3-1椭圆-【高分突破系列】)2.docx

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1、椭圆1定义平面内与两个定点0广2的距离之和等于常数（大于0尸2）的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.如图：P是椭圆上一点，P& + PF2 = 2a&F2.（三角形两边之和大于第三边）注尸& + PF2 = 2a F/2 =点。的轨迹是以Fl、F2为焦点的椭圆；PF】+ PF2 = 2a = &尸2 =点。的轨迹是线段F/2；PF】+ PF2 = 2ab0)22V X-7 + z- = 1(Qb 0)范围a x a 且一b y bbx b 且一a y a顶点&(a ,0)、X2(a ,0)51(0，b)、殳(0 ,b)4i(0，a)、X2(0 ,a)BKb

2、 ,0)、B2s ,0)轴长短轴长2b,长轴长2a隹占八、/、&(c ,0)、F2(c ,0)FI(0，c)、F2(0 ,c)焦距F#2 = 2cQ、b、C的关系a2 = b2 + c2离心率c 1e = = 1(0 e b0)的左，右焦点分别为a,产2，焦距为2c, P是椭圆。上一 点(不在坐标轴上)，Q是N&PF2的平分线与工轴的交点，假设IQF2I = 2|0Q,那么椭圆离心率的范围是.【解析】,|QF2| 二 2|OQ|, .|QF2|=|c, QF1=c,4,PQ是NF/a的角平分线，偿=需=券=2, PF2QF2 -C那么 |PFi| = 2|PF2|,由li| + |PF21 =

3、 3|PFz| = 2a,得仍尸2|=彳，由 ac2 -, 3a 3由0Veb0)的左、右焦点分别为尸2，点P是椭圆上一点，直线F2M垂直于。尸 且交线段&P于点M, |&M| = 2|MP|,那么该椭圆的离心率的取值范围是.【解析】设P(m ,n), m 2v FrM = 2|MPI a FrM = -FPo2m-c2n nn z2m-c 2nx Xm =5，即例(,5)，z2m-4c 2n尸2闻=(，又OP = (m ,n), OP 1 F2M, OP F2M = 0,mH n = 0, 化为?I? = m(2c m),33由P在椭圆上，可得：几2=垓(1一多，可得加(2c m) = b2

4、(l 轰),222化为三租2 2cm + a2 c2 = 0,解得m =- a,或m = + a(舍去)， a2cc由一ava,可得2ca,即有？=二 ca 2又 0 VeVl, e 1. 2【点拨】设P(zn ,n),由|&M| = 21Mpi怎么得到点M的坐标？解答中用向量坐标法；还可以用相似三角形的方法， 过点M作M4 1&F2,过点P作PB1F/2,易得AMAF】APF】B,由相似三角形的性质可得叭等 号)，但 此题向量法来得更直接些；题中出现垂直48 1 CO一般怎么处理呢？(1)假设要求线段长度，想到勾股定理或直角三角形其他性质；(2)想到直线斜率关系，得到题bQd = -1 =(

5、2)想到直线斜率关系，得到题bQd = -1 =?2? 7T = -1 =(4-4)(%D - %C)+ 3B - )(功-XBXA XDXCyc) = 0,但要注意两直线的斜率是否都存在;(3)想到向量的关系，得到四,而=。=(0一马)(阳)一)+ Sb%i)(yD-%:)=0；此题中处理垂直关系OP 1 F2M用的是向量坐标法.情况2几何法求范围22【典题1】在平面直角坐标系Oy中，尸是椭圆一 +千=1上的一个动点，点4(1 ,1), 438(0,1),那么|P4| + |PB|的最大值为.22【解析】椭圆方程为一+2 = 1, 43焦点坐标为8(01)和9(0 ,1),连接尸夕、ABf,

6、根据椭圆的定义，得仍B| + |P夕| = 2q = 4,可得|PB| = 4一四|,因此|P4| + PB = PA + (4 一|P夕I) = 4 + (PAPBr)v PA-PBr ABfa PA + PB 4+ AB = 4 + 1 = 5.当且仅当点P在AB延长线上时，等号成立.综上所述，可得|P4| + |PB|的最大值为5.故答案为：5.【点拨】此题主要是通过椭圆的定义得到|PB| + PBf = 4,把“求|P4| + |PB|的最大值”转化为“求|P4| 一伊夕|的最 大值”，当P、夕、4三点共线取到最值；三点共线时就是取到最值，这常用于“求48 +4C的最小值”与B-4C的

7、最大值”，此题假设求PZ + PB的 最小值，那么是48 =巡；此题用函数法求解，设P(& ,%)，那么尸本+片8 = I1 + % +卜。2 + (y0 + I/,这样再往下思考就比拟难了！情况3函数法求范围22【典题1】椭圆C京+卷=1的短轴长为2,焦距为2A &、尸2分别是椭圆的左、右焦点，假设点P为C 上的任意一点，那么焉+石片的最小值为.|P0|PF2【解析】根据条件可得b = 1 ,c = V3,故q = 2,那么根据椭圆定义可知|PFi| + PF2 = 2a = 4方法一1 i 1/ i i , , , 1X 1/ pf2 |pf/二两+ 两 两 +两)由61 +仍产21)=,

8、(2+西 + 两)之1当PF/= IPF2I，即P在椭圆上下顶点时，取到等号，.焉+焉的最小值为L/11 I卜21方法二设IP&I = t ,那么IPF2I =4-七1 (1 _4_4_4，两 十两二仍&|%| 二 t(4 - t) = _(t_2)2 + 4 令以t) =%(t-2)+4v a - c PFt a + c2 V3 |PF/ 2 + V3: 2 V3 t 2 + 1 -(t-2)2 + 4 4.4 1 2- 0/0),方法二是构造了函数进行求解，此时要注意自变量 的取值范围，函数问题谨记“优先考虑定义域、22【典题2】&产2分别是椭圆C： 3 + -=1的左、右焦点，点P是圆0

9、： /+y2 = l上的一个动点，那么 o 4IPaI IPF2I的取值范围是.22【解析】,椭圆方程誉+9=1,椭圆的焦点Fi(2 ,0), F2(2 ,0),由P在圆2 + y2 = 1上，设P(cos8 ,sin。),PFr PF2 = yjcosO + 2)2 + sin20 2 I o9，25、2 39=mz + 3m 16 =(mY.2525 v6 74yj(cos6 2)2 + sin20 = V25 16cos20,|PF/|PF2l的取值范围3, 5.【点拨】P在圆( a)2 + (y (尸=r2_t,可设P(rcos6 + a ,rsinO + b);求最值时，线段可用两点

10、距离公式48 = J(% %2尸+ (% g)2表示出来;此题也可设产(%0，y)，那么|PF1I,IPF2I = J(%0 + 2)2 +据-J(%0 2)2 + % = ,25 16%,此时要注意 -lx0 1,那么3 ,25 - 16密 4)与圆。：/+y2 = 25恰有两个公共点，假设点P在C上，且位于第一或第四象限，点F为。的右焦点，那么 而的取值范围为()A. (-10, -) B. (-16, - C. (-16, 10) D. -, 16) 444【解析】：.椭圆C与圆。恰有两个公共点圆。过C的长轴的两个端点，即q = 5, 22故。的方程为+ = 1 251622上设P(77

11、i ,n)(0 m 5),那么土 + = 1,那么几2 = 16 m2.25 1625t t(16所以0P - PF = (m, n) (3 m, - n) = 3m m2 n2 = 3m m2 (16m2259253939v0mbo）的两个焦点分别为a,尸2，假设在轴上方的c上存在两个不同的点MN满足乙&MF2 =乙FNF?=胃,那么椭圆C离心率的取值范围是0D.（”）A. （0，寺B. （；1）C.（苧 4）【答案】c【解析】如图，当点M在上顶点/时，N&MF2最大，要使在工轴上方的。上存在两个不同的点M,N满足N&MF2 = 4&NF2 =9，只需/&福 备即Ng&V*. tan/-AF

12、2F1 = g ?，=3b2 3(a2 c2) c2,=3M , 2那么椭圆C离心率的取值范围是：应选：C.2222 ()点P为椭圆 + 3= 1上一点，M、N分别是圆( + 3)2+y2 = 4和(3) +y2 = i上的动点，那么2516/尸M + PN的取值范围是.【答案】7 ,1322【解析】依题意，椭圆3 +孑=1的焦点分别是两圆( + 3)2+)/2 = 4和 2516/、2(% 3) +y2 = i 的圆心,所以(|PM| + PN)max = 2x5 + 3 = 13, (|PM| + PN)min =2x5-3 = 7,那么|PM| +仍可|的取值范围是7,13故答案为：7,

13、13.3(*)F是椭圆J + y2 = 1的右焦点p是椭圆上一动点，4(0，)，那么aAPF周长的最大值为【答案】V5 + 2企【解析】”的周长为|4尸| + |PF| + |4F|,而 |PF| = 2a-PFr9力尸的周长为|4。| + 2。一仍| + AF,当|4P|一|PF1 = |4F最大时,A. P、F三点共线，如下图，由题意得 =&,c = 1,尸点坐标为(1,0),尸坐标为(-1,0),那么a/PF的周长最大为AFr + AF + 2a = J(-l - 0)2 + (0 -1)2 + J(1 - 0)2 + (0 - i)2 + 2V2 = V5 + 272,故答案为：V5

14、+ 2V2.4(巧 椭圆C：1+ =1, M为椭圆。上的一个动点，以M为圆心，2为半径作圆M, OP ,0Q为圆 1616M的两条切线，P 4为切点，贝此POQ的取值范围是.【答案】g ,【解析】由椭圆方程可得标=166=印那么q = 4,b =殍，如图，设锐角4P0M = a,在At POM中，sina = =OM OM因为M日手,4, E|Jsina =总6 净，故a e生J所以0Q = 2awg*,应选：D.椭圆r：M + b0)上一点4关于原点的对称点为8, F为其右焦点，假设4/18凡 设4ABF = a,且aw 叫，,那么该椭圆离心率e的取值范围为.【答案】V3-1，【解析】如下图

15、，设椭圆的左焦点为F,连接4尸，8V.那么四边形4F8F为矩形.因此= FFf = 2c. AF + BF = 2a.AF = 2csina, BF = Iccosa. 2csina + 2ccosa = 2a.1 1 e , sina+cosa V2sin(a+-) 4,“哈，丹,二(。+36冷净, r 兀、u6 V2+V6n sm(a+-)eV2sin(a + 3 哼, *乙4 e G V3 1,-y.22-7()椭圆靠+靠=l(Qb0)的左焦点为凡A (a ,0), B(0 , b),点M满足BM = 2M4那么直线FM的斜率取值范围是.【答案】(0, |)【解析】由题意的方程可得左焦点

16、qC,O),设M(%y),因为BM = 2M4 所以(yb) = 2(a x, y),所以可得y =即MW), ooo o所以直线FM的斜率为：k =b y/a2-c24-c2a+3c2q+3ca2-c231-e24a2+9c2 + 12ac9e2+12e+4,令 = e E (0,1),令/(%)=1-X29x24-12x+4,% G (0,1),-2x(9x2 + 12x+4)-(1-%2)(18x4-12)-36x2-26x-12(9%2 + 12x+4)2(9%24-12x+4)2b0)的左、右焦点分别为Fi，尸2，点PQ1，%) 椭圆C上，其中%0,yi0,假设|PQ| = 2|。2

17、1【答案】(争V3-1【解析】设P& = n,PF2 = m,由/ 0,% 0,知m n,因为P, Q在椭圆。上，|PQ| = 2|。尸21所以四边形P&QF2为矩形，QF、= PF?;由黑冷，可得上：1，由椭圆的定义可得6+ n = 2a, n2 + m2 = 4c2,平方相减可得nm = (a2 c?),由得由得4c2m2+n22(a?-c?) mna m , n令，=一 + 一,n m所以+打（2,手，即2卷总工竽，所以M c2 C2 C2),所以1 ，v，4 芋（1 e2）,所以2244-2百，解得逗b 0)的参数方程匕二。黑(。为参数).CL 0I y - U 0),那么点P的轨迹是

18、()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段【解析】由题意得,IPFil a = - - PF2(a 0),所以|PFi| + PF2 = a + l 2层=6当且仅当。=:时取等号，此时a = 3,那么|P&| + |PF2| 26,因为定点Fi (0 , 一3)、F2 (0 , 3),所以|&尸2| = 6,当|PFi| + |PF2|=6时，点P的轨迹是线段F1F2；当IPF/ + IPF2I 6时，点P的轨迹是以Fi、尸2为焦点的椭圆；应选：D.【点拨】注意椭圆定义的常数要大于两定点距离.【典题2】如图，点力是平面a外一定点，过4作平面a的斜线/,斜线/与平面a所成角为50。.假设点P

19、在平面a内运动，并使直线力P与1所成角为35。，那么动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.抛物线 D.双曲线的一支【解析】用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到X故可知动点P的轨迹是椭圆的一局部.应选：B.巩固练习1()设6(4 ,0)、F2(4 ,0)为定点，动点M满足IMF/ + IMF2I = 8,那么动点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C,圆D.线段【答案】B【解析】假设点M与a,尸2可以构成一个三角形，那么IMF1I + IMF2I I&F2I，V FrF2 = 8,动点M满足|M&| + M

20、F2 = 8,.点M在线段F/2上.应选：D.?（）在棱长为1的正方体中，假设点P是棱上一点，那么满足|P4| + |PC| = 2的点P的个数为 0A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】B【解析】,正方体的棱长为1,.4。=百v PA + PCr = 2.点尸是以2c =百为焦距，以q = 1为长半轴，以；为短半轴的椭球上，P在正方体的棱上.P应是椭圆与正方体的棱的交点结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱9C,CD,CCM4,ZS4。上各有一点满足条件应选：B.【题型二】椭圆方程【典题1】方程4/+ky2 = i的曲线是焦点在y轴上的椭圆，那么实数忆的取值范围为.22【解析】椭圆方

21、程4/+32 = 1化为* +缶=1,（化为标准式） 4 k由于椭圆的焦点在y轴上，那么”3, BPO /c 4,故答案为：0k 00且mH九时，C为椭圆（假设7n = 71那就是圆了）；当相 九0时，。为焦点在工轴上的椭圆且=血；当九根0时，。为焦点在y轴上的椭圆且层=几.简而言之：看分母大小.【典题2】经过两点4（0 ,2）、8（1的椭圆的标准方程为.22【解析】由题意，设椭圆的方程为土 +匕=1,（待定系数法）m n那么，解得瓶=，+ 士 =1 （n=4147n n”2椭圆的标准方程为2+-=1.422【点拨】过两个点的椭圆设为此+ ?= 1可防止对焦点在轴还是y轴的分类讨论.22【典题

22、3】F（加 ,0）是椭圆E：京+靠=l（ab0）的右焦点，且E过点那么椭圆E的标准方程为_22_【解析】方法一尸（加，0）是椭圆E：言+靠=l（ab0）的右焦点，且E过点（觞1）,（a2 b2 = c2 = 2可得| 2i _ 1，解得a = 2, b = V2,（国+记=1（这里求Q,b可猜，由彳+去=1可猜小=3或4等，假设解方程计算量较大） b乙22所以所求椭圆方程为：千+- = 1. 42方法二依题意可知，椭圆的两个焦点分别为&，0）,F2（V2 ,0）,由椭圆的定义，可知2a = EF1 + EF2 = J（V2 + 历 + （1 - 0/ + 1 = 4 = a = 2,又c =

23、V2, b = Va2 c2 = V2;22所以所求椭圆方程为：t + t = 42【点拨】方法二利用椭圆的定义求解，计算量较小.巩固练习221”）方程为+*=1表示焦点在工轴上的椭圆，那么k的取值范围是. 4-kk-1【答案】（1，（）22【解析】方程壬+三=1表示焦点在X轴上的椭圆， 4-kk-1（4 - k 0j/c 1 0，解得 1 V k V14 - k k - 1 .k的取值范围是（1, |）.故答案为：（1, |）.2（支）8、。是两个定点，|BC| = 6,且ABC的周长等于16,那么顶点4的轨迹方程为.【答案】+ ? = l（y00）或2 + （ = 1（%丰0）【解析】v

24、BC = 6,且ABC的周长等于16,/. AB + AC = 10BC,故顶点4的轨迹是以8、C为焦点的椭圆，除去与工轴的交点, 2a = 10, c = 3,2222 .b = 4,故顶点4的轨迹方程为巳+ = l（y W 0）或5 + 77 = 1（% H 0）. 25162 5162222故答案为：- + 3=1（7三0）或为+ 6=（%工0）. Zb ioZb lo3（巧焦点在工轴上，焦距等于4,且经过点P（3 ,-2遍）的椭圆标准方程是【答案】次+g=1363222【解析】由椭圆的焦点在工轴上，设椭圆的方程为京+靠=l（ab0）焦距等于4,且椭圆经过点P（3,-2遍）.c = /a

25、2 b2 = 2）32 （-2佝2,解之得小=36, b2 = 32（舍负）F = 1U2 匕 2 X22因此，椭圆的标准方程为+ S= L 3632故答案为：W+套=1 3632【题型三】椭圆的图像及其性质【典题1】（多项选择题）如图，椭圆I与n有公共的左顶点和左焦点，且椭圆n的右顶点为椭圆I的中心.设椭圆I与n的长半轴长分别为由和的，半焦距分别为C1和C2,离心率分别为ee2,那么以下结论正确的选项是（）A. % + q 2（。2 + 2） B. 的一0 = a2 c2C.。送2。2clD. ?1=亨E.椭圆H比椭圆I更扁【解析】由题图知，1 = 2a2, q2c2,对于4, % + 3

26、2（g +。2）正确；故4正确；对于8,由图可知的一& = % 。2；故8正确；对于C, v cr 2c2 = a2cl 2a2c2 = a2cl 的上,故C不正确;对于0,由图知，q = a2 + c2;2 .C CL2+C2 62 + 1 a2.eA =；=1% 2a2222 .C CL2+C2 62 + 1 a2.eA =；=1% 2a222?；.4=竽；故。正确; 2a22对于凡q隹 翁=。2椭圆I比椭圆n更扁;故e不正确;应选：ABD.【点拨】由于e=： = J1-凸，结合图象可知椭圆的离心率越大，5就越小，那么椭圆就越扁.【典题2】如图，椭圆C的中心为原点0,尸（一2有，0）为C的

27、左焦点，P为C上一点，满足|OP| = |OF|,且|PF|=4,那么椭圆。的方程为.【解析】由题意可得c = 2V5,设右焦点为V,由|OP| = |OF| = |。/|,易得PF1PF.（P在三角形AP/F外接圆上）由勾股定理，得|PF| = VfF2PF2 = （4花）242 = 8,由椭圆定义,得|PF| + |P| = 2q = 4 + 8 = 12,从而q = 6,得M = 36,于是 =a由点(一4 ,4b)在椭圆上，得 16+ 2(4b) =2/, b = 3, a = 372,由椭圆的对称性可知椭圆的焦点坐标也可以在y轴上，（注意焦点的位置）2222椭圆的标准方程为:三+卷=

28、1或方+为=1.189918【点拨】点4（不，yi）与点,乃）关于直线，对称n 44的中点（“：2 ,为:，2）在直线（上,kAAr , ki = 1.22【典题4】椭圆C：京+靠=l（Qb0）的左右焦点分别为F尸2,点4是椭圆上一点，线段的垂直 c2 = 36 (2V5)2 = 16,22所以椭圆的方程为,+=1 3616【点拨】注意焦点三角形的运用，常用到椭圆定义|尸&| +仍尸21 = 28【典题3】椭圆的离心率为苧，尸为椭圆的一个焦点，假设椭圆上存在一点与F关于直线y = %+ 4对称，那么椭圆 方程为.【解析】由椭圆的离心率那么a =伍,由人2 = a2 c2 = c2,贝防=c,不

29、妨设椭圆方程为/ + 2y2 = 2b2,右焦点（-b ,0）关于/： y = % + 4的对称点设为（% ,y）,xf+b yrxf+b yr=-1Xt-b ,.+ 4，解得x = -4y = 4 b平分线与椭圆的一个交点为8,假设荏=3而，那么椭圆C的离心率为.【解析】如下图，线段AR的垂直平分线与椭圆的一个交点为B,连接BFi， 那么 |4B| = BFr.v AB = 3, IBFJ + BF2 = 2a, BF2 = ，1伍| = a. ,点4是椭圆短轴的一个端点，不妨设为上端点.作轴，垂足为点C,那么AO厂2sBCF2.殴=!k!=应包=1 向 一 ml 一两一2, 如=，ICF2

30、I = ：C, F（y，-， 对荏=3耐用向量坐标法也可求出点B坐标）代入椭圆方程可得：4+ ：=1，解得与二会 4az 4az 3c V3？=- = a 3【点拨】处理类似荏=3可这样的向量共线条件，可以用坐标法或相似三角形的方法处理.22【典题5】椭圆京+靠=l（ab0）的左、右焦点分别为&B,。分别为椭圆的上、BF2与椭圆的另一个交点为。，假设cos46BF2 =5，那么直线C。的斜率为.【解析】在三角形AF1BF2中，由余弦定理可得cos408尸2 =（=。+； 广，=/，解得 = I， N 52 CLN 5CL 5（用二倍角公式求出也C0S408F2可以）可设q = 5t, c =

31、33 那么b = Va2 c2 = 43设D（m ,九），即有 +=1, B（0 ,b）, C（0 f b）,. n-b n+b n2-b2n2-b2 b2 16 kBD-kCD= = q2（,）= 一应二一后（这是由一定理想到的：48是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于48的一点，且加下顶点，直线存在，那么kPA - kpB = e2 -1 =椭圆第三定义）田= BF2 =_=_， A RcD =石,【点拨】处理斜率问题常用到斜率公式k = 江；久2Tl此题另一思路：求出直线BF2的方程一联立方程求出点D-求偿。，就是计算量大些.巩固练习221()椭圆:+j=l的焦点在轴上，假设椭圆的

32、短轴长为4,贝切的取值范围是() 2mn nmA. (12,+8)B. (4,12)C. (4,6)D. (6,+8)【答案】A【解析】依题意得27n2 n n m23”)椭圆台+ = 1的焦点为Fi ,尸2，点P在椭圆上，假设|PF2| = 2,那么乙&尸产2的大小为.【答案】120【解析】v|PF1| + |PF2| = 2a = 6, IPF2I = 6IP&I = 2.在 &。尸2中， 0, W|m2 n m2,且ri m2 = 4,得th? = n 4,贝ij0(7i 4) n n 4,得到九 12,应选：A.20)椭圆2 + my2 = 1的长轴长是短轴长的两倍，那么的值为.【答案

33、】4或【解析】由/ + my? = 1是椭圆，知根 。且方程化为2+=1.m当椭圆焦点在工轴上时，长轴长为2,短轴长为2 口，由2 = 4 2,得772 = 4;7 m当椭圆焦点在y轴上时，长轴长为2短轴长为2,由2 口 = 4,得租=m4故答案为：4或;.4COSPF2 = |2-尸图2 = 1641-28 = ,11,2PF1-PF22X4X22.乙F1PF2 = 120. 224()椭圆C：京+色=1(q匕0)的左、右焦点为F1、6，。为坐标原点，M为椭圆上一点.&M与y轴交于一点N, |OM| = IOF2I =B|ON|,那么椭圆C的离心率为.【答案】V3-1【解析】因为|OM| =

34、 OF2 =遮|ON|,所以 N&MF2 = 90设M& = m, MF2 = n.如下图，由题意：RtLMFrF2 - RtONF29 OF2 = V3|O/V|,可得i =. 那么m + n = 2a, m2 + n2 = 4c2, n = V3m. mf2 of2n 3可得th = (V3 l)a, n = (3 V3)a,(V3 la2 +(3 V3)2a2 = 4c2.(4 2V3)a2 = c2,化为：-=V3 - 1. a应选：D. 225(支阴设点P为椭圆：器+卷=1上一点，&、尸2分别是椭圆的左、右焦点，G为的重心，且P01PF2,那么GPF2的面积为.【答案】8【解析】因为G为P&F2的重心，所以SF2 =：Smf】F2，因为Pa_LPF2，设尸&=%, PF2 = 2a-X,所以(2c = / +(2。一%，由椭圆的方程可得：a2 = 49,b2 = 24,所以 C? = a2 b2 = 49 24 = 25, q = 7,所以方程整理可得/ 14% + 48 = 0,解得%1 = 6/2 = 8,当光1 = 6口寸，P& = 6, PF2 = 2a 6 = 2x7 6 = 8,L I1那么 SpFiF? =5X6x8 = 24,所以 Smgf2 = z，apf1f2 = 8,