量子力学答案.docx

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1、量子力学习题及解答第一章量子理论基础1. 1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长4与温度T成反比，4T=b （常量）;并近似计算b的数值，精确到二位有效数字。0 -73解 依据普朗克的黑体辐射公式(1)ekT -1Av = c, (2) pvdv = -pvdA (3)有一，这里的p入的物理意义是黑体内波长介于人与人+d 1人之能量密度。此题关注的是入取何值时，小取得极大值，因此，就得要求0.对人的一阶导数为零，由此可求得相应的人的值, 记作4。但要留意的是，还需要验证外对人的二阶导数在乙处的取值是否小于零，假如小于零，那么前面求 得的4就是要求的，详细如下：假如令，那么

2、上述方程为5（1-*”）=工 AkT这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0,但经过验证，此解是平凡的；此外的一个解可以通过逐步近 似法或者数值计算法获得：x=4.97,经过验证，此解正是所要求的，这样那么有=把x以及三个物理常量 xk代入到上式便知4 = 2.9 x 10一根.尺这便是维恩位移定律。据此，我们学问物体温度上升的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便 会依据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的凹凸。1. 2在0K四周，钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。h解 依据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv, P = -假如所考虑的粒子是非相对论性的电

3、子（石动 q=。，=8, G =）dr当q = 0, r2 =oo时，6y（厂）=0为几率最小位置 /. r = a0是最可几半径。2P2力-2V2V2r2sin 0 d0a(sin。)+d0sin2 0 d(p2c(p) = J/(几。#)八动量几率分布函数G（p）=卜（）动量几率分布函数G（p）=卜（）2(“ + 力 2)4#3.3证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的重量是fIfl, 泳求证：电子的电流密度Je= -eJ= e丁（匕.V.一加 WmQ2didrsmO d(prsmO d(pV在球极坐标中为 = ? + - + or r o0式中蓝、蔡、却为单位矢量 V/nfm

4、中的和6局部是实数。ieh2rsin。22（一加-imW续、）疏可见，J er = eO = /可见，J er = eO = /ehm；Z - n/ni “sin，#3.4由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由很多圆周电流组成的。（1）求一圆周电流的磁矩。（2）证明氢原子磁矩为原子磁矩与角动量之比为 这个比值称为回转磁比率。解：（1） 一圆周电流的磁矩为 dM =iA = JdS-A （i为圆周电流，AC- yL/氢原子的磁矩为ehm在CGS单位制中 M =- 原子2/c为圆周所围面积）磁矩与角动量之比为Mz _M _ eMz _M _ e(S/)Lz2juc(CGS)t工5刚性转子转动惯量为

5、I,它的能量的经典表示式是二汇 L为角动量求与此对应的量子体系在以下状况下的定态能量及波函数：（1）转子绕一固定轴转动：（2）转子绕一固定点转动:解：（1）设该固定轴沿Z轴方向，那么有?=及哈米顿算符哈米顿算符其本征方程为（方与/无关，属定态问题）令 ，篦那么 d 0（?）= 0力 2（I/取其解为 。（=Aeim G = (F 4 x) 27th 17th /. A = 1/V 4162动量p的平均值为#3.7 一维运动粒子的状态是Axe-,当xNO廿上。八 4,其中；10,求:0,当 v 0(1)粒子动量的几率分布函数(2)粒子的平均动量。解：(1)先求归一化常数，由1=5(”)2dL产小

6、排2 A = 2吐动量几率分布函数为(2)p = f (x)pi/(x)dx = -ih 4矛xe一人色(e一力dxJ-8J-0dx#3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为。，假如粒子的状态由波函数 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解：由波函数-(%)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为动量的几率分布函数为()= Cn 2= f，(x)y/(x)dx =1sin”工(x)dxJ-ooJO 先把夕(2)归一化，由归一化条件,V339设氢原子处于状态以r9)= - R21 (r)F10 电(p) 一三R21 (r)V-夕)求氢原子能量

7、、角动量平方及角动量z重量的可能值，这些可能值消失的几率和这些力学量的平均值。解：在此能量中，氢原子能量有确定值月2=一上鼻=一丝5 = 2)2力2/8力2角动量平方有确定值为L2 = 2(2 + 1)%2 = 2力2(2 = 1)角动量Z重量的可能值为Lzl =0 LZ2 = 一力13其相应的几率分别为一，一44_133其平均值= xO力X= h444oo. r a;3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 U(r) =0, r a)由于在rv 的区域内，U(r) = 0o只求角动量为零的状况，即2 = 0,这时在各个方向觉察粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度2 无关，是各向同性的

8、，因此，粒子的波函数只与r有关，而与6、无关。设为收（，），那么粒子的能量的本征方程力2 1 d , 2(r2 r dr=Ey/令 U(r) = rEw， k22uE , d2u 94,得= o力 2dr2其通解为波函数的有限性条件知,犷（0）=有限，那么/、 区.，A = 0;= sin4r由波函数的连续性条件，有n兀B 0 ka = n九(n = 1,2,)k =a. n27C 2B . mt = = sinr2par a其中B为归一化，由归一化条件得B =一归一化的波函y/（r） =2兀a#3.11.3.12粒子处于状态（X）=（二万）“22芯x2求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系

9、（）2 .（即）2 = ? 解： P = O式中4为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系（4:）2（4）2=? 解：先把收（X）归一化，由归一化条件，得.,.g2 = J- /2%I）是归一化的沙（X）= exp poxx h 2动量平均值为）2p7 = ?f ooco2x = | y/ xi/dx= | xe dx （奇被积函数） J00Jco#3.13采用测不准关系估量氢原子的基态能量。解：设氢原子基态的最概然半径为R,那么原子半径的不确定范围可近似取为7 7 力由测不准关系（Ar-（A.）? 得4对于氢原子,p = 0又有基态波函数为偶宇称，而动量算符力为奇宇称，所以可近似取-p2

10、 e2E =匚2 r所以 力2P? 能量平均值为R2作为数量级估算可近似取那么有rQER2基态能量应取的微小值，由咛dR了代入,得到基态能量为Emin补充练习题二1 .试以基态氢原子为例证明：不是徽方的本征函数，而是亍+方的本征函数。可见，%00不是0的本征函娄可见，k00是5+4）的本征函数。2 .证明：L=Rh, L = 土力的氢原子中的电子，在6 = 45。和135。的方向上被觉察的几率最大。解:2.W. （仇心=dQL = J6h9 L = 土力的电子，其2 = 2, m = 1.%|（&。）=忆/2当6 = 45。和135时sin2 cos2 0 = -sin2 2032万亚2= 叵

11、为最大值。即在6 = 45。，6 = 135。方向觉察电子的几率最大。32万在其它方向觉察电子的几率密度均在0叵 之间。323.试证明：处于Is, 2P和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为明、4ao和9o的球壳内被觉察的几率最 大（为为第一玻尔轨道半径）o1证：对 1S 态， =1, 2 = 0, jR10 = （）3/2-77%0QW令一些=0=a=0, r2 = dr易见,当=八=0,12 = 8时，W0 = 0不是最大值。4?W10（0）= 一。一2为最大值，所以处于Is态的电子在，=。0处被觉察的几率最大。 “01 ,对 2P 态的电子 =2, 2 = 1, R2i =（）3/

12、2 -f=e2aov3o-r/2a03W令-= 0 = 0=0, 12 =dr8， ，3=4。0易见,当=4 =。，-2 = 8时，= 0为最小值。 r = 4ao为几率最大位置，即在，=4ao的球壳内觉察球态的电子的几率最大。21 r对于3d态的电子=，4=2, 42=（一产2 一（一）2一“3。“。081V15 40aw令-=0 = g = 0, G=8, q = 9aodr易见，当=勺=0,=8时，叫2 =。为几率最小位置。 r = 9ao为几率最大位置，即在r = 9。的球壳内觉察球态的电子的几率最大。4 .当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为其中t/0 0,求电子在匀称场外电场

13、作用下穿过金属外表的透射系数。解：设电场强度为,方向沿x轴负向，那么总势能为V(x) = -es x (x = F（/=c产x（ a是方的本征值）9、假如把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。解:L7(x)= 00, a x 一2方程（分区域）:U(x) = oo /. W(x) = 0 (x )II：II：力2 d2i/n2 dx2= EWnk22juE d2y/n力 2 dX2+ k i/n =0 y/n = Asin(Ax + b)/ a、 / 、/（-；）= （一：）标准条件：22 .Asin（h + b） = 0犷（不）=收，（7）丁 A # 0 J

14、sin(+ b) = 0取 3 - k = 0 , 即 S = k A i/ I2方 22元 2k 2粒子的能级为E = k2= （n = 1,2,3,）2ju 2pa由归一化条件，得:.A = p粒子的归一化波函数为10、证明：处于Is、2P和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为4、4旬、9Go的球壳处的几率 最（4为第一玻尔轨道半径）。1?1证：1s : a）（r）wdr = J?10 r1 dr = （一）3 4e_2r/fl） - r2dr令 d：io = 0 那么 4=04=0 drd%odr20，” =0为几率最小处。K=0d与0dr20,，占=0为几率最小处。Xj

15、=0令-=0，那么得 r21 = 0 r22 = 4aodr 0 J，= 0为几率最小位置。 dr令= 0 得 = 0, r32 = 9aodr同理可知 公=。为儿率最小，32 =9o为儿率最大处。11、求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。a -疗，2 2a 322-2axe 2&(%)= %(X)= e2后石令-=0,得占=0, x2 = = dx122d2a)1dx2解：尸=r3e 4，drj；sin。d。JJd。(D = -e2r加032re dr = 一2aox4x(包)x牛)=_d 22“U = 12、粒子在势能为.u0,u2,当x40当 0 x a0,.2= 土一 = 拓）

16、为几率最大处。26.设氢原子处在-（，/,。）=每工）。的态（旬为第一玻尔轨道半径），求e2r的平均值；势能-一的平均值。的场中运动。证明对于能量vq 。2的状态，其能量由下式打算:, 7 hk hk2juEka = n-sm /（具中 k = J）,2卬2v 方 2证：方程 T1 T1V/dx2+ u 即=EWu(x0) T1 T1dx2d in+ o - =EWn( Ox 0)2(q - E)2juE 42电一 )h2 那么得1 ： d , +/ = 0 II ： dx2 1其通解为采用标准条件，由有限性知d +4 2-=0111： dx2 11丈黑+伊5n =0 dxX 8,/. y/j

17、 = i/u = Asm(kx + 3)/Wi ORi =0 =由连续性知收/ (0) = Wu (0) = G = Asinb y/ (0) =(0) = aC =九A cos 8 y/n (a)=匕(a) = Asin(Ax + S) = D2e一阶 W(a) = /()= AAcos(Ax + b) =由、， tgb =上atgka + tg3 _ k 1 - tgka - tg6 p + tg3Btgka + tg3 _ k 1 - tgka - tg6 p + tg3B由、，得 tg(ka + 3) = ()而欢小黑黑把、代入得 + tg8B s整理，得 一 tgka =tg(n兀-

18、 ka)=1-k cF tg8kR令电工=q tg(n7r - ka) = tg(T + 5)/. nTV ka = t + 3 ka = nn; - t - 3由sinx= /，gx =,得l + tg2x#._! hk , _1 hk ka = nn - sin/- sin /VT ,2卬213、设波函数犷(x) = sinx,求()幻2- - x = ? dxdx解：原式=（-）x（）xy当4 =0时，有% 二0 二 由归一化条件当丸2 =方时，有由归一化条件取名 =归一化的力=2、2131对应于的本征值方2(% +3)a27的。23当42 = 力时，有411kV2由归一化条件 1 =(

19、；厂一Jia1=4%取=一，归一化的一力=221一正12 ，对应于叠的本征值一方由以上结果可知，从分和的共同表象变到二表象的变换矩阵为对角化的矩阵为以= S+L*S依据与上同样的方法可得乙的本征值为0,加一方乙的归一化的本征函数为 从2和二的共同表象变到乙表象的变换矩阵为 采用S可使y对角化#6求连续性方程的矩阵表示解：连续性方程为 = -7 dt一 thJ =(V i(/ * -fj * V y/) 2- z/ziti oc1 人人而 V . / =V (四 w * -y/ * V /)=(y/V i/ * -i/ * V= (1/T1/ * -i/ * Ty/) 22ih，访*)诙 夕)=

20、(* 了/*)dtdt写成矩阵形式为第五章微扰理论5.1 假如类氢原子的核不是点电荷，而是半径为加、电荷匀称分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的 一级修正。解：这种分布只对rvq的区域有影响，对rNq的区域无影响。据题意知其中Uo(，)是不考虑这种效应的势能分布，即。4宓0厂Ze1U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r N 0区U(r)=4%/在区域，U)可由下式得出。(厂)=一e在区域，U)可由下式得出。(厂)=一e00Edr由于，0很小，所以“)=方2V2+t/0(r),可视为一种微扰，由它引起的一级修正为(基态 273%=(J)2e2Z,4 2?4 1 乙&厂一 )dr-加。*

21、,4 2?4 1 乙&厂一 )dr-加。*/.厂 vv ，故 e 1 o4 2碎)=rrfw2宓/海J。#转动惯量为I、电偶极矩为力的空间转子处在匀称电场在2中，假如电场较小，用微扰法求转子基态能量的 二级修正。解：取君的正方向为Z轴正方向建立坐标系，那么转子的哈米顿算符为L2, Hf = -DscosO H = Hw + Hr 21由于电场较小，又把a视为微扰，用微扰法求得此问题。ff()的本征值为E；() =( +1)方2本征函数为/)= Yfm(4)I育的基态能量为=0,为非简并状况。依据定态非简并微扰论可知#5.2 设一体系未受微扰作用时有两个能级：E及E02 ,现在受到微扰6的作用，

22、微扰矩阵元为 H；2=H%=a, H=H；2=b； q、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得二Hm E? = Z tn得琢，=：=匕 &=；2 =b能量的二级修正值为#5.3 设在 = 0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照耀而电离。设单色光的电场可以近似地表示为esiiuyr, 及0均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻/跃迁到电离态的几率。 解：当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为r = 0时，氢原子处于基态，其波人=-6一”。在/时刻，”二弓12仙“微扰 Hf（t） = es-r sin cot =竺/（em

23、）=Fei0）t - e-i（0t）其中户二竺 2i2i在t时刻跃迁到电离态的几率为对于汲取跃迁状况，上式起主要作用的其次项，故不考虑第一项，其f户，=（右严-而 -re力()e-rladrA z (万)取电子电离后的动量方向为Z方向，取百、万所在平面为XOZ面，那么有5基态氢原子处于平行板电场中，假设电场是匀称的且随M目 求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。解：对于2P态，2 = 1,加可取0, 1三值，其相应的状态为氢原子处在2p态的几率也就是从 100跃迁到210、“211、法X=j R2iX；ecose RYdr （取 方向为 Z 舟取电子电离后的动量方向为Z方向，取百、万所在平面为

24、XOZ面，那么有5基态氢原子处于平行板电场中，假设电场是匀称的且随M目 求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。解：对于2P态，2 = 1,加可取0, 1三值，其相应的状态为氢原子处在2p态的几率也就是从 100跃迁到210、“211、法X=j R2iX；ecose RYdr （取 方向为 Z 舟rO :之和。sin3 d0 d(p = 0四氏2尸60刃(广Y*_x -= y)0 sin 0 d3 d(p = 0四氏2尸60刃(广Y*_x -= y)0 sin 0 d3 d(p = 0由上述结果可知，W-=0, W-=0叱22P=w + w + w100.210 于100211 干 kk100-

25、21-1n-f_ 2 128 2 2 2 2当斤00时691s.-2p =-T(Tr) e 4)()rn 2432 . 1212T.1/厂 L 、1、34e：3e：其中=三（石2g）=W疗（1 ：）=味广=7 h2力、48%，8 %。（）#5. 6计算氢原子由第一激发态到基态的自发放射几率。462G39解：4永=与平方洪 3力c由选择定那么A2 = 1,知2s T Is是禁戒的故只需计算f1s的几率刃21 J/冬而后二岛+|乃+匕22P有三个状态，即210，21卜21-1（1）先计算z的矩阵元z = rcos(2)计算x的矩阵元x=rsin8cos0 =鼻5亩夕(， +el(p)计算 y 的矩

26、阵元 y = rsinOsin 0 = -!-rsin-e, 机=左 1 时，xmk w 0即选择定那么为Am =加一左=1#补充练习三1、一维无限深势阱（0v XV。）中的粒子受到微扰作用，试求基态能级的一级修正。解：基态波函数（零级近似）为能量一级修正为2、具有电荷为q的离子，在其平衡位置四周作一维简谐振动，在光的照耀下发生跃迁。设入射光的能量为/（0）。 其波长较长，求：（6原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。争论跃迁的选择定那么。（提示：采用积分关系= 1 3 5；（2九-1） EJoV 答：g_i442靖3方2XU)2 K(o)=仅当/加=士耐，xmkO,所以谐振子

27、的偶极跃迁的选择定那么是4n = l）仅当/加=士耐，xmkO,所以谐振子的偶极跃迁的选择定那么是4n = l）解：心=-qsQx247T2q2 kTm =3x4;%(eTq)“10“102 1(0)（对于一维线性谐振子苏）一维线性谐振子的波函数为沙 （x）=a -axFe 2 Hn (dx)7UV22nnl %04 万 2/ 13力 2 Via-a2x2 2axe 2a -12x2 )x.J尸e 2 dx2兀 2q22兀)21(d) =3 1(d) =1(d)3a2力23巡跃迁几率a |西欣，当工mk =0时的跃迁为禁戒跃迁。可见，所争论的选择定那么为4m = 1。#3、电荷e的谐振子，在，=0时处于基态，0时处于弱电场 = %-”之中(，为常数)，试求谐振子处于第一 激发态的几率。解：取电场方向为轴正方向，那么当经过很长时间以后，即当 8时，0。，ai(t)=厂%42a ih (，次 T)实际上在t 5t以后即可用上述结果。#第七