人教A版新教材必修第一册《2.2 第2课时 基本不等式在实际问题中的应用》教案（定稿）.docx

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1、第2课时基本不等式在实际问题中的应用【学习目标】L熟练掌握基本不等式及变形的应用2会用基本不等式解决生活中简单的最大 （小）值问题.3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题.【导语】同学们，数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题， 比方：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，水 立方地下局部为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左、右两个矩形框架，两框架面积之 和为18 000 n?,现地上局部要建在矩形ABCD上，两框架与矩形ABC。空白的宽度为 10 m,两框架之间的中缝空白宽度为5 m,请问作为设计师的你，应怎样设计矩形A

2、BCD, 才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让 我们开始今天的探究之旅吧！一、基本不等式在生活中的应用问题利用基本不等式求最大（小）值时，应注意哪些问题？提示一正：x, y都得是正数；二定：积定和最小，和定积最大；三相等：检验等号成立的 条件是否满足实际需要.例1 （教材46页例3改编）小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m2的矩形游乐园，当这 个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度.解 设矩形围栏相邻两条边长分别为xm, ym,围栏的长度为2（x+y）m.方法一由q=16,由4可知所以 2（x+y）216,当且仅当x=y=4时，等

3、号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16m.方法二由孙=16,可知尸，当且仅当x=y=4时，等号成立,答案c解析由题意知，AB=AD-BDa+b9。=：3+与,OD=OBDB=a b)b=ab), 乙乙.09 (+/7)2 . (ab)2 层+抉在 RtAOCD 中，C02=00+002=1 J + J =,ci hI 标 + 因为OCWCD,所以亍或7不一(当且仅当时等号成立).12.中国南宋大数学家秦九韶提出了 “三斜求积术”，即三角形三边长求三角形面积的 公式：设三角形的三条边长分别为a, b, c,那么三角形的面积S可由公式S = 7P(

4、P公b)(pc)求得,其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公 式.现有一个三角形的边长满足，=6, b+c=8,那么此三角形面积的最大值为( )A. 35 B. 8 C. 4s D.班答案A解析由题意知，p=7, S=d7(7)(70)(7 c)=t7(70)(7c)W=3币, 当且仅当7b=7 c,即b=c=4时，等号成立,因此三角形面积的最大值为3s.13.A.B.先提价,后提价 先提价q%，后提价C.分两次提价区”，%(P)D.2分两次提价哆九仍)某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是()答案D 解析 设提价前的价格为1,由题意可知，A, B选

5、项的两次提价后的价格均为(1+)(1 + (/%);C选项的提价后的价格为(1+哼如)下, D选项的提价后的价格为(1 +又.哼学 (1 +)(1 +q%)v(lj20),那么。工6再设先称得黄金为xg,后称得黄金为yg,那么汝=5，ay=5b95a , 5h (a ila hx+产k+=5 t+- 5X2a/p-=10, J b a b a) j b a当且仅当即。=b时等号成立，但破为等号不成立，即x+y10,因此，顾客购得的黄金大于10g.16.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价 定为x元时，销售量可到达(100.lx)万套.现出版社为配合该书商

6、的活动，决定进行价格改 革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两局部，其中固定价格为20元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10.假设不计其他本钱，即销售每套丛 书的利润=售价一供货价格.（1）求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得 的总利润是多少万元？ 每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润./. 0x0, 解；.100.1x0,I 10 A 100尸 l（20+仿二元尸 x一而三2。（041。0）,当x=80时，-80_和；0处厂20 = 55(元), 1 uu OU此时销量为100.1量80=

7、2(万套),总利润为2X55=110(万元).小、100(2)-x-10()_-20,V0r0,100 I1 y = 00_1+(100X)J+8O-2Vioa(loo-x)+8O=6O当且仅当77-= 100x,即x=90时，等号成立.10()x即每套丛书售价定为90元时，每套丛书的利润最大，为60元.因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.延伸探究 如果小明的爸爸只有12m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？解 由得2(x+y)=12,故x+y=6,面积为xy,由4W斗2=3,可得孙W9,当且仅当x=y=3时，等号成立.因此，当游乐园

8、为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9m2.反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤理解题意.设变量，并理解变量的实际意义；(2)构造定值.利用基本不等式求最值；检验.检验等号成立的条件是否满足题意；(4)结论.跟踪训练1要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器，该容器的底面造价 是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价.解 设该长方体容器底面的长和宽分别为 m, bm9本钱为y元， 由于长方体容器的容积为4m3,高为1m,所以底面面积 S=ab=4, y=20S+102(a+A)=203+b) + 80,由基本不等式可得=20(4+/?)+80

9、220)BC=AD9 得 X12x,/. 6x12,在APC 中，zpac=zpca9 所以 ap=pc,从而得 dp=pb,：.AP=ABr -PBf =AB-DP=x-DP,在 RtAADP 中，由勾股定理得(12%)2+。2=(工 OP)2,72:.DP=n(6xny(2)在 RtAADP 中，Sadp=AD-DP=1 2 一冷(12 一?) =108-(6x+半)(6xv 12).432/432l432lV6x0)y 那么由 DC/AM 得入/八_|_2=4_|_，解得 ND=q, liLy I J 4t I人.矩形 AMPN 的面积为 S=(4+x)(3+ = 24+3x+个力24+

10、23手=48,当且仅当 3x= 即x=4时等号成立.当BM=4米时，矩形花坛AMPN的面积最小.课堂小结-.知识清单：基本不等式在生活中的应用.(2)基本不等式在几何中的应用.1 .方法归纳：配凑法.2 .常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围.随堂演练1.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，那么这个模型的最大面积为()A. 9 cm2B. 16 cm2C. 4 cm2D. 5 cm2答案c解析 设矩形模型的长和宽分别为羽，那么x0, y0,由题意可得2(x+y) = 8,所以x+y=4,所以矩形模型的面积5=孙=2时，等号成立, 所以当矩形模型的长和宽都为2cm时

11、，面积最大，为4cm2.2 .港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时 间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每 次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，那么以下说法正确的选项是() A.采用第一种方案划算B.采用第二种方案划算C.两种方案一样D.无法确定答案B解析 假设第一次的油价为加元/升，第二次的油价为元/升.第一种方案的均价为30“+30 加+60= 2第二种方案的均价为可会 所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算.3 .某工厂生产某种产品，第一年产量为4第二年的增长率为a,第三年的增长率为b

12、,这两年的平均增长率为式小b, %均大于零)，那么()a-ba-bA. x= 2B xW 2a-rbarbC. x 2D. %-2答案B解析 由题意得，A(1+a)(l+/?)=A(1+x)2,那么(l+a)(l+0) = (l+x)2,因为(1 +)(l+b)因为(1 +)(l+b)0,矩形花园的面积为孙，根据题意作图，如Ap DF图，因为花园是矩形，那么AOE与A8C相似，所以后=正，又因为AG=3C=40,AU C所以人b=。石=x, FGy,所以x+y=40,由基本不等式x+y2yxy9得xyW400,当且仅当x=y=20时，矩形花园面积最大，最大值为400.课时对点练LT基础巩.三国

13、时期赵爽在勾股方圆图注中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图，我 们教材中利用该图作为“”的几何解释（）A.如果ah0,那么B.如果ahQ,那么后乂解C.对任意正实数。和4 有当且仅当时等号成立D.对任意正实数和/?,有用，当且仅当=/?时等号成立答案c解析 可将直角三角形的两直角边长度取作a, b,斜边为82=2+/），那么外围的正方形的面积为，也就是。2 +按，四个阴影面积之和刚好为2,对任意正实数和仇 有层+按22话，当且仅当时等号成立.1 .汽车上坡时的速度为。，原路返回时的速度为4且OVaVb,那么汽车全程的平均速度比a, b的平均值（）A.大B.小C.相等D.不能确定答案B解析

14、 令单程为s,那么上坡时间为下坡时间为亥=去平均速度为平均速度为2s 九十亥.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架，在以下四种长度 的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（）A. 6.5 mB. 6.8 mC. 7 mD. 7.2 m答案c解析 设两直角边分别为Q, b,直角三角形的框架的周长为/,那么;必=2, 必=4, l=a+ b+q齐苏22/石+4元=4 + 2也仁6.828（m）,当且仅当a=b=2时等号成立.故C既够用， 浪费也最少.4.如下图，矩形ABC。的边A3靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.假设该矩形的面 积为4,那么围成矩形ABCD所需

15、要篱笆的（）0QA.最小长度为8B.最小长度为4、及C.最大长度为8D.最大长度为答案B解析设CD=b,因为矩形的面积为4,所以。=4, 所以围成矩形ABC。所需要的篱笆长度为4/ 4/-2。+/7=2。+22/2。/=4也，4LL当且仅当2=巳 即。=也时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为5.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，假设每批生产x件，那么平均仓储 时间为今天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储 费用之和最小，每批应生产产品（）A. 30 件B. 60 件C. 80 件D. 100 件答案BX1解析 根据题意，生产x件产品的生

16、产准备费用与仓储费用之和是900+xX；=900+32,设 平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y,900+x2 900那么尸：=t+z（xN ）人*/Vj.甘上7*3* a /日 900 /900x “由基本不等式，仔二+22、:乂=30, onn r当且仅当第=2,即x=60时，等号成立， 4I即每批生产产品60件时，平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.6.（多项选择）某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场 分析得出每辆车的营运总利润M万元）与运营年数X的关系为y=一始+121一25,那么以下判断 正确的选项是（）A.车辆运营年数越多，收入

17、越高B.车辆在第6年时，总收入最高C.车辆在前5年的平均收入最高D.车辆每年都能盈利答案BC解析由题意可知，y=/+12x25,是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x=6, 故 B 正确；：=x- 12一=一（1+:，+122f25 + 12 = 2,当且仅当 x5 时，等号成 立，故C正确；当=1时，y= - 14,故D错误.7 .矩形的长为m宽为儿 且面积为64,那么矩形周长的最小值为.答案32解析 由题意，矩形中长为宽为b,且面积为64,即=64, 1Q2 所以矩形的周长为2+2巨=2+=2242义128 = 32,当且仅当。=8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.8 .如图，有一

18、张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm图中阴影局部)，上、下空 白各宽2dm,左、右空白各宽1dm,那么四周空白局部面积的最小值是 dnA2 dm2 dmim答案5672解析 设阴影局部的高为xdm,那么宽为二dm,四周空白局部的面积是ydm2.Ji由题意，得 y=(x+4)(?+2)72=8+2口+与8+2*2=8+2口+与8+2*2144x-=56(dm2),144当且仅当,即尤=12时等号成立.即四周空白局部面积的最小值为56dm2.9 .如图，墙角线互相垂直，长为am的木棒的两个端点分别在这两墙角线上，如何放置木棒才能使围成区域的面积最大?解 设。A=xm, OB=ym,因为

19、。A J_OB,所以 042+052=452,即12+,2=2, 由基本不等式，得孙w(x2+y2)=12. 标当且仅当x=y=、g-时，等号成立，所以所以当OA = OB=所以当OA = OB=坐am,即当放置木棒使A, 3到。点的距离相等时，木棒围成区域的面积最大.10 .为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙（足够长）划 出一块面积为100平方米的矩形区域ABC。修建一个羊驼养殖场，规定A5CD的每条边长均 不超过20米.如下图，矩形尸G”为羊驼养殖区，且点A, B, E,尸四点共线，阴影部 分为1米宽的鹅卵石小径.设AB=x（单位：米），养殖区域EFGH的面积为S（单位：平方米）.D?Ih g|（1）将S表示为x的函数，并写出x的取值范围；当A3为多长时，S取得最大值？并求出此最大值.解（1）因为所以AO=100 100,EF=x2, FG 1, xx所以 S=(l2)(1)=一等r,因为 009 b0)2abB. q。 b0)a-bcWa2+Z?2;30, h0)D. a2b22ab(a0, /?0)