人教A版新教材必修第一册《2.2 第1课时 基本不等式》教案（定稿）.docx

《人教A版新教材必修第一册《2.2 第1课时 基本不等式》教案（定稿）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版新教材必修第一册《2.2 第1课时 基本不等式》教案（定稿）.docx（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式【学习目标】1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.【导语】从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他 缺斤少两，于是他想出一个方法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加 祛码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加祛码得到第二个读数，然后 把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？ 要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！一、基本不等式的证明与理解问题1如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京

2、召开第24届国际数学家大会的会标, 你还记得我们得出什么样的结论吗？提示 正方形的边长A8=q齐面，故正方形的面积为2+加，而四个直角三角形的面积为 2ab,故有序+按22,当且仅当=b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数m b 都能成立，我们称该不等式为重要不等式.问题2现在我们讨论一种特别的情况，如果公0, b0,我们用血，也分别替换上式中的a, b,能得到什么样结论？提示 用金,也分别替换上式中的a.b可得到a+b,2M 当且仅当a=b时，等号成立.我 们习惯表示成”爱.问题3上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的GO, b0都能成立?请给出证明.提示方法一（作差法）

3、n综合运用11.式11.式厂的最小值为()A. 3 B. 4 C. 6 D. 8答案B(2 I 44/4解析-T=M+2a/m=4,当且仅当|x|=4,即尸2时，等号成立，故最小值 为4.12 .假设 00, j0,且 x+2y=4,那么(1+x)(l+2y)的最大值为()A. 16 B. 9 C. 4 D. 36答案B解析解析(l+x)(l+2y)W(l+x) + (l+2y)l2(2+：+2y)=9,当且仅当1+尸1+2),即尸2,y=l时，等号成立，故所求最大值为9.14 .尤0, y0,2x+3y=6,那么孙的最大值为 ,3套案 -口木 2角翠析因为 x0, y0,2x+3y=6,所以

4、孙=.X产,3y33当且仅当2x=3y,即x=5，y=时，xy取得最大值为不 乙乙，拓广探究15 .(多项选择)一个矩形的周长为/,面积为S,那么以下四组数对中，可作为数对(S, /)的有(A. (1,4)B. (6,8)c. (7,12)D.13, 2答案AC 解析设矩形的长和宽分别为x, y,贝I x+y=：/, S=xy.由孙W知，SW讳，故A, C成立.16 .-y为正实数，3x+2y=10,求卬=而+6的最大值.解力, y 为正实数，3x+2y=10,胪= 3x+2y+2d3x.2yW10+(3x+2y)=20,当且仅当 3%=2y, 3%+2y=10,即x=|, y=|时，等号成立

5、.，眸2小，即卬的最大值为2小.a-bI- a-yab=+ /?2， (y/7i)2 一+(V)2yL)-20,即即如,当且仅当a乙=匕时，等号成立.方法二（性质法）要证只需证 2laba-b9只需证 2yab-a-b：0只需证一（、。一小y WO,显然（金一窗）22。成立，当且仅当。=/?时，等号成立.方法三（利用几何意义证明）如图A3是圆的直径，点。是A3上一点，AC=a, BC=b,E过点。作垂直于AB的弦。E,连接AO, BD,故有ACOs/xdq?,故CD=,由于CO 小于或等于圆的半径，故用不等式表示为岐W审，由此也可以得出圆的半径不小于半弦.【知识梳理】.基本不等式：如果0, h

6、0,那么gW区芋，当且仅当时，等号成立.1 .其中，审叫做正数4,匕的算术平均数，板叫做正数，人的几何平均数.2 .两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.二求简单代数式的最值4例1x0,求x+一的最小值.X解因为x0,所以 x+22/Z|=4, 人1/ 人4当且仅当工=7即x=2时等号成立，因此所求的最小值为4.延伸探究41 .当x0时，求x+一的最大值.X解 原多项式可变为+:=（x+Tj,因为x0,所以一（一x+Jjw4,当且仅当一x=一三即x=2时等号成立.故原式的最大值为-4.4.当xl时，求x+ 7的最小值,X 1解因为xl,故有工一10,44/4-所以 xx- 1 +1/（X

7、 1）- r+1 5,X 1X 1JX 14当且仅当X1=7，即=3时等号成立.因此所求的最小值为5. %1反思感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，（恰当变形，合理拆分项或 配凑因式是常用的解题技巧）；三是考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的 X的值是否为范围内的值，三点缺一不可.跟踪训练1 （多项选择）下面四个推导过程正确的有（）a.假设山。为正实数，贝号十注2yli=244B.假设 qR, aWO,那么一+。2/一。=4C.假设无，yeR, xy0,那么冠=（；）+（一即W2。（一机?=22 + 方2D.假设 qv

8、O, b0,贝 I -5 ab答案AC解析 A中，& b为正实数，：皮,导正实数，符合基本不等式的条件，故A正确；Vv-.ZB中，qWO,不符合基本不等式的条件，故B错误；C中，由孙0, bQ时，有左“；obWWjz；+/?22，.由此我们发现假设两个 正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，假设两个数的乘积为定值时，我们可 以求这两个数和的最小值.【知识梳理】最值定理-y都为正数，那么(1)如果积孙等于定值P,那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值 2yP； (2)如果和x+y等于定值S,那么当且仅当x=y时，积盯有最大值联，简记为：积定 和最小，和定积最大.注意点：三个关键点：一

9、正、二定、三相等.一正：各项必须为正；二定：各项之和或各项之积为定值；三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换.例2 设x0, y0,且x+y=18,那么xy的最大值为()A. 80B. 77C. 81D. 82答案C解析因为心0, y0,所以即孙W(王要(2=81,当且仅当x=y=9时，等号成立，即(xy)max = 81.(2)假设机0, 0,=81,那么加+的最小值是()A. 4 B. 4小 C. 9 D. 18答案D解析 因为加0,n0, mn=819所以2+与25而=18,当且仅当加=9时，等号成 立，故mn的最小值是18.

10、反思感悟 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以 下几个方面：拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整， 做到等价转换；代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；拆项、添项应注意检验利 用基本不等式的前提.跟踪训练2 (1)正数小匕满足岫=8,那么。+2。取得最小值时，匕的值分别为()A. 2,2B. 2,4C. 4,4D. 4,2答案D解析因为0, /?0,所以a+2/?22吸方=2产区=8,。=4,当且仅当即时，等号成立，即。+2b取得最小值8,a=2h,h=2所以。+2。取得最小值时m b

11、的值分别为4,2.(2)0x0,2= （x）+, x 2 22=4.x L一当且仅当一X=,即X= -1时=”成立. X2（i0 且 xWl 时， XB.当x0时，5+十22C.当xWO, x+J的最小值为2D.当x0时，x+七的最小值为2答案B解析 选项A不满足“取等号时的条件”，故不正确；选项C不满足“各项必须为正“，故不正确；选项D不满足“积为定值”，故不正确.4.y=4x+?（x0,。0）在x=3时取得最小值，那么的值为答案36解析 =4x+-（x0,。0）, X；.y=4x+：2y=46,当且仅当4x=f即x=乎时，等号成立.又y=4x+（x0,。0）在 x=3 时取得最小值，;当=

12、3, .a=36.X，课时对点练I基础巩固.以下不等式中正确的选项是()4A. 。十一三4B.aC.yabaD. x2+A2/3答案D4解析假设。0,那么+24不成立，故A错；假设q=1, h= 1,那么。2+岳l)B.y=3+七C.y=/+=(1)D. y=/+；+l0)答案B解析 A中，y=t+：22,当且仅当f=l时等号成立；B中，=3+t22,当且仅当，=1时等号成立；C 中，y=tT=t 1 +7+1 3； D 中，y=f+；+123. IkIIC3.设x, y满足x+y=40,且x, y都是正数，那么xy的最大值是()A. 400 B. 100 C. 40 D. 20答案A解析.衽

13、W42(x0, y0),当且仅当x=y=20时，等号成立.，孙的最大值是400.4,设x0,那么3 3x；的最大值是（）A. 3 B. 3-272 C. -1 D. 3-2小 答案D那么 33xW32、/,即 3 3x的最大值为 323.5.（多项选择）以下不等式中正确的选项是（）A. 6/2+ 2aB, x+ 22XC.4-W2D. C+ 1 217 abx-十 1答案BD解析 由基本不等式可知B, D正确.6.（多项选择）以下条件可使成立的有（） exA. ab0B. ab0, b0D. a0, b0, f0. C4-CZ7.00,那么函数y=xl +22x3r 31x2=3xo55当且仅当2 ,即时，等号成立，此时函数取得最小值宗乙乙48 .x3,求三十x的最小值.解因为心3,所以30,44所 以 -x=z+(x-3)+3x3x3内之(1)+3=24+3=7,4当且仅当4=x3,即x=5时，等号成立. %3所以所以%3+x的最小值为7.10. (1)求y=4x2+41_5的最大值;(2) 0xv；,(2) 00, /.y=4x2+当且仅当54尸意,即尸1时,上式等号成立, 故当X=1时，ymax=l.(2)V0x0,2x2x.y=；X2x(l -2x)W(Xlxl= 4X4I6,当且仅当21=1-203),即尸3时，上式等号成立,