3-1不等式的基本性质（解析版）.docx

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1、3.1不等式的基本性质【知识点梳理】知识点一、符号法那么与比拟大小实数的符号：任意xeR,那么x0 （x为正数）、尤=0或x 0,/? 0ah0 ；两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a0,bab 0 , x = 0o%2=（）.比拟两个实数大小的法那么：对任意两个实数。、b a-b0oab；。一人 b , a = b , qvZ?三种关系有且只有一种成立.知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比拟两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证 明不等式与解不等式的主要依据.A j + 17 + 1 a b(2) 9cabQ, .c。0, cb0.c ci c b0, cb0, c-a c-b

2、c d例19. （2022 全国高一专题练习）三个不等式：而0；一：；bcad.假设以其中两个作 a b为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程.r d【解析】解法1：n，即假设必0且反,ad,那么 a b因为且必0, a bcd所以一 /? ah = Z?c ad , ab那么命题成立.c d解法2：n，即假设0且一：,那么松,ad.a b因为ab0,所以二0,ab又因为,所以 Z?c一!-adL=24, ab ab a b那么命题成立.例20. （2022 江苏高一专题练习）（1）设人40, m0,证明：;”二；b b + mx y z（2）设x0, y0, z 0,证

3、明：1 + + 0,所以。一/;0 .a a + m Q(b + 2) b(a +根)a-hm -b b + mb(b + m)/?(/7 + /%)故得证；X X Vv zz(2)由不等式的性质知，,二一一 x+ y x+y + z y + z x+y + z z + x x + y + zz += 1,x+ y y + z z + x x+y + z x+y + z x+y + zx x+z V x+v又因为根据(1)的结论可知，,二一x+y x+y + z y + z x+y + z所以l一 + - +上 b0, Cd|c|(1)(1)求证：b + c0；(2)(3)a + d(I)?；

4、在中的不等式中，能否找到一个代数式，满足生所求式0,c0.（2）因为cdd0.又因为。人0,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a-ch-d 0.所以(-c)2 (b 0 .所以。(a-c)2 匕+ C.所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得b+c a+d70, 0(a-c)2 (h-d)2 9一,b+c h+c所以7 7T 7Z j2，C1 c)(b d)因为 0vZ7 + CYQ + d, “ 1 0， (b _ d).所以所以b+c a+d(h-d)2 (h-d)2 h + c b + c a + d( c)2 (b-d)2 b ；a-b = Oa = b； a-bacb【解析】

5、解：因为b =用V6-V2,因为 0 /6 + /2 /7 + /3 ,所以,所以 b c ,而。2=2,而=（6=8 2厄 =8 Acb例23.（2022 江西赣州高二期中（理）1,且x = /77T-, y = -VT斤，那么x, y的大小关系是.【答案】J【解析】x=g y/t + y/1 1 0 ,所以厂厂即x.故答案为：xvy例 24. （2022 浙江三模）。力,c,dcR, abc,cdXci-db-d）（c-d）c = d 9 那么（）A. d aB. adbC. bd c【答案】B【解析】由题意知:(a-d)(b-d)(c-d) = d-c,又 cwd,贝 ij (a d)S

6、 d) = T。，显然 a-d,b-d 异号,乂4 PB.C. PQD.由。的取值确定【答案】A【解析】显然P,。都是正数，又产=(加+10 + “2 = 2/ + 0 + 2aJ/+io ,Q2 = (G+6 + J/+4)= 2/ +10 + 2j(/+6)(/+4)= 2/ +io+106Z2+24，假设。是负数，那么2,(片+6)，/+4)。2，+ 10 ,尸，所以。 尸；假设是非负数，那么2 Ja? +1。= 2+10/ v 2,/ + 10比+ 24 , Q2 P2 9所以。0.综上所述，QP.应选：A.例26(多项选择题)(2022 湖南长郡中学高二期中)假设avb0,那么以下不

7、等式中一定成立的是()A. a + c b + cB. ac beC. ac b- - a b【答案】AB【解析】对于A,由Qb0, WacZ/=1,所以。项错误；i t.1 , 1 1 1 /, ah +1对于 D, 由 ab + = a b += (a-b),a b b aab因为Q0, ahQ , a-b0,所以(-b)v。，所以。 一,所以厂y . b2B. a-babC. ci b2【答案】BC【解析】b2 a2 6Z + /?0 ,:ci + bab , A错误，8正确；1。11，C正确； vq0不等式两边同乘以。得：ab 0,所以(3N+1) (x-1) 0,BP a2b22ab

8、.同理b2+d2对,a2+理2。.所以 2 (a2+b2+c2)2 (R?+Z?c+ac),即 a2 b2+(?cib be+ac,亦即 pq.例29.(2022 江苏高一课时练习)-lxyv0,比拟,，x2, 丁的大小关系.【解析】因为lxy0/20-0-, % y97, 11 y-x由 x =(x+y)(x-y),且=,x y xy又由一lvxy。，可得x+yv0,xy。，所以(+y)(x-y)o,且2, 孙【方法技巧与总结】注意点：记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造

9、性质与法那么题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围2a-b4,，= 2。+ 3，那么的取值范2a-b4,，= 2。+ 3，那么的取值范例30.（2022 福建厦门市国祺中学高一期中）假设-1 +人3, 围为.913【答案】-5屋+V = 2户55 5 is【解析】设，=尢(。+与+y(Q力)=(x+y)a+(xy)b,贝乂。，解得1 .因为一%(+)?,X - y 52 22-24913-/ 22故答案为:913 t .22例3L （2022 江苏苏州大学附属中学高一阶段练习）假设实数居y满足-lK2x+yl且-lK3x+yl, 那么以+y的取值范围是【解析】由题意9x+y = -6(

10、2x+y) + 7(3x+y),乂一l2x+y1 , -l3x-f-y1,-6-6(2x4- y) 6, -7 7(3x+ y) 0,且一4。一。一人44一。458，那么一；的取值范围是I 4b q c b【解析】由TI-cW心4。七5可得：_“匕5b5 m =38 n = 35 m =38 n = 3令9a-c = 2（a-c） + （4a-c）,整理可得：9a-c = （/%+4）a-（m+）c,根 + 4 = 9所以解得：5Q所以9-。= -5（。-（?） + 3（4-。）,将TbWac一人两边同时乘以一9, nj-b-（a-c）b9OQ Q40将一4q c5b两边同时乘以2, -h-（

11、4a-c）h,4040两式相加可得: 物-生“为一 ）+9（4一）“里33 3V 7 3V 7 3-h9a-c0,所以1竺二20, b所以2F的取值范围是-1,20, b例33.（2022 河北大名县第一中学高一阶段练习）假设实数名满足1。+ 工1, 14。+ 243 ,那么。+ 36 的取值范围为.【答案】1,7【解析】设。+ 3/ = 23 +#）+ （。+ 24），解得4 = 1, 4 = 2所以二 + 3 4=（二 +分）+ 2（二 + 2/?）.又一1 + 尸1, 16z + 2/?3, .-1-（ + /?）1 , 22（二 + 24）46所以1。+ 3/7.故答案为：1,7.例3

12、4.（2022 河南西平县高级中学高一阶段练习）实数X，分别满足，lvxv5, 2y7.（1）分别求2x + 3y与4x-5y的取值范围；（2）假设光招试分别求工一丁及土的取值范围.y【解析】.Tvxv5, 2 y7 ,. 2 2x v 10,6 3y 21,4 4x v 20, 35 v 5 y 10 ,82x + 3y31, -31 4x-5yv3.又因为 xvy = x_y0,从而可得6尢一 y ； 由 2y77 y 21 x 5=一一) 一 i 7 y例35. （2022 江苏高一专题练习）la + b5, -ia-h3,求为 2）的取值范围.【解析】设3q-2Z? = 2(q+Z?)

13、 + (q-Z?),贝ij有:根 + = 3m-n = -2I m = 25 n = 2所以 3-2 = ( + /?)+ 3(q-Z?).因为 1 q + Z? 5,所以一工 (a + b) 一,因为1Wqb3,所以一(a -b) , 2 22所一以2 (q + /?)h(q-Z?) 10,2所以3a-2b的取值范围为.例36. （2022 江苏高一专题练习）实数满足一3q + /?V2, -a-b4.（1）求实数。力的取值范围；（2）求3。-2b的取值范围.【解析】（1）由一 3Wa + bW2, -a-b4 ,两式相加得，-42a6,那么 由一lQb44,4 4 ci+Z? 1,又一 3

14、 Wa + b2,73两式相加得，74力43,即221 m = 25 n = 2（2）设3a 2力=加（4+/2）+ 几（4）=（加+） + （加一）人,根 + = 3C，解得 m-n = -2e 3ci 2b = ( + b)H ( b),3 Wq + Z?2,1qZ?4,3155 一(q + Z?)1, 一(-/7)(10 ,加取值范围;22 2例 37. （2022 全国高一专题练习）（1）假设 12vq60, 15Z?满足一Jx-yJ, 0x+y1,求力一)，的取值范围. 乙乙【解析】(1)因为12V4V60,所以24V2120,因为 15Vbv36,所以-36-/?v-15, : ，

15、36 b 15所以一12 2 一/? 105, 4 ；3 b /1所以2-人的取值范围是(-12,105)； 的取值范围是-,4 ；(2) 设3x_y = i(x_y)+ (x+,f 加 + = 3那么1，m = 2解得 ，n = 1所以 3x-y = 2(x-y) + (x+y),又因为一；x_y；, 0x+J1 , 乙乙所以-lv3x-y v2 ,所以力-），的取值范围是（-1,2） 例38.（2022 安徽阜阳市耀云中学高二期中）-l2a + bv2且3-b4,求5 +人的取值范围.【解析】解：设5 + 6 = 2+力+ 43-3，可得24 + 4 = 5、 pl = 2_e ,解之得，

16、得 5a + /? = 2(2a + ) +(4 )X - / = 1= 1v-1 2。+ 人2且3-54, -2 2(2 + Z?) 4, M 3 ab 4,两个不等式相加，得12(2。+份+ (-加满足孙242, 2 3,求u的取值范围.(v2 V941*497丫4,8 27 , 1 (xy2 4 ,.,. 一 , BP 2 27 ,(y Jv 74 y71 y71*4.的取值范围为2,27.【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范 围.如20vx+y30/5xy）,所以需分别求出 *（x+y）,

17、-L（x-y）的范围，两范围相加可得2x + 3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，那么不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与的量间 的数量关系，然后去求.注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如 果在解题过程中屡次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.【同步练习】一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要 求的.1. （2022 四川成都外国语学校高一阶段练习（理）如果实数涉满足。人0B. C. acbcD. a2 bobh, b c = a c(3)可力

18、口性：aboa + cb + cc 0 n ac be(4)可乘性：ab, ac = bec acb,c d = a + cb + d.(2)可乘法贝 ij： a bO,c d 0 a- c h- d 0知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比拟两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式。、b,可以作差。-匕后比拟Q-b与。的关系，进一步比拟与的大小. aZ?0 0 ab；。一bvOoavb； a-b = 0oa = b .作商法：任意两个值为正的代数式、b,可以作商。人后比拟3与1的关系，进一步比拟与b的大小. b 1 0 Q 匕； b(D 1 = ab ； b因为QbvO

19、,所以Q-b0,故A错误;对于8：因为 Q0,-。，ah所以。即,?，故3正确； ab ab a b对于C：因为Qb0,当c0,即/从,故。错误；应选：B2. （2022 浙江衢州高一阶段练习）随着社会的开展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具.小王在某 段时间共加92号汽油两次，两次加油单价不同.现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元， 第二种方式是每次加油30升.我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，那么更经济 的加油方式为（）A.第一种反第二种C两种一样D不确定【答案】A【解析】设第一次的油价为不，第二次的油价为巧，且%400_ 2XjX2第一种加油方式的平

20、均油价为必=200+200 = 2 ,X x2第二种加油方式的平均油价为% =60X1 +%22七%2 _ （%1 一 %2）一2 玉+ 2（$+）0,那么弘 0,且（。+3（。3+63）= 2,那么以下不等式一定成立的是（）A. a2 42C. a-b 6【答案】A【解析】因为+。3）_（2 +）2 =（4 +。4 +口尸 +q3匕）_（q4 +。4 + 22。2 ）=。3匕 +。力一2。2b2 = aba-b 0,所以，（6Z1 2+/?2）2 0,贝 Iq2+/72M 血，A 对 B错；1 1假设 =b= ，那么（。+ ：）（。3+:）=2 成立，但+= 2x 住 丫=2彳0, C 错;

21、2j假设 = b = pLf ,那么（q + ）（q3+Z?） = 2 成立，那么 + “&不成立，D 错. 2J应选：A.4. （2022 四川省泸县第二中学模拟预测（文）。力R且满足1 / + /? 3；,那么4a +2b的取值范围-1 a-b是（）A. 0,12B. 4,10 C. 2,10 D. 2,8【答案】C【解析】设4Q + 3 = A（i + b） + 3（Q-3，可得A + 5 = 4A8=2,解得A = 3B , 4q + 2Z? = 3（q + Z?） + q-Z?,因为33（tz + /?）9-1 a-b 1所以 24q + 2b , c d ,那么 Q + cb +

22、dB.假设 ab ,那么 acbcci hC.假设。匕0, cd 0 ,那么一 假设 ab ,那么 c/2 c d【答案】A【解析】解：对于A：由不等式的性质得，当ab , cd,那么Q + c/? + d ,故A正确；对于5：当c = 0时qc = c = 0,故8错误；对于 C：当 q = 2,Z? = 1,满足。b0；当 c = 3,d = 0.1,满足但 q =：/?,但是/二从，故。错误;应选：A6. (2022 河南高二期中(文)m b, ceR, ab,且必wO,那么以下不等式中一定成立的是()A. 之 B. ah h2 2C. ac2 be2 D. a3 b3【答案】D【解析】

23、当。/。时，等b0,那么以下不等式中一1 1 a-b b1 1 a-b b定成立的是()a a- 人 A. B.b b-_ a6/4-11,1C, D. ci b bZ? + lb a【答案】C【解析】对于4【解析】对于4a ci 1 ci(J 1) b(a 1) b ci b(b -1)- b(b-i)因为。力0,所以 q0,但b1的正负不确定,所以汜不一定成立，即选项A错误; b b-11 b-(a-b) 2b-a对于 8：r-v = = ,a-b b ba-b) b(a-b)因为q人0,所以a0,人0,但2。的正负不确定,所以一】!不一定成立，即选项8错误； a-b br a q + 1

24、 q(/7 + 1)-/?(q + 1)a-b对干= b b + 1b(b-kl) b(b + l)，因为/?()，所以4一Z?0, b0, Z? + l(),所以冷一定成立，即选项C正确； b b-l1 A(a b)(ab - D对于 D： a(b)=,b ci ab因为qZ?0,所以一b0, b0,但。一 1的正负不确定，所以 _L不一定成立，即选项。错误. b a应选：C.x-3y-zz + 1,进而可得出S6z + 7,结合z0可求得S的最小值.【详解】由 x+y 3zN5可得xN5-y + 3z, .S = x + 3y + z5-y + 3z + 3y + z = 2y + 4z

25、+ 5,由 x-3y + zWl 得-x + 3y-z2-l , 又x+y-3z25 ,由不等式的基本性质可得(x+3y z) + (x+y 3z) = 4y4z24,即y-zNl ,y 2 2 +1.522(2 + 1) + 42 + 5 = 62 + 7,/z0 , /.S6z + 77 .因此，S的最小值为7.应选：D.二、选择题：此题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得。分.9.(2022 重庆巴蜀中学高三阶段练习)以下命题正确的选项是()c c1 1A.假设一丁，那么假设且ab0,贝!一 a ba hC.

26、假设a/?0,cd q0,那么假设-d0；又因为/?。，所以由同向同正可乘性得：ac -bd ,所以 acbd,所以选项。正确，应选：BD.10. （2022 浙江温州市第八高级中学高二期中）实数无，y满足lx6, 2y3,那么（）A. 3x+yv93, -1 x-y3 %C. 2xylSD. -22 y【答案】AC【解析由 lx6, 2y3,知 3x+y9, 2xy18, A、C 正确；-3-y-2,故 _2vx_y4, 8 错误；,故2 ab B. 1! D. 一 + 一222a-h a b【答案】AB【解析】选项4由ab = +-2帅= （_,）一20,可得上直之仍.判断正确；2222选

27、项3：由（ + ：）-_/+/ =/+2出?一/二一向+3”M0,可得（。+。）工片+一.判断正确； 424442选项C当a = l,b = 2时，=由一:J，可得胃4.判断错误；22 a + b 3232a + b选项。：当。=1/=2时，-+y = + = -yz,那么以下不等式一定成立的 是（） 儿 xyxzB. xyyzc. x2-z2y2D. y yz z【答案】ACD【解析】因为x+y + z = O,且xyz,可得x0,zz且不,。，所以移xz,所以A正确；对于3中，由xz,但y正负不确定，所以碎与yz大小不确定，所以8不正确；对于。中，由 x+y + z =。，可得 y = -

28、（x+z）,可得 y2 =Y + z2+2xz ,x2 + z2 - / = x2 + z2 -U2 + z2 + 2zx） = -2xz 0 ,所以 Y + z2y2,所以。正确；对于。中,当 丁三。时，可得y|y| = y2 zo,z|z| = -z2 z|z；当yvO时,可得y|y|=-y2,z回=？,因为 yZ 且 yy0,可得 z22,所以y2z2,即 y|Rz|z|,所以。正确.应选：ACD.三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.12. （2022 辽宁高二阶段练习）13且24,那么2。匕的取值范围.【答案】（-6,4）【解析】由 一13 = 22。6,由 2 vZ?v4

29、= Y一/?一2 ,相力口得一6 v2。一人4.故答案为：（-6,4）.13. （2022 广西壮族自治区北流市高级中学高二阶段练习（文）假设尸=疝彳+ &,。= 疝可+疝4心0）.那么P,。的大小关系 （用，“=连接两者的大小关系）【答案】尸。，。，2。，所以尸2。2,所以PQ.故答案为：P = 02 ,此时a+b = Yv_,所以q +是假命题.故答案为：-3、-1、1（2022 全国高一课时练习）设。力wR,那么/+）2+2之2a+ 2中等号成立的充要条件是【答案】1且 =1.【解析】由题设，2 2 + 1+/?2 2/?+1 = （ 一 1） + （/;1）2 2 0 ,要使等号成立，

30、那么。=1且=1,当。=1 且 =1 时，有/+ 2 = 4,2 + 2。= 4 ,即 / +/ + 2 = 2 + 2b 成立.综上，Q = 1且 =1是4+从+2之2+ 2中等号成立的充要条件.故答案为：。=1且6 = 1.四、解答题：此题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步聚.14. （10 分）（2022 上海市大同中学高一期中）设工、是不全为零的实数，试比拟21 +2与/+孙的大小，并说明理由.【解析】解：（2f+y2）（犬+“）=/孙+/= x 上+工,I 2 J 4+鱼=0,贝卜4T =。,可得=y =。, y = 0但x、是不全为零的实数，矛盾，故I 2j+

31、$0,因止匕 2x2 + y2 x2 + xy .15. （12 分）（2022 全国高一课时练习）设实数服b、c满足（2022 全国高一课时练习）设实数服b、c满足b + c = 3“4q + 6,、,、,=/一船+ 4试确定“、b、C的大小关系并说明理由.【解析】由得 因为= -4。+ 4 = （。-2）2 0,所以。之）,当且仅当。=2时取等号, 因为 b 。=。2+1 a = a + 二0,I 2j 4所以，综上：ch a .16. (12 分)(2022 广东广雅中学高一阶段练习)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与 地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大

32、，采光效果越好.设某所公寓的窗户面积为an?,地板面 积为bm?,(1)假设这所公寓窗户面积与地板面积的总和为330m2,那么这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)假设同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为m?,那么公寓的采光效果是变好了还是变坏 了？请说明理由.a + b = 330【解析】(1)根据题意可得：a ino/ ,那么b = 330-%所以不；210%,解得：t/30,所以这所公 210%330 u、b寓的窗户面积至少为30平方米 + .a + t a ab-tb ah at t(b - a(2)同时增加窗户面积和地板面积后，比值为产，那么7-工=一一二方，因为b

33、+ tb + t bb(b + t)b(b-t)人。1。力，所以产-晟=与二2。，所以产，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积后， b + t b bb + t)b + t b公寓的采光效果变好了17. (12 分)(2022 福建福州三中高一阶段练习)证明以下不等式(1)假设 bc-ad0, bd0,求证：十 0, /?0,求证：幺+幺2a + h b a. 匚,、丁 口口 /1 中不。+ 力 c + d (a-hb)d-(c + d)b ad-be 4c 八【解析】 证明：(I)因为=-=，又。企0, bd3b dbdbd所以吟如o,所以胃(； bdb a(2)因为伍+0一5 + )=+-虑一加=5 + 6)