(n)。对hLp(n)乘以cos(n)即可得到高通滤波器hHp(n)
16、cos(n)=(1)nhLp(n)。(2)与(1)同样道理,代入h2(n)=2h(n)cos0n,可得有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章因为低通滤波器H(ej)通带中心位于=2k,且H2(ej)为H(ej)左右平移0,所以H2(ej)的通带中心位于=2k0处,所以h2(n)具有带通特性。这一结论又为我们提供了一种设计带通滤波器的方法。8 题8图中h1(n)和h2(n)是偶对称序列,N=8,设 H1(k)=DFTh1(n)k=0,1,N1 H2(k)=DFTh2(n)k=0,1,N 1(1)试确定H1(k)与 H2(k)的具体关系式。|H1(k)|=|H2(k)|是否成立?为什么?(2)
17、用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位?群延时为多少?有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题8图有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解:(1)由题8图可以看出h2(n)与h1(n)是循环移位关系:h2(n)=h1(n+4)8R8(n)由DFT的循环移位性质可得(2)由题8图可知,h1(n)和h2(n)均满足线性相位条件:h1(n)=h1(N1n)h2(n)=h2(N1n)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章所以,用h1(n)和h2(n)构成的低通滤波器具有线性相位。直接计算FTh1(n)和h2(n)也可以得到同样的结论。设 所以,群延时为有限脉冲响应(
18、FIR)数字滤波器的设计第章9 对下面的每一种滤波器指标,选择满足FIRDF设计要求的窗函数类型和长度。(1)阻带衰减为20 dB,过渡带宽度为1 kHz,采样频率为12 kHz;(2)阻带衰减为50 dB,过渡带宽度为2 kHz,采样频率为20 kHz;(3)阻带衰减为50 dB,过渡带宽度为500 Hz,采样频率为5 kHz。解解:我们知道,根据阻带最小衰减选择窗函数类型,根据过渡带宽度计算窗函数长度。为了观察方便,重写出教材第211页中表7.2.2。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章结合本题要求和教材表7.2.2,选择结果如下:(1)矩形
19、窗满足本题要求。过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=200/12 000=/60,精确过渡带满足:1.8/N/60,所以要求N1.860=108。(2)选哈明窗,过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=4000/20 000=/5,精确过渡带满足:6.6/N/5,所以要求N6.65=33。(3)选哈明窗,过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=1000/5000=/5,精确过渡带满足:6.6/N/5,所以要求N6.65=33。10 利用矩形窗、升余弦窗、改进升余弦窗和布莱克曼窗设计线性相位FIR低通滤波器。要求希望逼近的理想低通滤波器通带截止频率c=/4 rad,N=21。求出分别对应的单
20、位脉冲响应。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解:(1)希望逼近的理想低通滤波器频响函数Hd(ej)为其中,a=(N1)/2=10。(2)由Hd(ej)求得hd(n):有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(3)加窗得到FIR滤波器单位脉冲响应h(n):升余弦窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 改进升余弦窗:布莱克曼窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章11 将技术要求改为设计线性相位高通滤波器,重复题10。解解:方法一 将题10解答中的逼近理想低通滤波器(Hd(ej)、hd(n)改为如下理想高通滤波器即可。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响
21、应(FIR)数字滤波器的设计第章上式中(n10)对应于全通滤波器。上式说明,高通滤波器的单位脉冲响应等于全通滤波器的单位脉冲响应减去低通滤波器的单位脉冲响应。仿照10题,用矩形窗、升余弦窗、改进升余弦窗和布菜克曼窗对上面所求的hd(n)加窗即可。计算与绘图程序与题10解中类同,只要将其中的h(n)用本题的高通h(n)替换即可。方法二 根据第7题(1)的证明结论设计。(1)先设计通带截止频率为/4的低通滤波器。对四种窗函数所得FIR低通滤波器单位脉冲响应为题9解中的hR(n)、hHn(n)、hHm(n)和hBl(n)。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章(2)对低通滤波器单位脉冲响应乘以c
22、osn可得到高通滤波器单位脉冲响应:矩形窗:升余弦窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章 改进升余弦窗:布莱克曼窗:有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章题12图12 利用窗函数(哈明窗)法设计一数字微分器,逼近题12图所示的理想微分器特性,并绘出其幅频特性。有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章解解:(1)由于连续信号存在微分,而时域离散信号和数字信号的微分不存在,因而本题要求设计的数字微分器是指用数字滤波器近似实现模拟微分器,即用数字差分滤波器近似模拟微分器。下面先推导理想差分器的频率响应函数。设模拟微分器的输入和输出分别为x(t)和y(t),即令x(t)=ejt,则y(t
23、)=jket=jkx(t)对上式两边采样(时域离散化),得到有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章其中=T。将x(nT)和y(nT)分别作为数字微分器的输入和输出序列,并用Hd(ej)表示数字理想微分器的频率响应函数,则即有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章根据题12图所给出的理想特性可知所以应取k=T,所以Hd(ej)=j取群延时=(N1)/2,则逼近频率响应函数应为 Hd(ej)=jej=ej(/2)有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计第章设FIR滤波器h(n)长度为N,一般取=(N1)/2。加窗后得到我们知道,微分器的幅度响应随频率增
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